2013届高考数学一轮复习课时检测 第八章 第五节 椭圆 理

课时作业一、选择题1．(2014·浙江绍兴一模)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32B [连接MF 2，已知|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝10，∴|MF 2|＝10－|MF 1|＝8. 如图，|ON |＝12|MF 2|＝4.故选B.]2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 B [∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.]3．(2014·广东韶关4月调研)F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，与直线y ＝b 相切的⊙F 2交椭圆于点E ，E 恰好是直线EF 1与⊙F 2的切点，则椭圆的离心率为( )A.32 B.33 C.53D.54C [依题意，△EF 1F 2为直角三角形，∠F 1EF 2＝90°， |F 1F 2|＝2c ，|EF 2|＝b ，由椭圆的定义知|EF 1|＝2a －b ， 又|EF 1|2＋|EF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2a －b )2＋b 2＝(2c )2，整理得b ＝23a ，所以，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝59，故e ＝53.选C.]4．(2014·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，MF 1―→,·MF 2―→,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233 B.263C.33D. 3B [由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上， 该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2， 代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.]5．(2014·温州模拟)设椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内 B ．必在圆x 2＋y 2＝2上 C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能A [由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2＜2a 2a2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．] 二、填空题6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案x 236＋y 29＝1 7．(2014·乌鲁木齐第一次诊断)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，得b2＜ac ，即a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＞0，即e 2＋e －1＞0，e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，∴5－12＜e ＜1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1三、解答题8．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．解析 (1)由已知得c ＝22，ca ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.9．(2013·烟台一模)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)上两点，已知m＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解析 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32.∴a ＝2，c ＝ 3.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在，即x 1＝x 2时，y 1＝－y 2，由m·n ＝0得x 21－y 214＝0，∴y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，△AOB 的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1. ②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)， x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0，∴x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，代入Δ中，满足题意，∴△AOB 的面积S ＝12·|b |1＋k 2|AB |＝12|b |·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b22|b |＝1. ∴△AOB 的面积为定值1。

第五节 椭圆授课提示：对应学生用书第361页〖A 组 基础保分练〗1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．5〖解 析〗连接PF 2（图略），由题意知，a ＝5，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4． 〖答 案〗A2．过点A （3，－2）且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为（ ）A ．x 215＋y 210＝1B ．x 225＋y 220＝1C ．x 210＋y 215＝1D ．x 220＋y 215＝1〖解 析〗法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b 2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1．法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为（±5，0），设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1（λ＞0），将点A （3，－2）代入，得9λ＋5＋4λ＝1（λ＞0），解得λ＝10或λ＝－2（舍去），故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1． 〖答 案〗A3．（2021·衡水模拟）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为13，则ab＝（ ）A ．98B ．322C ．43D ．324〖解 析〗因为e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝13，所以8a 2＝9b 2，所以a b ＝324． 〖答 案〗D4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1〖解 析〗由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，所以b 2＝2，所以C 的方程为x 23＋y 22＝1．〖答 案〗A5．（2020·石家庄质检）倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a >b >0）的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为（ ）A ．32B ．23C ．22D ．33〖解 析〗由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得（b 2＋a 2）y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，所以（c －x 1，－y 1）＝2（x 2－c ，y 2），所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.所以12＝4c2a 2＋b 2，所以e ＝23． 〖答 案〗B 6．（2021·惠州调研）设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为（ ）A ．