高考数学一轮复习 第8章 第5节 椭圆课件 理 苏教版
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2021届高考数学一轮总复习第八章平面解析几何椭圆及其几何性质课件苏教版
a2＝b2＋c2，
解得ab22＝＝43，，
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y32＝1. (3)∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2 2，
∴e＝ac＝2
2
＝ 2
2 2.
(4)由已知得5k－－3k>>00，， 5－k≠k－3.
解得 3<k<5 且 k≠4.
(5)设 P(x0，y0)，因为点 P 在曲线 C 上， 所以x420＋y20＝1(y0≠0)，y20＝1－x420，
圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( × ) (6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
3．三种题型都有可能出现，选择、填 3．理解数形结合的思想.
空题一般为中低档题，解答题为高档
题.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 椭圆的定义
平面内到两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨 迹叫做椭圆．两定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点．
线 BF1 与 C 的另一个交点为 A，若△BAF2 为等腰三角形，则||AAFF21|| ＝( A )
1
1
A.3
B.2
2 C.3
D．3
(2)(2020·郑州市质量预测)椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的焦点为 F1，F2，
解得ab22＝＝43，，
故椭圆 C 的标准方程为x42＋y32＝1. (3)∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2 2，
∴e＝ac＝2
2
＝ 2
2 2.
(4)由已知得5k－－3k>>00，， 5－k≠k－3.
解得 3<k<5 且 k≠4.
(5)设 P(x0，y0)，因为点 P 在曲线 C 上， 所以x420＋y20＝1(y0≠0)，y20＝1－x420，
圆．( × ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( √ ) (3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( × )
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．( × ) (6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ )
3．三种题型都有可能出现，选择、填 3．理解数形结合的思想.
空题一般为中低档题，解答题为高档
题.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律 课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 椭圆的定义
平面内到两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨 迹叫做椭圆．两定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点．
线 BF1 与 C 的另一个交点为 A，若△BAF2 为等腰三角形，则||AAFF21|| ＝( A )
1
1
A.3
B.2
2 C.3
D．3
(2)(2020·郑州市质量预测)椭圆2x52 ＋1y62 ＝1 的焦点为 F1，F2，
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆课件
抓
基
础
·
自
主 学
第八章 平面解析几何
课
习
时
分
第五节 椭 圆层明 考 Nhomakorabea训 练
向
·
题
型
突
破
1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. ①当 2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； ③当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，
则 C 的方程是( ) A.x32＋y42＝1
C.x42＋y22＝1 D [椭圆的焦点在 x 轴上，c＝1.
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x42＋y32＝1.]
2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量， 即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组，若焦点 位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练 1] (1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.
基
础
·
自
主 学
第八章 平面解析几何
课
习
时
分
第五节 椭 圆层明 考 Nhomakorabea训 练
向
·
题
型
突
破
1．椭圆的定义 (1)平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0. ①当 2a>|F1F2|时，M 点的轨迹为椭圆； ②当 2a＝|F1F2|时，M 点的轨迹为线段 F1F2； ③当 2a<|F1F2|时，M 点的轨迹不存在．
2．(教材改编)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，
则 C 的方程是( ) A.x32＋y42＝1
C.x42＋y22＝1 D [椭圆的焦点在 x 轴上，c＝1.
B.x42＋
y2 ＝1 3
D.x42＋y32＝1
又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x42＋y32＝1.]
2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量， 即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于 a，b 的方程组，若焦点 位置不确定，可把椭圆方程设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式．
[变式训练 1] (1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.
2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
得（x1－x2）a（2 x1＋x2）＋（y1－y2）b（2 y1＋y2）＝0. 因为线段AB的中点坐标为(1，－1)， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 且 kAB＝xy11－－yx22＝12，所以ba22＝12，即 a2＝2b2②. 由①②，得 b2＝9，a2＝18，所以椭圆 E 的方程为1x82＋y92＝1.
