第八章 第一节 椭圆

答：(1) (2)
y
2

x
2
1
25
x
2
9
y
2

1
36
32
例题
返回
椭圆及其标准方程
x
2 2
b 4、已知椭圆 a ，F1、F2 是它的焦点，AB是过F1的直线被椭圆截 得的线段长，求 ABF2 的周长。
2

y
2
1 (ab0)
y
解： 由椭圆定义知
A
F1
o
F2
x
AF1 + AF2 =2a ； BF1 + BF2 =2a ； ABF2 的周长为4a 。
四、课型 新知探究课
五、教学媒体 1、设计教学方案，安排教学活动； 2、采集影、音、像素材，制作多媒体课 件.
六、教材处理和课程资源开发
根据课程标准和学生实际情况，我对教材 作如下处理： 1、把本章开头的图和引言用微机以影像 、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的 实用性； 2、进行分组实验，让学生亲自动手，体 验知识的发生过程，并培养团队协作精神； 3、选配典型习题，巩固教学效果； 4、布置课后实验操作题，培养学生的科 研精神。
解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它 的标准方程为:
y a
2 2

x b
2 2
1 (ab0)
2a=10 , 2c=8, a=5 , c=4.

y
2
b2=a2-c2=52-42=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
x
2
所以所求椭圆的标准方程为：
1. 25 9
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椭圆及其标准方程 例1、求适合下列条件的椭圆的方程： 焦距为8， 椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10。 解：当椭圆的焦点在X轴上时，标准方程为：

§8.1 椭圆一、课标要求（B 级要求）1、掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；2、掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题；3、了解运用椭圆的方程研究曲线的几何性质的思想方法二、知识要点1、椭圆的定义：平面内到两定点F 1，F 2的距离之______等于常数2a （_________）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的_________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________，记作_______。

若22a c >，轨迹为___________；若22a c =，轨迹为___________；若22a c <，轨迹__________2、椭圆的标准方程：______________和______________，其中⑴a>b>0；⑵222a b c =+4、椭圆的第二定义：________________________________________________________5、F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=的左右焦点，P 在椭圆上，则P 在________时，∠F 1PF 2最大。

三、基础练习1、若方程22175x y k k +=-－表示椭圆，则k 范围为_____________。

2、△ABC 中，B （－3，0），C （3，0），且△ABC 周长为16，则顶点A 的轨迹方程为____________3、P 为椭圆2212516x y +=上的一点，F 1,F 2为焦点，若∠F 1PF 2=60，则△F 1PF 2面积为________ 4、点P 为椭圆221259x y +=上一点，它到左准线距离为52，则它到右焦点距离为____________ 5、已知正方形ABCD ，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为__________四、典型例题例1：求满足下列各条件的椭圆方程 ⑴长轴是短轴的3倍，且经过点A （3，0）；⑵经过P （－1），Q 2）的两点；⑶与椭圆22143x y +=有相同的离心率，且焦点在x 轴上，经过点（2。

