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八年级数学下册 第一章 直角三角形期末复习 新版湘教版

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期末复习第一章直角三角形教学设计湘教版数学八年级下册

期末复习第一章直角三角形教学设计湘教版数学八年级下册
3.引导学生运用数学方法，将实际问题转化为数学模型，培养数学建模能力。
-通过解决实际生活中的问题，让学生学会将问题转化为直角三角形的数学模型。
-引导学生运用勾股定理及其逆定理，解决实际问题，培养数学应用意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生热爱数学，对数学知识充满好奇心和求知欲。
-通过探索勾股定理的奥妙，激发学生对数学的兴趣。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解并掌握勾股定理及其逆定理，能够熟练运用解决实际问题。
-能够运用直角三角形的性质和判定方法，解决几何问题。
-学会建立直角三角形的数学模型，解决生活中的实际问题。
2.过程与方法方面的重难点：
-培养学生独立思考和解决问题的能力，提高数学逻辑思维能力。
4.小组合作探究：
-以小组为单位，共同完成一道探究题，题目涉及勾股定理及其逆定理的证明和应用。
-鼓励学生在合作探究过程中，互相学习、交流、分享，提高团队合作能力。
5.总结与反思：
-完成本节课学习后，撰写学习心得，总结自己在学习直角三角形过程中的收获和不足。
-反思自己在解决问题时的思维方法和策略，为今后的学习提供借鉴。
在此基础上，学生对合作学习、探究学习等方式已有一定经验，但在独立思考和问题解决方面仍有待提高。因此，在教学过程中，应注重激发学生的思考欲望，培养他们独立分析和解决问题的能力。
此外，学生在情感态度方面，对数学学科的兴趣和自信心有所差异。教师应关注个体差异，通过鼓励、表扬等方式，提高学生的学习积极性，培养他们对数学的热爱和自信心。总之，本章节的教学应结合学生的实际情况，因材施教，激发潜能，促使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面取得全面发展。

新湘教版八年级下数学知识点大全

新湘教版八年级下数学知识点大全

C BAC BAcba CB ADCBAP F ED CB21APE DC BAFE CBA 新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。

∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。

如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c+=。

求斜边，则c a b =②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。

分别计算“22ab +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。

4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。

HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°如图，在Rt ∆ABC 中，∵BC=12AB，∴∠A=30°。

6、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件

湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件

正弦、余弦函数值在0到1之间，正切函数 值可正可负，且随着角度的增大而增大或减 小。
特殊角度下三角函数值记忆方法
30°、45°、60°等特殊角度的三 角函数值可通过几何图形或三角
函数表进行记忆。
利用三角函数之间的互相关系， 如tanA=sinA/cosA，可以通过 已知函数值推导出其他函数值。
制作三角函数卡片或表格，方便 随时查阅和记忆。
分类
按边长可分为普通直角三角形和 等腰直角三角形，其中等腰直角 三角形两腰相等。
直角三角形边与角关系
边长关系
对于直角三角形，满足勾股定理，即两直角边的平方和等于 斜边的平方。
角度关系
直角三角形两锐角互余，且满足三角函数的定义和性质。
勾股定理及其应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方。
05 复习策略与备考建议
重点知识点回顾与总结
直角三角形的定义和性质
01
直角三角形是一个角为90度的三角形，它具有一些特殊的性质
和定理，如勾股定理等。
直角三角形的边角关系
02
在直角三角形中，角度和边长之间有一定的关系，如正弦、余
弦、正切等三角函数。
直角三角形的判定方法
03
通过给定的条件，如角度、边长等，可以判定一个三角形是否
湘教版八年级下册数学第一章直角 三角形复习课件
目 录
• 直角三角形基本概念与性质 • 直角三角形中的函数关系 • 解直角三角形方法技巧总结 • 直角三角形在几何证明题中应用 • 复习策略与备考建议
01 直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及分类
定义
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
构造直角三角形