第八章 平面解析几何
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 _椭__圆___.这两个定点叫做椭圆的__焦__点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距__， 焦距的一半称为半焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0， 且a，c为常数： (1)若__a_＞__c___，则集合P为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合P为线段； (3)若__a_＜__c___，则集合P为空集.
D. x2＋y2＝1 18 9
解析 由题意可知，椭圆E的半焦距c＝3，所以a2－b2＝9①. 因为直线 AB 经过点(1，－1)，F(3，0)，所以 kAB＝－1－ 1－30＝12. 设点 A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则xaxa212222＋ ＋bbyy212222＝ ＝11， ，两式相减，
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
图形
ay22＋xb22＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
2020高考数学(苏教,理科)复习配套课件：第八章 平面解析几何第五节 椭 圆.ppt
数学
第五节 椭 圆
2．一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2, 3)是椭 圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程 为________． 解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．由点 P(2, 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数 列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，ac＝12，又 c2 ＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 答案：x82＋y62＝1
第五节
椭圆
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆： ①在平面内； ②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数； ③常数大于 |F1F2| . (2)焦点：两定点． (3)焦距：两 焦点 间的距离．
数学
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
数学
第五节 椭 圆
[典例] (2013·福建高考)椭圆 Γ：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等 于________．
数学
第五节 椭 圆
1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2 的值，再结合焦点 位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出 相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程 组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
数应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标 准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离 心率等． 2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋ |PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| 进行转化，可求焦点三角形 的周长和面积． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n ＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且 A≠B)．
第五节 椭 圆
2．一个椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2, 3)是椭 圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程 为________． 解析：设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)．由点 P(2, 3)在椭圆上知a42＋b32＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数 列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即 2a＝2·2c，ac＝12，又 c2 ＝a2－b2，联立得 a2＝8，b2＝6. 答案：x82＋y62＝1
第五节
椭圆
第五节 椭 圆
1．椭圆的定义 (1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆： ①在平面内； ②与两个定点F1、F2的距离之 和 等于常数； ③常数大于 |F1F2| . (2)焦点：两定点． (3)焦距：两 焦点 间的距离．
数学
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
数学
第五节 椭 圆
[典例] (2013·福建高考)椭圆 Γ：xa22＋by22＝1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等 于________．
数学
第五节 椭 圆
1．求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2，b2 的值，再结合焦点 位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上，设出 相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a，b，c 的方程 组，解出 a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．
数应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标 准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离 心率等． 2．利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|，再结合|PF1|2＋ |PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2| 进行转化，可求焦点三角形 的周长和面积． 3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为xm2＋yn2＝1(m＞0，n ＞0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且 A≠B)．
2025年高考数学一轮复习-8.5椭 圆【课件】
D，由结论2知，D正确.故选A、C、D.
高中总复习·数学（提升版）
3.
2
已知 P 是椭圆 ＋ y 2＝1上的一点， F 1， F 2是椭圆的两个焦点，当
4
π
∠ F 1 PF 2＝ 时，△ PF 1 F 2的面积为
3
3
3
.
π
3
2
解析：由结论2可得， S ＝ b tan ，即 S ＝1·tan ＝ .
高中总复习·数学（提升版）
1. 若点 P 在椭圆上， F 为椭圆的一个焦点，则
（1） b ≤｜ OP ｜≤ a ；
（2） a － c ≤｜ PF ｜≤ a ＋ c .
高中总复习·数学（提升版）
2. 焦点三角形：椭圆上的点 P （ x 0， y 0）与两焦点 F 1， F 2构成的△
PF 1 F 2叫做焦点三角形，如图所示，设∠ F 1 PF 2＝θ.
2｜＝7.
高中总复习·数学（提升版）
2. 已知椭圆 C ：16 x 2＋4 y 2＝1，则下列结论正确的是（
A.
1
长轴长为
2
C.
