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可扩展线性代数计算软件包ScaLAPACK及其实现

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５计算实例
分块大小和进程网格结构对计算性能都有影响。下面给出计算实例ＣｈｏＩｅｓＩ（ｙ分解（双精度）。 （Ｉ）分块大小对计算性能的影响
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为全局模块。由同步运行的并行程序组成，其变量（包括矩阵和向量）循环分布在一维或：二维进程
网格上。主要的ＳｃａＬＡＰＡＣＫ程序（驱动和计算程序）一般只调用ＰＢＬＡＳ，但辅助程序可能需要调
用ＢＬＡｓ进行本地计算，调用ＢＬＡｃＳ进行处理机间的通信。图中的虚线表示辅助程序的调用关
系。
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ｓｃａＬＡＰＡｃＫ
序包ＬＡＰＡＣＫ和基于消息传递方式的可扩展线性代数库ＳｃａＬ舳ＡＣＫ。
ＳｃａＬＡＰＡＣＫ功能介绍
２
可扩展线性代数计算软件包（ＳｃａＬＡＰＡＣＫ，Ｓｃａｌａｂｌｅ Ｌｉｎｅａｒ ＡＩｇｅｂｒａ ＰＡＣＫａｇｅ）是基于ＭＰＩ或 ＰＶＭ的高性能、可扩展的线性代数计算软件包．它用于并行求解线性代数问题。此库有实型、 复型、双精度型、双精度复型四种类型计算程序。包括一般线性代数方程组的ＬＵ分解和求解；
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ＳｃａＬＡＰＡｃＫ的数据分布
对于具有不同存储器层次结构的并行计算机，数据布局对并行程序的性能和可扩展性非常重 要。ｓｃａＬＡＰＡｃＫ采用分块算法，充分利用存储器层次结构，减少数据在主存和ｃａｃｈｅ巾的移动，
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大大增加了数据重用牢，使性能有很大提高。同时通过对数据合理布局．保证了计算的负载ｊＦ衡， 并大大减少了数据在处理机蚓的通信频率．减少了通信时闻。下面叙述并种数据分布方法。 （１）块分布
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《通讯踉语（ＰＶＭ・ＭＰｆ等Ｊ ８
图ｌ ＳｃａＬＡＰ＿ＡＣＫ的层次结构
ＢＬＡＳ、ＢＬＡＣＳ是开发更高层ＳｃａＬＡＰＡＣＫ程序的最基本模块．它们对计算机体系结构依赖 性很大，ＳｃａＬＡＰＡＣＫ不包含ＢＬＡＳ、ＢＬＡＣＳ，因而不依赖于具体机器，可以在任何支持ＭＰＩ与 ＰＶＭ的环境下运行。ＰＢＬＡｓ是实现ＳｃａＬＡＰＡＣＫ库的最高层模块，使ＳｃａＬＡＰＡＣＫ模块化，结 构溃晰，易于阅读和使用。ＳｃａＬＡＰＡＣＫ有很好的可移植性。
一维块分布用于计算负载均匀分布的全局数据，把全局数据长度为Ｎ的向量Ｘ＝（ｘ，）分布在 一维进程网格上。这种分布方法分配出大小为ＮＢ的块给连续的进程。每个进程只收到向量的一 块。如有一个长度为Ｎ＝９的向量，块大小为ＮＢ＝４．分布到３个进程（ＮＰＲＯＣＳ＝３）的网格上．分
布情况见表ｌ。 表ｌ ３个进程向量分布
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ＳｃａＬＡＰＡＣＫ的结构
ＢＬＡｓ（Ｂａｓｉｃ ＬｉｎｅａＬｒＡｌｇｅｂｒａｓｕｂｐｒｏｇｒａｍｓ）：基本线性代数计算（向量一向量运算、矩阵一向鼍运 算和矩阵一矩阵运算等）的子程序集合，包括一级、二级、三级ＢＬＡＳ。
ＬＡＰＡＣＫ（ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａ ＰＡＣＫａｇｅ）：一个求解线性代数、最小二乘法和特征值问题的程序集
可扩展线性代数计算软件包ＳｃａＬＡＰＡＣＫ及其实现
晏益慧 国防科大六院，长沙４１０００３
摘要：ＳｃａＬＡＰＡＣＫ是一个可扩展线性代数计算软件包，实现各类线性代数问题的分布式并行 计算。ＳｃａＬＡＰＡＣＫ采用分块算法，其数据采用块分布和块循环分布方案，既充分利用存储 器层次结构，又保证了计算的负载平衡，是一个实用又高效的线性代数计算软件包． 关键词：分布式并行计