514B ．59C ．49D ．513〖解 析〗如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x轴，可求得|PF 2|＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513．〖答 案〗D7．（2021·郑州模拟）已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （1，0），过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为 _________．〖解 析〗因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A （1，0），所以b ＝1，焦点坐标为（0，c ），因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆的方程为y 24＋x 2＝1．〖答 案〗y 24＋x 2＝18．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．〖解 析〗（1）由题意知，离心率e ＝c a ＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x24＋y 2＝1．（2）由条件可知F 1（－3，0），直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265．9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0），F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B ． （1）若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；（2）若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．〖解 析〗（1）若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c ． 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22．（2）由题知A （0，b ），F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝a 2－b 2，设B （x ，y ）． 由AF 2→＝2F 2B →，得（c ，－b ）＝2（x －c ，y ），解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2．①又由AF 1→·AB →＝（－c ，－b ）·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1．②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2．所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．〖B 组 能力提升练〗1．（2021·吉安模拟）如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）A ．22 B ．33 C ．32D ．13〖解 析〗设圆柱的底面圆的直径为d ，则椭圆的短轴长为d ． 因为截面与底面成45°角，所以椭圆的长轴长为2d ， 所以椭圆的半焦距为⎝⎛⎭⎫22d 2－⎝⎛⎭⎫d 22＝d 2， 则e ＝c a ＝d 222d ＝22．〖答 案〗A2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为53，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一象限的交点为P ，则直线PF 1的斜率为（ ）A ．13B ．12C ．33D ．32〖解 析〗因为e ＝c a ＝53，故可设a ＝3，c ＝5，则b ＝2，S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝12|PF 1|·|PF 2|＝4，因为P 在第一象限，所以|PF 1|＞|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，故|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以直线PF 1的斜率kPF 1＝|PF 2||PF 1|＝12．〖答 案〗B3．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2．若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为（ ）A ．32B ．332C ．94D ．154〖解 析〗由椭圆C ：x 24＋y23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1（－1，0），F 2（1，0），由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3× 1－14＝±32， 不妨设A 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，32．设P （m ，n ），则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝（m ＋1，n ）·⎝⎛⎭⎫0，32＝32n ≤332， 可得F 1P →·F 2A →的最大值为332．〖答 案〗B4．（2021·温州模拟）正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－12 〖解 析〗设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ．又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1＞c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，整理得e4－3e 2＋1＞0，e 2＜3－52＝（5－1）24，∴0＜e ＜5－12． 〖答 案〗B5．若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为_________．〖解 析〗设点A 在点B 上方，F 1（－c ，0），F 2（c ，0），其中c ＝1－b 2，则可设A （c ，b 2），B （x 0，y 0），由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1．〖答 案〗x 2＋3y22＝16．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |－|PF 1|的最小值为_________． 〖解 析〗由椭圆的方程可知F 2（3，0），由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|．所以|PM |－|PF 1|＝|PM |－（2a －|PF 2|）＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝（6－3）2＋（4－0）2＝5，2a ＝10，所以|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为－5． 〖答 案〗－57．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合．C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |＝43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程．〖解 析〗（1）由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2．不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB |＝2b 2a，|CD |＝4c ．由|CD |＝43|AB |得4c ＝8b 23a ，即3×c a ＝2－2⎝⎛⎭⎫c a 2．解得c a ＝－2（舍去）或c a ＝12．所以C 1的离心率为12．（2）由（1）知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c2＝1．