第一节椭圆的方程及性质复习目标学法指导1.椭圆及其标准方程.(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点、焦距的概念.2.椭圆的简单几何性质.(1)椭圆的简单几何性质.(2)有关椭圆的计算证明.3.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法. 1.注重掌握椭圆的形成过程,注重掌握其形成过程中椭圆上的点所满足的几何条件.2.利用曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1.概念理解(1)|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为椭圆.(2)|MF 1|+|MF 2|=2a=|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹为线段. (3)|MF 1|+|MF 2|=2a<|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹不存在. 2.相关结论 焦点三角形:以椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(-c,0),F 2(c,0)为顶点的三角形PF 1F 2称为焦点三角形. ①焦点三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2a+2c.②焦点三角形PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|sin α(其中α=∠F 1PF 2). ③|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2. 二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准 方程22x a +22y b =1(a>b>0)22y a +22x b =1(a>b>0)图形范围 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)轴长轴长2a,短轴长2b焦点 (±c,0)(0,±c)焦距 |F 1F 2|=2c离心率 e=c a ∈(0,1)a,b,c的关系c 2=a 2-b 21.概念理解(1)给出椭圆的标准方程,可根据x 2,y 2项分母的大小确定a 2和b 2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为a 2,并且焦点所在的坐标轴名称与该项变量相同,即焦点在长轴上,如23x +24y =1中,y 2项的分母大,所以a 2=4,b 2=3,且焦点在y 轴上.(2)椭圆中a 2,b 2与c 2的关系b 2=a 2-c 2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化. (3)椭圆的离心率e 反映椭圆的扁平程度,e ∈(0,1),e=ca21b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭变形为b a21e -这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.(4)焦点在y 轴上的方程及所有性质,都是焦点在x 轴上的内容中的x,y 互换得到的.2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论 (1)点M(x 0,y 0)与22x a +22y b =1的关系:点M 在椭圆上:202x a +202y b =1, 点M 在椭圆内:202x a+202y b<1,点M 在椭圆外:202xa +202y b >1.(2)共焦点的椭圆方程的设法:22x a k -+22y b k -=1,其中a 2>b 2>k.(3)共离心率的椭圆方程的设法:22x a +22y b =k, 其中k>0.1.已知方程25x m-+23y m +=1表示椭圆,则m 的取值范围为( D )(A)(-3,5) (B)(-3,1) (C)(1,5) (D)(-3,1)∪(1,5)解析:方程表示椭圆的条件为50,30,53,m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩解得m ∈(-3,1)∪(1,5).故选D.2.椭圆210x m-+22y m -=1的焦距为4,则m 等于( C )(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)12解析:当焦点在x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,所以m=4.当焦点在y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4, 所以m=8.所以m=4或8.故选C.3.(2019·北京卷)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为12,则( B )(A)a 2=2b 2 (B)3a 2=4b 2 (C)a=2b (D)3a=4b解析:因为椭圆的离心率e=c a =12,所以a 2=4c 2. 又a 2=b 2+c 2,所以3a 2=4b 2.故选B.4.椭圆225x +29y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过(0,5)与椭圆交于A,B,则△ABF 2周长的最大值为 . 解析:△ABF 2周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|≤|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a=20. 答案:205.椭圆24x +29y =1的左、右顶点分别为A,B,P 是椭圆上异于A,B 的一点,设PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2= . 解析:设P(x,y), 则k 1k 2=2yx +·2y x -=224y x -=2249y y -=-94. 答案:-94考点一 椭圆的定义及应用[例1] (1)已知动圆M 过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y 2=64相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )(A)216x +27y =1 (B)27x +216y =1 (C)216x -27y =1 (D)27x -216y =1(2)以A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过x-y+3=0上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为 . 解析:(1)因为点A 在圆B 内, 所以过点A 的圆与圆B 只能内切, 因为B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点M 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22x a +22y b =1,得a=4,c=3,b 2=7,所以方程为216x+27y =1.故选A.解析:(2)A(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为A ′(-3,2), 2a=|PA|+|PB|=|PA ′|+|PB|≥|A ′B|=25,所以长轴最短为25,此时椭圆方程为25x +24y =1.答案:(1)A 答案:(2)25x +24y =1椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的离心率等. 考点二 求椭圆的标准方程 [例2] (1)求过点35且与椭圆225y +29x =1有相同焦点的椭圆的标准方程;(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率3且过点(2,1),求椭圆方程. 解:(1)法一 椭圆225y +29x =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知, ()()223054-+-+()()223054-+--解得5由c 2=a 2-b 2可得b 2=4.所以所求椭圆的标准方程为220y+24x =1.法二 设所求椭圆方程为225y k -+29x k-=1(k<9), 将点(3,-5)的坐标代入可得()2525k --+()239k -=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为220y +24x =1.解:(2)因为e=3,所以a=2b.当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为24x +21y =b 2,(2,1)代入得b 2=2,此时标准方程为28x +22y =1.当焦点在y 轴上时,设椭圆方程为24y +21x =b 2,(2,1)代入得b 2=174,此时标准方程为217y +2417x =1.