2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十七讲 等边三角形(拔高)(无答案) 新人教版

等边三角形学习目标：1.理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法.2.掌握30°角的直角三角形的性质. 知识点梳理： 等边三角形的性质：(1)定义：等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的判定：(1)定义：三条边都相等的三角形为等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形.例1 如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F.(1)求证：△ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数.例2 如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB.求证：AD=41AB.课内练习：1.如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？2.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B)A.10米B.15米C.25米D.30米课后练习：1.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形。

2.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？说明理由。

3.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE是等边三角形。

3.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________.4.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为_______,顶角是__________.5.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，则 CD=____AC, BC=____AB,BD=____BC, BD=_____AB.6.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线与点D，则CD的长为___________.8.如右图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长。

DACBD A M EC B第十五讲：等腰直角三角形如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 基本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=12BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.第一部分【能力提高】一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.（1）求证：MD=ME ；其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④12ABCADME S S四.（2）如图，若D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究（1）中的结论.二、如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．DAE C B A NM P E CB D E AC B图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. （1）求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；（2）如图2，若AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB的垂线BE.（1）求证：AD=DE ；E B D A C C A D B E图2图3A DB EEBDA CCADBE 图4图5图6（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.A CPA CPA CP第二部分【综合运用】五、（1）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°；（2）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，求证：∠APB=90°；（3）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，求证：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；ACP ACPACHP B（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；（5）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；（6）如图，在（1）～（5）的条件下，过C作CH⊥AP于点H.求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；ACHPDACBEODACBM EN（7）如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同（1）～（6）的条件、结论，进行探究.六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、CD交于点O.（1）求证：BE=CD；（2）求∠BOC的度数；（3）连接AO，求证：AO平分∠DOE；（4）M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.。

第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

2、已知等腰三角形一边长3cm,另一边长6cm，求三角形的周长。

3、如图，ΔABC的面积是60，AD：DC＝1：3，BE：ED＝4：1，EF：FC＝4：5，求ΔBEF的面积。

4、如图，ΔABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数。

5、已知，如图，点P是ΔABC内一点，连接PB、PC，请∠BPC与∠A的大小？并说明理由。

6、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求：（1）CD的长；（2）ΔABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE＝∠CEF。

7、如图。

在直角平面坐标系中，已知B（b，0），C（0，c），且｜b+3｜+(2c －8)2＝0（1）求B 、C 两点的坐标；（2）点A 、D 是第二象限的点，点M 、N 分别是x 轴和y 轴负半轴上的点，∠ABM ＝∠CBO ，CD ∥AB ，MC 、NB 所在直线分别交AB 、CD 于E 、F ，若∠MEA ＝70°，∠NFC ＝30°，求∠CMB －∠CNF 的值；（3）如图，AB ∥CD ，Q 是CD 上一动点，CP 平分∠DCB ，BQ 与CP 交于点P ，求QPCQBC DQB ∠∠+∠的值。

8、如图，点E 在BA 延长线，DA 、CE 交于点F ，且∠DCE ＝∠AEF ，∠B ＝∠D 。

（1）说明AD 与CB 的位置关系，并给出证明；（2）∠EAD 、∠DCF 的平分线交于G ，∠ECB ＝40°，求∠G 。

9、如图，AB ∥CD ，PA 平分∠BAC ，PC 平分∠ACD ，过P 作PM 、PE交CD 于M ，交AB 于E 。

精品A CB E F D D CAB 第十六讲：等边三角形（基础）；第一部分【能力提高】一、如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，分别以AC 、BC 为边作等边△ACD 、等边，求∠BED 的度数.二、如图，D 为等边△ABC 内一点，AD=BD ，∠CBD=∠EBD ，BE=BC ，求∠E 的度数.三、如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且BD=CE ，AD 、BE 交于F 点. （1）求证：AD=BE ； （2）过E 作EH ⊥AD 于点H ，求HFEF的值；四、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.五、如图，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F ，当点P 在BC 上运动时，猜AB C DE ADE精品ACB EDACB EDACB想∠QFC的度数是否改变？证明你的结论.六、如图，等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，DB=DE.（1）求证：AD=CE；（2）若D为AC边上任意的一点，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.第二部分【综合运用】七、（1）如图，等边△ABC，P为形外一点，∠BPC=120°.求证：①∠APB=∠APC=60°；②PB+PC+PA.精品A CB PA CB PA CB PAC B P（2）如图，等边△ABC ，P 为形外一点，∠APB=60°.求证：①∠APC=60°；②PB+PC+PA.（3）如图，等边△ABC ，P 为形外一点，AP 平分∠BPC. 求证：①∠APB=∠APC=60°；②PB+PC+PA.（4）如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.（5）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.精品A CB PB DCA B E D C A AE D CB（6）如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，P 为形外一点，∠APB=∠APC=60°. 求证：①△ABC 为等边三角形；②PB+PC+PA.第 16 讲 作 业一．选择题1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中能判定该三角形是等边三角形的有( ).(A)①②③ (B)①②④ (C)①③ (D)①②③④2．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为( ).(A)2 ㎝ (B)4 ㎝ (C)6 ㎝ (D)8㎝ 3．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是( ). (A)2cm (B)4cm (C)8cm (D)16cm 4. 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD ⊥BC 于D ，CD=2CM ，则AB 长为( ).(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm5．如图，Rt △ABC 中，∠A=30°，BD 平分∠ABC ，若AD=8，则CD=( ).(A)2cm (B)3cm (C)4cm (D)5cm 6．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ). (A)30° (B)30°或150° (C)120°或150° (D)30°或120°或150° 二．填空题7．△ABC 中，∠B=∠C=15°，AB=2cm ，CD ⊥AB 交BA 的延长线于点D ，•则CD•的长度是_______．8．如图C 为线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在AB 的同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连结CD ，且CD ⊥DE ，若AB=9，则AC=_______． 9．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，若BC=12，则DE=_______．10．如图，等边△ABC 中，AC=9，AO=3，P 为AB 上的一个动点，将线段OP 绕O 点逆时针顺序旋转60°得到线段OQ ，要使点落在BC 上，则AP 的长为_______．精品AP C B M EF ND21A CB E D D CAB 三、解答题11．如图，D 、E 、F 分别在等边△ABC 的三边上，且AD=BE=CF ，求证：△DEF•为等边三角形.12．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，连接AF 、BD 、CE 分别交于M 、N 、P 三点，求证：△PMN 为等边三角形.13．如图，E 是等边△ABC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，求证：△ADE 为等边三角形.14. 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC•于点D ，•求证：•BC=3AD.。