湘教版数学八年级下册第一章《直角三角形》第1章达标测试卷

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第1章达标测试卷 一、选择题(每题3分,共24分) 1.如图,BD平分∠ABC,CD⊥BD,D为垂足,∠C=55°,则∠ABC的度数是( )

A.35° B.55° C.60° D.70° 2.如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,则△ABC≌△DCB的理由是( )

A.HL B.ASA C.AAS D.SAS 3.如图,一棵树在一次强台风中,从离地面5 m处折断,倒下的部分与地面成30°角,则这棵树在折断前的高度是( )

A.10 m B.15 m C.5 m D.20 m 4.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=36°,则∠DCB的度数为( ) A.54° B.64° C.72° D.75° 5.如图,点P是∠AOB平分线OC上一点,PD⊥OB,垂足为D.若PD=2,则点P到边OA的距离是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 6.以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( ) A.2,3,4 B.3,2,7 2021年春季 2 2021年春季

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C.6,2 2,10 D.3,5,8 7.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且AB=6,则EC的长为( )

A.3 B.4.5 C.1.5 D.7.5 8.如图,在长、宽、高分别为12 cm,4 cm,3 cm的木箱中,放一根不能弯曲的细木棒,能放进去的木棒的最大长度为( )

A.13 cm B.12 cm C.5 cm D.153cm 二、填空题(每题4分,共32分) 9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,D是AB的中点,则CD=________.

10.已知a,b,c是△ABC的三边长且c=5,a,b满足关系式a-4+(b-3)2=0,则△ABC的最大内角为________. 11.如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,AB=12 cm,则BD=________cm.

12.如图,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D,若要判定Rt△ABC≌Rt△DCB,还需添加的一个条件是__________________(只填一个).

13.如图,在△ABC中,AB=4 cm,BC=AC=5 cm,BD,CD分别平分∠ABC,2021年春季 3 2021年春季

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∠ACB,点D到AC的距离是1 cm,则△ABC的面积是________cm2. 14.如图,一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向北偏东15°方向航行,另一艘轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向南偏东75°方向航行,离开港口2小时后,两船相距________海里.

15.若等腰三角形的底角为30°,腰长为2,则腰上的高为________. 16.如图,AB=6,点O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=120°,点P是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,AP=____________.

三、解答题(17题8分,其余每题9分,共44分) 17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6 cm,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,∠A=30°,求BC,CD和AC的长.

18.如图,已知在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,AC=2 cm,分别以A,B两点为圆心,大于12AB的长为半径画弧,两弧分别相交于E,F两点,直线EF交BC于点D,连接AD,求BD的长. 2021年春季 4 2021年春季

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19.如图,在△ABC中,BD=2AC,CD⊥BC,E是BD的中点,求证:∠A=2∠B.

20.如图,在△ABC中,已知AB=10,BC=8,AC=6,CD是△ABC的中线,CE⊥AB. (1)求CD的长; (2)求DE的长.

21.如图,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉的距离AB=250 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN=120 m,供水点M到喷泉B的距离BM=150 m. 2021年春季 5 2021年春季

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(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长; (2)求出喷泉B到小路AC的最短距离. 2021年春季

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答案 一、1.D 2.A 3.B 点拨:如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,CB=5 m,∠A=30°, ∴AC=10 m,∴这棵树在折断前的高度为10+5=15(m).

4.A 5.B 6.B 7.C 点拨:∵△ABC是等边三角形, ∴∠C=60°,AC=BC=AB=6. ∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴CD=12AC=3. ∵DE⊥BC,∴∠CDE=30°, ∴EC=12CD=1.5. 8.A 二、9.6 10.90° 11.3 12.AB=DC(答案不唯一) 13.7 点拨:过点D作DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,DH⊥AC于H,连接AD,则DH=1 cm,根据角平分线的性质得DF=DH=DE=1 cm,然后根据三角形面积公式,利用S△ABC=S△ABD+S△BCD+S△ACD进行计算. 14.40 15.3 16.3或3 3或3 7 点拨:当∠APB=90°时,分两种情况讨论, 2021年春季

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情况一:如图①,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠PBA=∠OPB=12×(180°-120°)=30°,∴AP=12AB=3;情况二:如图②,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO.∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴△BOP为等边三角形,∴∠OBP=60°,∴∠A=30°,∴BP=12AB=3,∴由勾股定理得AP=AB2-BP2=3 3;当∠BAP=90°时,如图③,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴∠APO=30°.易知AO=3,∴OP=2AO=6,∴由勾股定理得AP=OP2-AO2=3 3;当∠ABP=90°时,如图④,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°.∴∠BPO=30°.易知OB=3,∴OP=2OB=6,∴由勾股定理得PB=OP2-BO2=3 3,∴PA=PB2+AB2=3 7.综上所述,当△APB为直角三角形时,AP=3或3 3或3 7.

三、17.解:在Rt△ABC中, ∵∠A=30°,∴BC=12AB=3 cm. ∴AC=AB2-BC2=62-32=3 3(cm). ∵D为AB的中点,∴DC=12AB=3 cm. 18.解:由题意可知,EF为线段AB的垂直平分线,∴AD=BD, ∴∠DAB=∠B=15°, ∴∠ADC=∠DAB+∠B=30°, 2021年春季 8 2021 在Rt△ACD中,AC=2 cm, ∴BD=AD=2AC=4 cm. 19.证明:∵CD⊥BC,E是BD的中点, ∴CE=BE=12BD,∴∠B=∠BCE. ∵∠CED=∠B+∠BCE,∴∠CED=2∠B. ∵BD=2AC, ∴AC=12BD, ∴AC=CE,∴∠CED=∠A, ∴∠A=2∠B. 20.解:(1)由BC=8,AC=6得BC2+AC2=82+62=100; 由AB=10得AB2=102=100, ∴AB2=BC2+AC2, ∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. 又∵CD是△ABC的中线, ∴CD=12AB=5. (2)由(1)知△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°, 又CE⊥AB, ∴S△ABC=12BC·AC=12AB·CE, ∴12×8×6=12×10×CE,解得CE=4.8. 易知△CDE为直角三角形, ∴由勾股定理得DE2=CD2-CE2=52-4.82=1.96, ∴DE=1.4.

21.解:(1)在Rt△MNB中,BN=BM2-MN2=1502-1202=90(m), ∴AN=AB-BN=250-90=160(m), 在Rt△AMN中,AM=AN2+MN2=1602+1202=200(m), 2021年春季 9 2021 ∴供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为200+150=350(m). (2)∵AB=250 m,AM=200 m,BM=150 m, ∴AB2=BM2+AM2, ∴△ABM是直角三角形, ∴BM⊥AC, ∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150 m.