设M （x 0，y 0），则x 204c 2＋y 203c2＝1，y 20＝4cx 0， 故x 204c 2＋4x 03c＝1． ① 因为C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF |＝x 0＋c ，而|MF |＝5，故x 0＝5－c ，代入①得（5－c ）24c 2＋4（5－c ）3c ＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1（舍去）或c ＝3．所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x ．〖C 组 创新应用练〗1．有一个高为12 cm ，底面圆半径为3 cm 的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃杯厚度忽略不计），当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎝⎛⎦⎤0，55B ．⎣⎡⎭⎫55，1C ．⎝⎛⎦⎤0，255D ．⎣⎡⎭⎫255，1〖解 析〗由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为122＋62＝65，短轴长为6，所以椭圆的离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫3352＝255，所以e ∈⎝⎛⎦⎤0，255．〖答 案〗C2．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点B 和左焦点F ，并被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是_________．〖解 析〗依题意，知b ＝2，kc ＝2． 设圆心到直线l 的距离为d ， 则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165．又因为d ＝21＋k2，所以11＋k 2≤45， 解得k 2≥14．于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255．〖答 案〗⎝⎛⎦⎤0，2553．（2021·衡水模拟）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．2019年，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为 千米．〖解 析〗设椭圆的长半轴长为a 千米，半焦距为c 千米，月球半径为r 千米．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝100＋r ，a －c ＝15＋r ，解得2c ＝85．即椭圆形轨道的焦距为85千米．〖答 案〗85。

高考数学（理科）一轮复习椭圆学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案51 椭圆导学目标：1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m||mF1|＋|mF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a&gt;0，c&gt;0，且a，c为常数：若________，则集合P为椭圆；若________，则集合P为线段；若________，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1y2a2＋x2b2＝1图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1，A2B1，B2A1，A2B1，B2轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝a2－b2自我检测．已知△ABc的顶点B、c在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在Bc边上，则△ABc的周长是A．23B．6c．43D．122．“m&gt;n&gt;0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sinα－y2cosα＝1的焦点在y轴上，则α的取值范围是A.3π4，πB.π4，3π4c.π2，πD.π2，3π44．椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的A．7倍B．5倍c．4倍D．3倍5．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是，那么k等于A．－1B．1c.5D．－5探究点一椭圆的定义及应用例1 一动圆与已知圆o1：2＋y2＝1外切，与圆o2：2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：长轴是短轴的3倍且经过点A；经过两点A和B12，3.变式迁移2 已知椭圆过，离心率e＝63，求椭圆的标准方程；已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1、P2，求椭圆的标准方程．探究点三椭圆的几何性质例3 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.求椭圆离心率的范围；求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点m向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥om.求椭圆的离心率e；设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．方程思想的应用例已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆c的离心率为12，且经过点m，过点P的直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B.求椭圆c的方程；是否存在直线l，满足PA→&#8226;PB→＝Pm→2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，由题意得1a2＋94b2＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2.解得a2＝4，b2＝3.故椭圆c的方程为x24＋y23＝1.[4分] 若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y ＝k＋1，由x24＋y23＝1，y＝k&#61480;x－2&#61481;＋1，得x2－8kx＋16k2－16k－8＝0.[6分]因为直线l与椭圆c相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为，，所以Δ＝[－8k]2－4&#8226;&#8226;&gt;0.整理得32&gt;0，解得k&gt;－12.[7分]又x1＋x2＝8k&#61480;2k－1&#61481;3＋4k2，x1x2＝16k2－16k－83＋4k2，且PA→&#8226;PB→＝Pm→2，即＋＝54，所以＝54，即[x1x2－2＋4]＝54.[9分]所以[16k2－16k－83＋4k2－2×8k&#61480;2k－1&#61481;3＋4k2＋4]＝4＋4k23＋4k2＝54，解得k＝±12.[11分]所以k＝12.于是存在直线l满足条件，其方程为y＝12x.[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x2m＋y2n＝1，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变．3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．一、选择题．若△ABc的两个顶点坐标分别为A、B，△ABc的周长为18，则顶点c的轨迹方程为A.x225＋y29＝1B.y225＋x29＝1c.x216＋y29＝1D.y216＋x29＝12．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于A．4B．5c．7D．83．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是A.32B.22c.2－1D.24．已知圆2＋y2＝36的圆心为m，设A为圆上任一点，N，线段AN的垂直平分线交mA于点P，则动点P的轨迹是A．圆B．椭圆c．双曲线D．抛物线5．椭圆x225＋y29＝1上一点m到焦点F1的距离为2，N是mF1的中点，则|oN|等于A．2B．4c．8D.32二、填空题6．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______________．7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________；∠F1PF2的大小为________．