湘教版八年级下册数学期末复习资料

湘教版八年级下册数学期末复习资料

2016年新湘教版八年级下册数学期末复习整理资料一、直角三角形 1、直角三角形的性质 ① 直角三角形的两个锐角互余。

如图，Rt △ ABC 中，T / C=90°「./ A+ / B =90 ° ② 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 形全等的独有方法。

如图，在 Rt △ ABC 中，T CD 是斜边 ③在直角三角形中，如果一个锐角等于 边等于斜边的一半 1AB 的中线，••• CD= —」230 °那么它所对的直角 4、角平分线：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，T AD 是/ BAC 的平分线(或/ 1 = / 2),PE 丄 AC , PF 丄 AB• PE=PF角平分线逆定理：到个角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

如图，T PE 丄 AC , PF 丄 AB PE=PF• AD 是/ BAC 的平分线(或/1 = / 2)、四边形BD• “ 1 --BC= AB o2 ④ 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于 30° 1 如图，在 Rt △ ABC 中，T BC=—AB ，•/ A=30 °。

2⑤ 勾股定理：直角三角形两直角边 如图，在 Rt △ ABC 中，T / A=30 ° a 、 b 的平方和等于斜边 1、n 边形:a 2b 2 求斜边, 则c x 2 b 2 ；求直角边，则2、直角三角形的判定 ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形。

② 有两个角互余的三角形是直角三角形。

③勾股定理逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 有关系a c 的平方，即b 22c ，那么这个三角形是直角三角形 。

分别计算两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方，相等就是 就不是Rt △o 3、直角三角形全等的判定(5种方法) SAS —边角边、ASA —角边角、SSS —边边边、AAS —角角边、Rt △，不相等HL —斜边直角边HL :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，这是证明两个直角三角(1) n 边形的内角和等于(n 2) 180(2)任意多边形的外角和等于360n(n 3)(3) n 边形共有 2 条对角线(4)在平面内，内角都相等且各边都相等的多边形叫做正多边形。

八年级数学下第一单元直角三角形小结与复习湘教版全面版ppt课件

八年级数学下第一单元直角三角形小结与复习湘教版全面版ppt课件

A E
C
B
D
9、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标 注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
A D
AB=AB,
B
AC=AD.
∴ Rt△ACB≌Rt△ADB (HL). ∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
10、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
二、直角三角形全等的判定： 斜边直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的
两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边” 或“HL”）.
三、角平分线的性质： 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离
相等。 逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
随堂练习
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ）
知识梳理
一、直角三角形的性质和判定：
性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形两直角边a,b的平方和，等于斜边c的
平方.
a2 + b2 =c2
判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 如果三角形的三条边长，a,b,c满足关系：
a2 + b2 =c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。
有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就 是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是 伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何 必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己 经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的 鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来， 我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！ 为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友 情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离 开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白 云苍狗，要在纷纷扰扰的生活中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可 取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起 的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每 刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里， 故作深沉地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的《童年》，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没 有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动， 日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青 蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生 路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，

最新湘教版八年级下册数学复习归纳

最新湘教版八年级下册数学复习归纳

cb aCB AP FE D C B21A P E DC B A ED CB A 新湘教版八年级下册数学复习知识点梳理一、直角三角形 1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2）， PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF·如图，在ΔABC 中，∠C=90°∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D, 若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D 到直线AB 的距 离是________厘米。

·如图：在△ABC 中，，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线的交点。

求证：点O 在∠A 的平分线上。

2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等 。

如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线， ∴PA=PB·如图，△ABC 中，DE 是AB 的垂直平分线，AE=4cm ，△ABC 的周长是18 cm ，则△BDC 的周长是＿＿。

·已知：如图，求作点P ，使点P 到A 、B 两点的距离相等， 且P 到∠MON 两边的距离也相等．3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。