1
短轴长为
4
B. 焦距为
）
3
4
D. 离心率为
3
2
解析： 把椭圆方程16 x 2＋4 y 2＝1化为标准方程可得
2
1
16
＋
2
1
4
＝
1
1
3
3
1，所以 a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ，则长轴长2 a ＝1，焦距2 c ＝ ，短
｜1 ｜＋｜2 ｜
2
）2＝ a 2；
（4）焦点三角形的周长为2（ a ＋ c ）.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件理
典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系 xOy
中，椭圆 C 的中心为坐标原点，F1、F2 为它的两个焦点，
离心率为 22，过 F1 的直线 l ABF2 的周长为 16，那么椭圆
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
即 有 △ F1PF2
的面积
S
＝
1 2
|PF1|·|PF2|sin
∠
F1PF2
＝
b2·1＋sincoθsθ＝b2tanθ2＝tan2θ.
第二十五页，共69页。
方法技巧 椭圆定义的应用技巧
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内 动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角 形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．
第三十页，共69页。
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
第三十一页，共69页。
为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦
距)．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
第十二页，共69页。
(江苏专用)高考数学总复习 第八章第5课时 椭圆课件
思考探究 椭圆xa22＋yb22＝1 的焦点在 x 轴上对吗？
提示：不对，此处并没有指明a>b>0 ，即此方程中a2，b2与标准方程中a2， b2的意义不同．
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。
y1＝1m2x1＋3， x921＋y521＝1，
11 分
得kMD＝kND，所以直线MN过D点． 因此，直线MN必过x轴上的定点 (1,0).16分
【得分技巧】 解决本题的关键在于 (1)会用直接法求曲线的轨迹方程，(2) 会求两曲线交点，(3)能发现kMD＝kND.
【失分溯源】 本题难度不大，但对 计算能力要求较高，本题绝大部分考 生失分都在计算不准确．
对称轴：_x_轴__、__y_轴__，_长轴长：___A__1A__2＝__2_a__，
轴
短轴长：___B_1_B_2_＝__2_b_____
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0) _______________
F1(0，－c)，F2(0，c) __________________
准线 l1_：__x_＝__－__ac_2_，__l2_：__x_＝__ac2 l_1：__y_＝__－__ac_2_，__l2_：__y_＝__ac2 方程 焦半 ___M__F_1_＝__a_＋__e_x_0_，____ ___M__F_1_＝__a_＋__e_y_0_，___
前者对从圆到椭圆的过渡起到一定作 用，容易形成距离之和为定值的“焦点 三角形”；后者的作用是将两种不同性 质的距离(到定点的距离，到定直线的 距离)进行了转化(特别提示：“化斜为 直”的应用)．因此，在解题中凡涉及 点到焦点距离时，可先想到用定义来 解决，往往有事半功倍之效．
(江苏专用)高考数学总复习 第八章第5课时 椭圆课件
MF1＝a＋ex0， MF1＝a＋ey0， 焦半 ___________________ __________________
径
焦距
MF2＝a－ex0 MF2＝a－ey0 ___________________ __________________
2＝a2－b2 F F ＝ 2 c ( c >0) ， c 1 2 ___________________________
课前热身 1．若椭圆的两焦点为 (－ 2,0)，(2,0)，且 5 3 该椭圆过点 ( ，－ )，则该椭圆的方程 2 2 是 ________．
x 2 y2 答案： ＋ ＝1 10 6
x2 y2 2． (2012· 常州调研)若方程 ＋ ＝ 5－k k－3 1 表示椭圆，则 k 的取值范围是 ________．
答案：(3,4)∪(4,5)
x 2 y2 3．椭圆 ＋ ＝1 的焦距等于 2，则 m m 15 的值是________．
答案：16或14
4．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短 轴长、离心率依次是________．
4 答案：10,6， 5
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 椭圆的定义及标准方程
(2)平面内点M与定点F的距离和它到
定直线l的距离d的比是常数e(0<e<1)的 MF ＝e . 点的轨迹，即＝_____________ d
焦点 ，定直线l为椭 定点F为椭圆的______ 该焦点对应的准线 ． 圆的_________________
2．椭圆中的几何量 2a ，短轴 B1B2 ＝ ___ 2b ， (1) 长轴 A1A2 ＝ ___ 2c ，且满足__________ 焦距F1F2＝___ a2＝b2＋c2 .