(1)求椭圆标准方程,常用待定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于a,b 的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆22x m +22y n =1(m 2≠n 2)共焦点的椭圆设为22x m k-+22y n k-=1(k<m 2,k<n 2)来求解.(3)对于已知椭圆离心率求方程的问题,可以用c 来表示a,b,从而设出方程,利用待定系数法求解.若所求椭圆与椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)有相同的离心率,则可设为22x a +22y b =k 1(k 1>0,焦点在x 轴上)或22y a +22x b =k 2(k 2>0,焦点在y 轴上).(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e 的等量关系,结合b 2=a 2-c 2,e=c a这些等量关系,求得a,b 的值,是求椭圆方程的一般思路.1.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-25,0)为C 的左焦点,P 为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C 的方程为( B )(A)225x +25y =1 (B)236x +216y =1 (C)230x +210y =1(D)245x +225y =1解析:设椭圆的标准方程为22x a +22yb =1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F ′,连接PF ′,如图所示. 因为5为C 的左焦点,所以5由|OP|=|OF|=|OF ′|知,∠FPF ′=90°, 即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中,由勾股定理, 得|PF ′22||||FF PF '-()22454-由椭圆定义,得|PF|+|PF ′|=2a=4+8=12, 所以a=6,a 2=36, 于是b 2=a 2-c 25)2=16,所以椭圆C 的方程为236x +216y=1.故选B.2.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+22y b =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,求椭圆E 的方程. 解:设F 1(-c,0),F 2(c,0),依据题意可得 a 2-b 2=1-b 2=c 2, 所以b 2=1-c 2. 因为AF 2⊥x 轴,所以将x=c 代入椭圆E 的方程,得 |AF 22,所以A(c,±b 2). 因为|AF 1|=3|F 1B|, 所以1AF =31F B .设B(x 0,y 0),根据椭圆的对称性不妨取A(c,b 2). 因为1AF =(-2c,-b 2),1F B =(x 0+c,y 0),所以(-2c,-b 2)=3(x 0+c,y 0), 所以()02023,3,c x c b y ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩解得0205,3,3c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则B(-53c ,-23b ),代入椭圆E 的方程,得(-53c )2+2223b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,所以2259c +219c -=1,解得c 2=13,所以b 2=1-c 2=23,所以椭圆E 的方程为x2+232y =1.考点三 椭圆的几何性质及应用[例3] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P= 120°,则C 的离心率为( )(A)23 (B)12 (C)13 (D)14(2)已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且∠F 1PF 2=60°.若△F 1PF 2的面积为33,则b= .解析:(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上,如图所示, 设|F 1F 2|=2c,因为△PF 1F 2为等腰三角形, 且∠F 1F 2P=120°, 所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c, 因为|OF 2|=c,所以点P 坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°), 即点3c),因为点P 在过点A 3的直线上,所以3c=3,解得c a=14,所以e=14,故选D.解析:(2)法一 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 因为△F 1PF 2的面积为33,∠F 1PF 2=60°,所以12F PF S∆=12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=3r 1r 2=33,所以r 1r 2=12.根据余弦定理,可得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|, 即4c 2=4a 2-3r 1r 2,所以4b 2=3r 1r 2=36,解得b=3. 法二 因为12F PF S ∆=b 2tan 122F PF ∠=b 2tan 30°=3b 2=33,所以b=3. 答案:(1)D (2)3(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:①求出a,c,代入公式e=ca ;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围).如图所示,已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q,且点Q 为线段PF 2的中点,则椭圆C 的离心率为 .解析:连接OQ,PF 1(图略),则|OQ|=b,|PF 1|=2b, |PF 2|=2|QF 222c b -,由|PF 1|+|PF 2|=2a, 可知22c b -=2a,化简可得221e -21e -+,解得5.答案5考点四 易错辨析[例4] (1)设e 是椭圆24x +2y k=1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(3,163) (C)(0,3)∪(163,+∞) (D)(0,2) (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别4525过P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.(1)解析:当4>k>0时,e=ca ∈(12,1),即12<1⇒1<4-k<4,即0<k<3;当4<k 时,e=ca ∈(12,1), 即14<4k k -<1⇒14<1-4k <1⇒34>4k >0⇒k>163. 故选C. (2)解:法一设椭圆的标准方程是22x a +22y b =1(a>b>0)或22y a +22x b =1(a>b>0),两个焦点分别为F 1,F 2.由题意知2a=|PF1|+|PF 2所以在方程22x a +22y b =1(a>b>0)中,令x=±c,得|y|=2b a . 在方程22y a +22x b =1(a>b>0)中,令y=±c,得|x|=2b a.依题意得2b a 2=103. 即椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 法二 设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,且|PF 1,|PF 2,则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF 2所以由|PF 1|>|PF 2|知,PF 2垂直于长轴. 故在Rt △PF 2F 1中,4c 2=|PF 1|2-|PF 2|2=203, 所以c 2=53,b 2=a 2-c 2=103,故椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x 2,y 2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另一种情况.温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定x 2与y 2项分母的大小,定量是利用已知条件求a 2,b 2的值.(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.1.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆24y +23x =1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:因为椭圆方程为24y +23x =1,所以焦点坐标为B(0,-1)和B ′(0,1), 连接PB ′,AB ′,根据椭圆的定义, 得|PB|+|PB ′|=2a=4, 可得|PB|=4-|PB ′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB ′|) =4+(|PA|-|PB ′|).