求斜边，则22c a b =+； 求直角边，则22a c b =-或22b c a =-。

·如图是拉线电线杆的示意图。

已知CD ⊥AB ，，∠CAD=60°，则拉线AC 的长是________m 。

OC B AO N M··A BGFEDC B A·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。

②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。

分别计算“22a b +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。

湘教版八年级数学下学期前三章知识点总结

湘教版八年级数学下学期前三章知识点总结

湘教版八年级数学下学期前三章知识点总结Newly compiled on November 23, 2020湘教版八年级数学下学期前三章知识点总结第一章直角三角形1、性质性质1 直角三角形的两个锐角互余。

性质2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

性质3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

性质4 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

性质5 勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方。

即 a2+b2=c22、判定定理定义判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

定理1 有两个角互余的三角形是直角三角形。

定理2 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

3、全等判定方法：SAS、ASA、AAS、SSSHL（斜边、直角边定理）4、角平分线：1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

第二单元四边形1、多边形内角和=（n-2）180°；外角和=360°2、平行四边形性质对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

判定定理定义判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

定理4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

注意：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、矩形性质对边平行且相等，四个角都是直角。

对角线相等且平分是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴。

判定定理定义判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。

定理1 三个角是直角的四边形是矩形。

新湘教版八年级下数学知识点大全

新湘教版八年级下数学知识点大全

优选文档CBA C BAcbaCB ADCBAP F ED CB21APE DC BAFE CBA 新湘教版八年级下册数学复习资料一、直角三角形1、角平分线： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 如图，∵AD 是∠BAC 的平分线（或∠1=∠2），PE ⊥AC ，PF ⊥AB ∴PE=PF角平分线的逆定理; 角内部的点到角两边的距离相等，那么这一点到角的角平分线上。

∵PE ⊥AC ，PF ⊥AB PE=PF ∴点P 在∠BAC 的平分线AD 上 2、线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。

如图，∵CD 是线段AB 的垂直平分线，∴PA=PB 3、勾股定理及其逆定理①勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=。

求斜边，则c a b =②逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形 。

分别计算“22ab +”和“2c ”，相等就是Rt ∆，不相等就不是Rt ∆。

4、直角三角形全等方法：SAS 、ASA 、SSS 、AAS 、HL 。

HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

5、直角三角形的其它性质直角三角形两锐角互余②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵CD 是斜边AB 的中线，∴CD=12AB。

②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半如图，在Rt ∆ABC 中，∵∠A=30°，∴BC=12AB。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的角等于30°如图，在Rt ∆ABC 中，∵BC=12AB，∴∠A=30°。