2025年高考数学一轮复习-8.5-椭圆【课件】
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
图形
_
_
标准方程
范围
且
且
顶点
, , ,
, , ,
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
轴长
短轴长为____，长பைடு நூலகம்长为____
焦点
__________________
__________________
焦距
____
第5讲 椭圆
课标要求
考情分析
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等.核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
1.椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点
点的轨迹为椭圆
_________为椭圆的焦点；_______为椭圆的焦距
[提醒] 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在.
，
2.椭圆的标准方程及几何性质
解析：因为 是等边三角形，所以 ，故A， 关于 轴对称，所以 轴，故 ，又因为 ，所以 ，又 ，故 ，所以 , .
2.已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上异于 ， 的点，直线 和 的斜率分别为 ， ，则满足 的一个椭圆 的方程是_ _________________________.
焦点在 轴上
焦点在 轴上
图形
_
_
标准方程
范围
且
且
顶点
, , ,
, , ,
焦点的位置
焦点在 轴上
焦点在 轴上
轴长
短轴长为____，长பைடு நூலகம்长为____
焦点
__________________
__________________
焦距
____
第5讲 椭圆
课标要求
考情分析
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
考点考法：高考对椭圆考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程研究椭圆的性质，常以选择题或填空题的形式出现，有时也出现在解答题第一问中，难度中等.核心素养：数学运算、逻辑推理
必备知识 自主排查
必备知识 自主排查
01
1.椭圆的定义
条件
结论1
结论2
平面内与两个定点 ， 的距离的和等于常数（大于 ）的点
点的轨迹为椭圆
_________为椭圆的焦点；_______为椭圆的焦距
[提醒] 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在.
，
2.椭圆的标准方程及几何性质
解析：因为 是等边三角形，所以 ，故A， 关于 轴对称，所以 轴，故 ，又因为 ，所以 ，又 ，故 ，所以 , .
2.已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，点 是椭圆 上异于 ， 的点，直线 和 的斜率分别为 ， ，则满足 的一个椭圆 的方程是_ _________________________.
高考数学一轮复习 第八章 第5讲 椭圆课件 文
A．x32＋y22＝1
B．x32＋y2＝1
C．1x22 ＋y82＝1
D．1x22 ＋y42＝1
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[解析] (1)依题意，设椭圆方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)，则
有2a22＋2b22＝1 ，由此解得 a2＝20，b2＝5，因此所求的椭圆 a2－b2＝15
方程是2x02 ＋y52＝1．
解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴
上；c＝1．又离心率为ac＝12，故 a＝2，b2＝a2－c2＝4－1 ＝3，故椭圆的方程为x42＋y32＝1．
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2．(2015·浙江省名校联考)已知 F1，F2 是椭圆x42＋y32＝1 的 两个焦点，过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，则 △F1AB 的周长为____8____． 解析：由已知可得△F1AB 的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋ |BF2|＝4a＝8．
＝1(a＞b＞ 0)
ay22＋xb22 ＝1(a＞b＞0)
A1(－a,0),A2(a,0) B1(0,－b),B2(0,b)
A1(0,－a)，A2(0,a) B1(－b,0),B2(b,0)
长__轴__A_1_A2的长为__2_a___短轴B1B2的长为 2b
|F1F2|＝____2_c _____
该椭圆的标准方程为( C )
A．x52＋y2＝1
B．x42＋y52＝1
C．x52＋y2＝1 或x42＋y52＝0，1)，(－2，0)，由题意知当
焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1．
当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1，
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
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F1(0，－c) F2 (0，c)
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准线
性 质轴
焦距 离心率
l1l：2：xxx＝＝＝x＝－a－ca2acca22c2
l1l：2：yy＝yy＝＝＝－－aacca22ca2c2
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
F1F2＝ 2c
e＝ac，且 e∈ (0,1)
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a，b，c 性 的关系 质
[解析]
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则aaxx212222＋＋byby222122＝＝11，，
∴x1－x2a2x1＋x2＋y1－y2b2y1＋y2＝0，
∴yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22.