因为|PA|-|PB ′|≤|AB ′|, 所以|PA|+|PB|≤4+|AB ′|=4+1=5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时,等号成立. 综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.长轴长为6,焦距为4的椭圆的标准方程为 . 解析:因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2. b 2=a 2-c 2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为29x +25y =1或25x +29y =1. 答案:29x +25y =1或25x +29y =1类型一 椭圆的定义及应用1.若椭圆C:29x +22y =1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 1|=4,则∠F 1PF 2等于( C )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:由题意知7所以|PF 2|=2,在△F 2PF 1中,由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=()2224227242+-⨯⨯=-12,又因为∠F 1PF 2∈(0°,180°), 所以∠F 1PF 2=120°.故选C. 2.设F 1,F 2是椭圆249x +224y =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为( C ) (A)30 (B)25 (C)24 (D)40解析:因为|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6,又因为|F 1F 2|=10,所以PF 1⊥PF 2;12PF F S =12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.故选C.3.已知椭圆C:29x +24y =1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C 上,则|AN|+|BN|= .解析:由椭圆C:29x +24y =1,得a=3.设MN 的中点为P,椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,连接PF 1,PF 2.①当点A,B 都不在直线MN 上时, 因为F 1,F 2分别是AM,BM 的中点,所以PF 1,PF 2分别是△AMN,△MNB 的中位线, 所以|AN|=2|PF 1|,|BN|=2|PF 2|,所以|AN|+|BN|=2|PF 1|+2|PF 2|=2(|PF 1|+|PF 2|)=4a=12.②当点A,B 中有一点在直线MN 上时,同理可得|AN|+|BN|=12. 答案:124.椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M,则M 的轨迹方程为 . 解析:延长F 2M 交F 1P 延长线于Q, 则|PQ|=|PF 2|,所以M 为F 2Q 的中点. 所以|OM|=12|F 1Q|=a,所以M 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2. 答案:x 2+y 2=a 2类型二 求椭圆的标准方程5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( C ) (A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:设椭圆的方程为22x a +22y b =1(a>b>0), 由题意知2b a =32, 又c 2=a 2-b 2=1,解得a=2或a=-12(舍去),b 2=3, 故椭圆的方程为24x +23y =1.故选C.6.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( B )(A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:不妨设|F 2B|=m,故|F 1B|=|AB|=|AF 2|+|F 2B|=3|F 2B|=3m. 由椭圆定义得|F 1B|+|F 2B|=2a=4m,故|F2B|=12a,|BF1|=32a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得:2222122222141cos,22194244cos.1222a c aAF Fa c aa c a aBF Faa c⎧+-∠==⎪⨯⨯⎪⎪⎨+--⎪∠==⎪⨯⨯⎪⎩由二角互补可得22aa-=-1a,解得a2=3,故b2=2,方程为23x+22y=1.故选B.7.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.解析:椭圆的离心率为12,则3设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以|PF2|2=(x1-c)2+21y=14(x1-4c)2,所以|PF2|=2c-12x1,连接OM,OP,由相切条件知:|PM|2=|OP|2-|OM|2=21x+21y-3c2=2114x,所以|PM|=12x1,所以|PF2|+|PM|=2c,同理可求|QF 2|+|QM|=2c, 所以|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c. 因为△PF 2Q 的周长为4, 所以c=1, 所以所以椭圆C 的方程为24x +23y =1. 答案:24x +23y =1类型三 椭圆的几何性质8.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆上,1AF ·12F F =0,∠F 1AF 2=45°,则椭圆的离心率e 等于( B )解析:由1AF ·12F F =0得AF 1⊥F 1F 2,又∠F 1AF 2=45°, 所以|AF 1|=|F 1F 2|, 即2b a =2c,整理得c 2+2ac-a 2=0, 所以e 2故选B.9.椭圆216x+24y =1上有两点P,Q,O 为坐标原点,若OP,OQ 斜率之积为-14,则|OP|2+|OQ|2等于( C ) (A)4 (B)64 (C)20 (D)不确定 解析:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),所以1212y y x x =-14,即22122212yy x x=116,(*)因为椭圆方程为216x +24y =1,所以21y =4-214x ,22y =4-224x ,代入(*)式整理可得21x +22x =16,所以|OP|2+|OQ|2=21x +22x +21y +22y =20.故选C.10.如图,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上一点,点M 在PF 1上,且满足1F M =2MP ,PO ⊥F 2M,O 为坐标原点,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .解析:过点O 作ON ∥F 2M 交PF 1于点N,OP 与MF 2交于点Q, 因为O 为F 1F 2中点, 所以N 为MF 1的中点, 又1F M =2MP ,所以M 为PN 中点,进而有Q 为OP 的中点, 又因为PO ⊥F 2M, 所以OF 2=PF 2=c, 又a-c<PF 2<a+c, 所以a-c<c<a+c,即ca >12,所以离心率e∈(12,1).答案:(12,1)。

典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系 xOy
中，椭圆 C 的中心为坐标原点，F1、F2 为它的两个焦点，
离心率为 22，过 F1 的直线 l ABF2 的周长为 16，那么椭圆
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
即 有 △ F1PF2
的面积
S
＝
1 2
|PF1|·|PF2|sin
∠
F1PF2
＝
b2·1＋sincoθsθ＝b2tanθ2＝tan2θ.
第二十五页，共69页。
方法技巧 椭圆定义的应用技巧
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内 动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角 形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．
第三十页，共69页。
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
第三十一页，共69页。
为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦
距)．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
第十二页，共69页。