6、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

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直角三角形 01各个击破命题点1 直角三角形的性质中点，试说明△DEF是等腰三角形．AB两边上的高，D为BCAC【例1】如图，在△ABC中，BF，CE分别是，【思路点拨】1＝DFBC.和△BFC是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得DE＝为∵DBC中点，又△BEC2【解答】【方法归纳】由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系．1．(北京中考)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5 kmB．0.6 kmC．0.9 kmD．1.2 km2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E.如果DE＝1，求BC的长．命题点2 直角三角形的判定【例2】如图，已知AB∥CD，PA，PC分别平分∠BAC和∠ACD.试判断△APC的形状，并说明理由．【思路点拨】由AB∥CD可得∠BAC＋∠ACD＝180°.又由PA，PC两条平分线，可证明∠1＋∠2＝90°，从而得到△APC的形状．【解答】由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可．【方法归纳】3∶3∶6，则这个三角形是________________．．一个三角形的三个角的角度之比是3 1＝∠B.求证：△ABC是直角三角形．．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠43 勾股定理及逆定理命题点°，求∠ADC的度数．1，∠A＝90AD＝2，BC＝3，CD＝ABCD【例3】如图，四边形，AB＝则∠ADB为等腰直角三角形，而由题意可知，BD的长，△ABD【思路点拨】首先在Rt△BAD中，利用勾股定理求出是直角三角形，即可求出答案．＝45°，再根据勾股定理逆定理，证明△BCD 【解答】当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差．【方法归纳】；③1，3，2.，，4；②3，45分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角5．已知三组数据：①2，3三角形的有（）A．② B．①② C．①③ D．②③6．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，AB＝5 cm.BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．命题点4 直角三角形全等的判定【例4】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝CB，求证：AD∥BC.【思路点拨】要证AD∥BC，可证∠ADB＝∠CBD，这由Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)可以得到．【解答】【方法归纳】用HL证明三角形全等时，需指明直角三角形．7．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（）A．145°B．130°C．110°D．70°8．如图：AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于E，DF⊥EF于F，BE＝DF.求证：Rt△BCE≌Rt△DCF.命题点5 角平分线的性质与判定【例5】如图，在△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD.【思路点拨】过P作PF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得PH＝PF，PF＝PD，有PD＝PH，再根据角平分线的判定可得结论．【解答】【方法归纳】此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线．9．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若点Q是OC 上与点O，P不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是（）A．PD＝PEB．OC⊥DE且OC平分DEC．QO平分∠DQED．△DEQ是等边三角形10．如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF，求：的度数；(1)∠CBD．(2)DF的长度．02整合集训)分一、选择题(每小题3分，共30 ，1．如图，l∥ll⊥l，∠1＝42°，那么∠2的度数为（）4123°．48A °．42B °．38C 21°D． 5 cm，则最长边上的中线是（）°，一个锐角为△ABC 中，∠C＝9030°，最短边长为．在2Rt15 cm 5 cm B．A．2.5 cm． D．C10 cm是直角三角形；②如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么三角形．下列说法中：①如果∠A＋∠B ＝∠C，那么△ABC3，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三、6是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4 ）角形是直角三角形．正确的有（个1个 B．2A． D．4个．C3个下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）( 毕节中考4)．A.3，4，5 B．1，2，3C．6，7，8 D．2，3，45．如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC长20米，BC长16米，则A点和B点之间的距离为（）A．25米 B．12米C．13米 D．43米6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AP是角平分线，AP＝10，CP＝5，则∠B的度数是（）A．45° B．30°C．60° D．15°7．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（）对2．B 对1．A．C．3对 D．4对8．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为2，则点P到AB的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AE＝AC＝8，BF＝BC＝15，则EF长为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正2方形的面积为16，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么(a＋b)的值为（）A．256 B．169 C．29 D．