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∵yx11－ －yx22＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－ba22＝－12， ∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，
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(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点 F 为平面内的一个定点，直线 l 为平面内的一条定直 线．设 d 为平面内一动点 P 到定直线 l 的距离，若 d＝54|PF|，则点 P 的轨迹为椭圆．( )
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[解析] (1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点 P 的轨迹为线段 AB； (2)正确，根据椭圆的第一定义知 PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△ PF1F2 的周长为 2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4) 正确，根据椭圆的第二定义．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
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范
－a≤x≤ a
围
－b≤y≤ b
－b≤x≤ b －a≤y≤ a
性 顶 A1 (－a,0)，A2 (a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 质 点 B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0) ，B2 (b,0)
焦
F1 (－c,0)
点
F2 (c,0)
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(2)第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比 是常数e( 0 <e<1)的动点的轨迹是椭圆，定点 F 叫做椭圆的焦点， 定直线 l 叫做焦点 F 相应的准线，根据椭圆的对称性，椭圆有两个 焦点和两条准线．
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2．椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程
xa22＋by22＝1(a>b>0)
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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2．(教材习题改编)焦点在 x 轴上的椭圆x52＋ym2＝1 的离心率为 510，则 m＝________.
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[解析] 由题设知 a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝ac22＝5－5 m＝ ( 510)2＝25，
∴5－m＝2，∴m＝3.
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4．(2014·无锡质检)椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为 F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A，B，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是 ________．
[解析] 直线 x＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由 椭圆定义知，其周长为 4a＝8，
此时，|AB|＝2×ba2＝2×2 3＝3，
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【规律方法】
(1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用
定义来解决．
(2)求椭圆的标准方程有两种方法
①定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置
可写出椭圆方程．
②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，
[答案] 3
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3．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点 P 到两焦 点的距离之和为 20，则椭圆的标准方程为________．
[解析] 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2 ＝a2－c2＝64，故椭圆方程为6x42 ＋1y020＝1.
[答案] 6x42 ＋1y020＝1
∴S△FAB＝12×2×3＝3.
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[答案] 3
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5．(2014·江西高考)过点 M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆 C： xa22＋by22＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB 的中点，则 椭圆 C 的离心率等于________．
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x＝－4，则该椭圆的方程为________．
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[解析] (1)由条件知△AF1B 的周长＝4a＝4 3，∴a＝ 3.
∵e＝ac＝ 33，c2＋b2＝a2，∴c＝1，b＝ 2. ∴椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1. (2)∵椭圆的一条准线为 x＝－4，∴焦点在 x 轴上且ac2＝4，又 2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4，∴该椭圆方程为x82＋y42＝1. [答案] (1)x32＋y22＝1 (2)x82＋y42＝1,
对称性
c2＝ a2－b2
对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误 的打“×”)
(1)动点 P 到两定点 A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为 4，则点 P 的轨迹是椭圆．( )
(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋ 2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ac＝
2 2.
[答案]
2 2
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考向 1 椭圆的定义与标准方程 【典例 1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆 C：xa22＋by22＝
1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C
于 A、B 两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为________． (2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落
研
实
第五节 椭 圆
析
提
知
课
能
后
·
限
Hale Waihona Puke 典时例自
探
测
究
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1
要求
考
内容
AB C 纲
中心在坐标原点的椭
传
圆的标准方程与几何
√
真
性质
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1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数(大 于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个 焦点 的距离叫做焦距．