我们知道，并行计算的主要领域是大型工程与科学计算，而大型工程与科学计算主要与线性代 数计算有关。据统计。大型工程与科学计算８０％左右的时间花在与线性代数有关的计算上。因此。 拥有一个功能完善、计算高效、使用方便的线性代数库对大型工程与科学计算至关重要。 随着科学技术的发展，对计算速度的要求越来越高。受各种条件的限制，单处理机性能的提高 是有限的，而共享主存方式下处理机个数也是有限的。不能满足大规模工程计算的要求。为了适用 科学计算中对处理机速度的要求，计算机体系结构朝着分布主存体系结构发展。随着计算机体系结 构的发展。对线性代数库的研究也在不断地进行。相继出现了基于无存储层次结构单机的第一代线 性代数程序包ＬⅢＰＡＣＫ和ＥＩＳＰＡＣＫ、基于存储分层共享主存多处理机系统的第二代线性代数程
表３ ５×５矩阵Ａ＝（ａ１１）分解成２×２的块映射到２×２进程网格
ＳｃａＬＡＰＡＣＫ要求所有全局数据（向量或矩阵）在调用ＳｃａＬＡＰＡＣＫ程序之前都必须分布到各个 进程。对求解稠密线性方程组和求特征值问题的ＳｃａＬＡＰＡＣＫ程序，假定所有全局数据调用前已经 按二维块循环数据分布方法分配到了各进程：对求解带状和三对角线性方程组的ＳｃａＬＡＰＡＣＫ程 序，假定所有全局数据已按一维块分布法分配到了各进程，带状系数矩阵按列块分布，右端矩阵 按行块分布。
对称或Ｈｅｍｉｔｅ正定线性代数方程组的Ｃｈｏｌｅｓｋｙ分解和求解：一般带状线性代数方程组的ＬＵ分
解和求解；对称正定带状线性代数方程组的Ｃｈｏｌｅｓｌ（ｙ分解和求解：一股三对角线性代数方程组 的ＬＵ分解和求解：对称正定三对角线性代数方程组的Ｃｈｏｌｅｓｌ（ｙ分解和求解：一般超定线性代数 方程组的奇异值分解和最小二乘解：一般矩阵的ＱＲ、ＲＱ、ＬＱ、ＱＬ分解：一般矩阵和对称矩阵 的条件数估计；求对称矩阵的特征值和特征向量；求非对称矩阵的特征值和特征向量；三对角矩 阵的特征值和特征向量和广义特征值求解等，还包括了基本线性代数计算，如向量一向量运算、 矩阵一向量运算、矩阵一矩阵运算等，实现了各类线性代数问题的分布并行计算。 ＳｃａＬＡＰＡＣＫ包括求解各种类型线性代数方程组和特征值问题的驱动程序、执行不同计算任 务的计算程序以及执行某些子任务或者一般低层计算任务的辅助程序。每一个驱动程序一般调用 一系列计算程序，计算程序又调用一系列的牟『｛ｊ助程序。驱动程序主要用于测试ＳｃａＬＡＰＡＣＫ库程 序的正确性和效率。而计算程序和辅助程序可供各类数值分析人员或软件开发者使用。
合，基本上是通过调用ＢＬＡＳ实现。ＬＡＰＡＣＫ是基于分块算法的程序，可适用于共享存储的机器。
ＢＬＡＣＳ（ＢａＳｉｃ ＬｉｎｅａｒＡｌｇｅｂｒａ Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎ Ｓｕｂｐｒｏｇｒ姗ｓ）：为线性代数设计的消息传递界面。
ＢＬＡＣＳ包括同步发送／接收程序，完成从一个处理机到另一个处理机传送一个矩阵或子矩阵，向多 个处理机广播子矩阵，或者计算全局归约（求和、求最大值和求最小值）；还有一些程序用于构成、 改变或查询进程网格。ＢＬＡＣＳ允许～个处理机分属几个重叠的或不相交的进程网格，每个都有上
下文标识。
ＰＢＬＡＳ：在ＢＬＡＳ的基础上开发研制的一个并行子集ＰＢＬＡＳ。它通过调用ＢＬＡＣＳ执行消息 传递，调用ＢＬＡｓ进行线性代数计算。 如图ｌ所示，描述了ＳｃａＬＡＰＡＣＫ软件的层次结构和各模块的调用关系。ＬＡＰＡＣＫ、ＢＬＡＳ、
ＢＬＡＣＳ为本地模块，只在一个进程上运行，其变量存储在一个进程中。ＳｃａＬＡＰＡＣＫ、ＰＢＬＡＳ
如果把一维块分布扩展到矩阵，则把矩阵的一个行块或一个列块分配给每一个进程。把每一 个进程分配一个行块的分布叫做行块分布。列块分布是每个进程分配矩阵的一个列块。如有一个 ５×５矩阵Ａ２（％），块大小为ＮＢ＝２，列块分布到３个进程的网格上。见表２。
表２列块分布
（２）块循环分布 循环分布也口ｑ做分散分布。当计算负载在进程网格上分布不均匀时用于改善负载平衡。块循 环分布是块分布和循环分布的结合。在一维网格情况下，大小为ＭＢ的行块或大小为Ｎ白的列块 被循环分布到进程网格上。在二维网格情况下，大小为ＭＢ×ＮＢ的块被循环分布到进程网格上。 对一个Ｍ×Ｎ矩阵，先从其左上角开始把它分解成ＭＢ×ＮＢ的块，并均匀分布在进程网格 上。每一个进程拥有若干块的集合，这些块以二维列主顺序数组被局部地、连续地存储，见表３。