48二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝6，点D是AB的中点，则∠ACD＝________.12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，一条线段PQ＝AB，点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝________时，才能使△ABC≌△QPA.13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB上的中线CD的长2 cm，那么BC＝________cm. 14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，S＝4，BC＝8，则AD＝________. BDC△15．利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为________，该定理的结论其数学表达式是____________．16．(南昌中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________________．三、解答题(共52分)17．(8分)已知：如图，Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．求证：∠EBD＝∠EDB.18．(8分)已知：如图，BC、AD分别垂直OA、OB，BC和AD相交于点E，且OE平分∠AOB，已知CE＝3 cm，∠A＝30°，试求EB的长．19．(10分)小明拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？20．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.(1)若点B，C在DE的同侧(如图1所示)，且AD＝CE.求证：AB⊥AC；图1仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明AC与AB，其他条件不变，)所示2如图(的两侧DE在C，B若点(2)．理由．2 图边上一点，求证：＝∠ECD＝90°，D为AB．21(14分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB(1)△ACE≌△BCD；＋DB＝DE222. (2)AD参考答案分别是AC，两边上的高，AB例1 ∵BF，CE 中点，D为BC∴∠BEC＝∠BFC＝90°.又11BC.＝＝BC，DF∴DE22DF.＝∴DE ∴△DEF是等腰三角形．例2 △APC是直角三角形．，PC分别平分∠BAC和∠ACD，∵PA ＝2∠1，∠ACD＝2∠2.∴∠BAC ∵AB∥CD，. ＋∠ACD＝180°∴∠BAC. 180°∠∴21＋2∠2＝. 90°∴∠1＋∠2＝.90°∴∠APC＝是直角三角形．∴△APC 中，在Rt△BAD连接例3 BD. AD＝2，∵AB＝2222222＋(22)1＝9CB，＝＝＋中，2.ABAD°，＝∴∠ADB45BD＝＋＝2在△BCDDBCD 是直角三角形．∴△BCD. 90°∴∠BDC＝.°135°＝90°＋45＝∠ADB＋∠BDC＝ADC∴∠．，⊥BD例4 ∵AB⊥BD，CD ，＝DBCBD中，AD＝CB，BDRt∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在△ADB和Rt △ CBD(HL)．∴Rt△ADB≌Rt△∴∠ADB＝∠CBD. ∴AD∥BC.F.PF⊥BE于例5 过P作，BEPH⊥BA，PF⊥∵BP平分∠ABC，又∴PH＝PF. ，⊥AC，PF⊥BE∵CP平分∠ACE，PDPD.＝∴PF ⊥又PH⊥BA，PDAC，∴PD＝PH. ∴AP平分∠HAD.题组训练 1．DAD.2.连接 DE垂直平分AB，∵. DEB°＝90∴AD＝BD，∠°，＝120∵AB＝AC，∠BAC 30°，在Rt△BDE中，∠B＝＝∠C＝∴∠B30°.1BD.＝∴DE2∴BD＝2.∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B.∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，1∴AD＝CD.2∴CD＝2AD＝2BD＝4.∴BC＝CD＋BD＝4＋2＝6.3.等腰直角三角形4.证明：∵AD⊥BC，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠1＝∠B，∴∠1＋∠BAD＝∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．5.D是直角三角形，∵△ABC6.222222.∴AC5＋BCAB＝3，即AC－＝11 CD，4 cm.∴AC＝又S＝BC·AC＝AB·ABC△223×4BC·AC ∴CD＝．＝＝2.4(cm)5AB 7.CBD，8.证明：连接，∵AB＝AD ＝∠ADB.∴∠ABD °，∵∠ABC＝∠ADC＝90 ＝∠CDB.∴∠CBDDC. BC＝∴，⊥∵BE⊥EF，EFDF，＝DCBC??中，△DCFE∴∠＝∠F＝90°.在Rt△BCE和Rt?DF.＝BE??．Rt△BCE≌△ DCF(HL)∴Rt9.D＝DF，∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE10.(1) 平分∠ABC.∴BD°，∵∠ABC＝60∴∠DBC＝30°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.∵BD＝16，11×16＝＝8.BD＝∴DF22整合集训1．A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 13.2 11.6014.1 12.CB °222 2 2715.勾股定理 ab＋或＝c或 16.23 是AC的中点，9017.证明：∵∠ABC＝°，且点E11AC.EB∴＝ED＝AC.同理：22ED.＝∴EB ∴∠EBD＝∠EDB. 分别垂直OE平分∠AOB，OA、OB，BC18.∵、AD∠AEC＝∠BED，???，＝DECE 中，在△ACE＝∴CEDE.和△BDE??°，∠ACE＝∠BDE＝90 ．≌△∴△ACEBDE(ASA)BE.AE＝∴°，30＝A，∠3 cm＝CE∵．∴AE＝2CE＝2×3＝6(cm)．∴EB＝6 cm.设竹竿长x米，则城门高(x－1)米，根据题意得x＝(x－1)＋3.解得x＝5.答：竹竿长5米．22219.20.(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.又∵AB＝AC，AD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠DAB＋∠DBA＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°.∴AB⊥AC.(2)AB⊥AC.理由如下：同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE.∴∠DAB＝∠ECA，∠DBA＝∠EAC.∵∠CAE＋∠ECA＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°.∴AB⊥AC.21.证明：(1)∵∠ACB＝∠ECD，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠ACE.∴∠BCD＝∠ACE.∵BC＝AC，DC＝EC，∴△BCD≌△ACE(SAS)．(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°.∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°.AD＋AE＝DE.由(1)知AE＝DB，222∴AD＋DB＝DE.222∴。