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linpackBenchmark

linpackBenchmark

linpackBenchmarkLinpack简要说明⽂档LINPACK是线性系统软件包(Linear system package)的缩写，主要开始于1974年4⽉，美国Argonne国家实验室应⽤数学所主任Jim Pool，在⼀系列⾮正式的讨论会中评估，建⽴⼀套专门解线性系统问题之数学软件的可能性。

后来便提出了LINPACK。

LINPACK主要的特⾊是：●率先开创了⼒学(Mechanics)分析软件的制作。

●建⽴了将来数学软件⽐较的标准。

●提供软件链接库，允许使⽤者加以修正以便处理特殊问题，(当然程序名称必须改写，并应注明修改之处，以尊重原作者，并避免他⼈误⽤。

)●兼顾了对各计算机系统的通⽤性，并提供⾼效率的运算。

⾄⽬前为⽌，LINPACK还是⼴泛地应⽤于解各种数学和⼯程问题。

也由于它⾼效率的运算，使得其它⼏种数学软件例如IMSL、MATLAB纷纷加以引⽤来处理矩阵问题，所以⾜见其在科学计算上有举⾜轻重的地位。

LINPACK性能测试基准：Linpack现在在国际上已经成为最流⾏的⽤于测试⾼性能计算机系统浮点性能的benchmark。

通过利⽤⾼性能计算机，⽤⾼斯消元法求解⼀元N次稠密线性代数⽅程组的测试，评价⾼性能计算机的浮点性能。

Linpack测试包括三类，Linpack100、Linpack1000和HPL。

Linpack100求解规模为100阶的稠密线性代数⽅程组，它只允许采⽤编译优化选项进⾏优化，不得更改代码，甚⾄代码中的注释也不得修改。

Linpack1000要求求解规模为1000阶的线性代数⽅程组，达到指定的精度要求，可以在不改变计算量的前提下做算法和代码上做优化。

HPL即High Performance Linpack，也叫⾼度并⾏计算基准测试，它对数组⼤⼩N没有限制，求解问题的规模可以改变，除基本算法（计算量）不可改变外，可以采⽤其它任何优化⽅法。

前两种测试运⾏规模较⼩，已不是很适合现代计算机的发展，因此现在使⽤较多的测试标准为HPL，⽽且阶次N也是linpack测试必须指明的参数。

常用数学软件介绍Maple、Mathematica、Matlab、 MathCAD、 SAS、SPSS、LINDO、LINGO

常用数学软件介绍Maple、Mathematica、Matlab、 MathCAD、 SAS、SPSS、LINDO、LINGO

➢Maple 8 提供了3000余种数学函数，提供了许多专门 领域功能强大的程序包，用户可以在需要时加载。
2 、Mathematica
➢美国Wolfram Research公司开发。 ➢拥有强大的数值计算和符号计算能力（它的符号计算不 是基于Maple的，而是自己开发的）。
➢主要功能包括：符号演算、数值计算和绘图功能。 ➢基本系统主要是用C语言开发的，因而可以比较容易 地移植到各种平台上。 ➢对于输入形式有比较严格的规定，用户必须按照系统 规定的数学格式输入，系统才能正确地处理。
（5）可以方便地作出以各种方式表示的一元和二元 函数的图形，可以根据需要自由地选择画图的范围 和精确度。通过对这些图形的观察，人们可以迅速 形象地把握对应函数的某些特征。
3、 Matlab
➢Matlab是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的缩写。 ➢是美国 MathWorks公司推出的一套高性能的数值计算 和可视化科学计算软件。 ➢它和Maple、 Mathematica并列为三大数学软件。
四种软件的比较
如果同时要求计算精度、符号计算和编程的话，最好同 时使用Maple和Mathematica ，它们在符号处理方面各具 特色。如果要求进行矩阵、图形或其他数据处理，则选 择Matlab ；同时利用Matlab的Notebook功能，结合 Word的编辑功能，可以很方便地处理科技文章。如果仅 仅是要求一般的计算或者是普通用户日常使用，首选的 是MathCAD ，它在高等数学方面所具有的能力，足够一 般用户的要求，而且它的输入界面也特别友好。
➢集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体。
➢Matlab以无需定义维数的矩阵作为基本数据单位。 ➢目前国内外高校和研究部门科学研究的重要工具。
科学计算模块

科学计算模块

科学计算模块科学计算是指基于计算机算法的科学研究方法。

通过使用计算机进行数值模拟和数据分析，来解决复杂科学问题。

为了实现这一目标，科学计算需要一系列的算法、模型和计算方法。

科学计算模块是一种软件工具，它包含了一系列数学函数和数据分析工具，为科学家和工程师提供了高效、精确和可靠的计算平台。

科学计算模块通常用于处理数据、模拟物理现象、优化算法和解决差分方程等问题。

常见的科学计算模块包括Matlab、Python科学计算工具包NumPy、SciPy和matplotlib，以及商业软件ANSYS、COMSOL、MATCOM和Abaqus等。

这些模块提供了广泛的工具和算法，可以实现数值计算、数据处理、图形可视化和优化算法等。

Matlab是一种广泛使用的科学计算软件，它是一种交互式环境，可用于运行算法和可视化数据。

Matlab具有集成的数学、统计、信号处理和优化工具箱，可用于解决各种科学和工程问题。

Matlab的强大之处在于其可扩展性和灵活性，用户可以编写自己的脚本和函数，以增强其功能。

Python科学计算工具包NumPy、SciPy和matplotlib也是广泛使用的科学计算模块。

NumPy是Python语言的基础数学库，它提供了高效的多维数组操作和线性代数计算工具。

SciPy则提供了许多科学计算算法和工具，如最优化、插值和信号处理等。

matplotlib是一个用于绘制高质量图形的Python库，可轻松创建各种类型的图表。

商业软件ANSYS、COMSOL、MATCOM和Abaqus等，也是广泛使用的科学计算软件。

这些软件具有许多先进的功能和工具，可用于模拟各种工程问题，如结构分析、流体力学、热传递和电磁场分析等。

总之，科学计算模块是现代科学和工程的关键工具，它们提供了高效、准确和可靠的数值计算方法，可用于解决各种复杂问题。

它们的灵活性和可扩展性使得科学家和工程师可以编写自己的代码和函数，以实现用户定制化的功能。

使用lapack dgeev fortran 参数

使用lapack dgeev fortran 参数

使用lapack dgeev fortran 参数LAPACK（线性代数程序包）是一个流行的用于科学计算的软件库，它包含了大量用于线性代数计算的函数。

DGEEV是LAPACK中的一个函数，用于计算特征值和特征向量。

以下是使用Fortran调用DGEEV函数时的一些参数：JOBVL：此参数用于指定是否计算左特征向量。

可能的值包括'N'（不计算）和'V'（计算）。

JOBVR：此参数用于指定是否计算右特征向量。

可能的值包括'N'（不计算）和'V'（计算）。

N：此参数表示矩阵的阶数。

A：此参数是一个数组，用于存储输入的矩阵A。

LDA：此参数表示矩阵A的行数。

WR：此参数是一个数组，用于存储计算出的特征值。

WI：此参数是一个数组，用于存储计算出的特征值的实部和虚部。

VL：如果JOBVL为'V'，则此参数是一个数组，用于存储左特征向量。

VR：如果JOBVR为'V'，则此参数是一个数组，用于存储右特征向量。

WORK：此参数是一个数组，用于存储工作空间。

LWORK：此参数表示工作空间数组WORK的大小。

INFO：此参数用于返回函数调用的状态信息。

如果返回值为0，表示函数调用成功。

否则，返回值将给出错误代码。

使用Fortran调用DGEEV函数的示例代码如下所示：fortranPROGRAM DGEEV_EXAMPLEIMPLICIT NONEINTEGER, PARAMETER :: N = 3INTEGER :: INFOREAL :: A(N,N), VL(N,N), VR(N,N), WORK(N), W(N)INTEGER :: LDA = N, LWORK = 2*N, JOBVL = 'V', JOBVR = 'V'CALL DGEEV(JOBVL, JOBVR, N, A, LDA, W, VL, LDA, VR, LDA, WORK, LWORK, INFO)IF (INFO /= 0) THENPRINT *, 'DGEEV failed with error code', INFOELSEPRINT *, 'Eigenvalues:'PRINT *, WPRINT *, 'Eigenvectors:'PRINT *, VLPRINT *, VREND IFEND PROGRAM DGEEV_EXAMPLE请注意，您需要根据自己的具体需求和矩阵的大小调整上述代码中的参数和数组大小。