8.如图，已知点P是以F1、F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1上一点，若PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题9．已知方向向量为v＝的直线l过点和椭圆c：x2a2＋y2b2＝1的右焦点，且椭圆的离心率为63.求椭圆c的方程；若已知点D，点m，N是椭圆c上不重合的两点，且Dm →＝λDN→，求实数λ的取值范围．0．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B 两点，c是AB的中点，若|AB|＝22，oc的斜率为22，求椭圆的方程．1．已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点A，且点F为其右焦点．求椭圆c的方程．是否存在平行于oA的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51 椭圆自主梳理．椭圆焦点焦距a&gt;c a＝c a&lt;c自我检测．c 2.c 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1 解如图所示，设动圆的圆心为c，半径为r.则由圆相切的性质知，|co1|＝1＋r，|co2|＝9－r，∴|co1|＋|co2|＝10，而|o1o2|＝6，∴点c的轨迹是以o1、o2为焦点的椭圆，其中2a＝10,2c ＝6，b＝4.∴动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.变式迁移1 解将圆的方程化为标准形式为：2＋y2＝62，圆心B，r＝6.设动圆圆心m的坐标为，动圆与已知圆的切点为c.则|Bc|－|mc|＝|Bm|，而|Bc|＝6，∴|Bm|＋|cm|＝6.又|cm|＝|Am|，∴|Bm|＋|Am|＝6&gt;|AB|＝4.∴点m的轨迹是以点B、A为焦点、线段AB中点为中心的椭圆．a＝3，c＝2，b＝5.∴所求轨迹方程为x29＋y25＝1.例2 解题导引确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件和两个定形条件．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1．解若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9a2＝1，∴a＝3，又2a＝3&#8226;2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1．∵椭圆过点A，∴9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3&#8226;2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.设经过两点A，B12，3的椭圆标准方程为mx2＋ny2＝1，将A，B坐标代入方程得4n＝114m＋3n＝1&#8658;m＝1n＝14，∴所求椭圆方程为x2＋y24＝1.变式迁移2 解当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x29＋y23＝1或x29＋y227＝1.设椭圆方程为mx2＋ny2＝1．∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程，则6m＋n＝1，①3m＋2n＝1，②①②两式联立，解得m＝19，n＝13.∴所求椭圆方程为x29＋y23＝1.例3 解题导引椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a、c 的关系．对△F1PF2的处理方法定义式的平方余弦定理面积公式&#8660;&#61480;|PF1|＋|PF2|&#61481;2＝&#61480;2a&#61481;2，4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ，S△＝12|PF1||PF2|sinθ.解设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，|PF1|＝m，|PF2|＝n.在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos60°.∵m＋n＝2a，∴m2＋n2＝2－2mn＝4a2－2mn.∴4c2＝4a2－3mn，即3mn＝4a2－4c2.又mn≤m＋n22＝a2，∴4a2－4c2≤3a2.∴c2a2≥14，即e≥12.∴e的取值范围是12，1.证明由知mn＝43b2，∴S△PF1F2＝12mnsin60°＝33b2，即△PF1F2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解∵F1，则xm＝－c，ym＝b2a，∴kom＝－b2ac.∵kAB＝－ba，om∥AB，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝&#61480;r1＋r2&#61481;2－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2&#61480;r1＋r22&#61481;2－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区．A 2.D 3.c 4.B 5.B6.x236＋y29＝17.2 120°8.539．解∵直线l的方向向量为v＝，∴直线l的斜率为k＝3.又∵直线l过点，∴直线l的方程为y＋23＝3x.∵a&gt;b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点．∴c＝2.又∵e＝ca＝63，∴a＝6.∴b2＝a2－c2＝2.∴椭圆方程为x26＋y22＝1.若直线mN⊥y轴，则m、N是椭圆的左、右顶点，λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－26.若mN与y轴不垂直，设直线mN的方程为x＝my＋3．由x26＋y22＝1，x＝my＋3得y2＋6my＋3＝0.设m、N坐标分别为，，则y1＋y2＝－6mm2＋3，①y1y2＝3m2＋3，②Δ＝36m2－12＝24m2－36&gt;0，∴m2&gt;32.∵Dm→＝，DN→＝，Dm→＝λDN→，显然λ&gt;0，且λ≠1，∴＝λ．∴y1＝λy2.代入①②，得λ＋1λ＝12m2m2＋3－2＝10－36m2＋3.∵m2&gt;32，得2&lt;λ＋1λ&lt;10，即λ2－2λ＋1&gt;0，λ2－10λ＋1&lt;0，解得5－26&lt;λ&lt;5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26，且λ≠1.0．解方法一设A、B，代入椭圆方程并作差得a＋b＝0.而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝koc＝22，代入上式可得b＝2a.由方程组ax2＋by2＝1x＋y－1＝0，得x2－2bx＋b－1＝0，∴x1＋x2＝2ba＋b，x1x2＝b－1a＋b，再由|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22，得2ba＋b2－4&#8226;b－1a＋b＝4，将b＝2a代入得a＝13，∴b＝23.∴所求椭圆的方程是x23＋2y23＝1.方法二由ax2＋by2＝1，x＋y＝1得x2－2bx＋b－1＝0.设A、B，则|AB|＝&#61480;k2＋1&#61481;&#61480;x1－x2&#61481;2＝2&#8226;4b2－4&#61480;a＋b&#61481;&#61480;b－1&#61481;&#61480;a＋b&#61481;2.∵|AB|＝22，∴a＋b－aba＋b＝1.①设c，则x＝x1＋x22＝ba＋b，y＝1－x＝aa＋b，∵oc的斜率为22，∴ab＝22.代入①，得a＝13，b＝23.∴椭圆方程为x23＋2y23＝1.1．解方法一依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且可知其左焦点为F′．从而有c＝2，2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得c＝2，a＝4.又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆c的方程为x216＋y212＝1.假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆c有公共点，所以Δ＝2－4×3×≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线oA与l的距离d＝4，得|t|94＋1＝4，解得t＝±213.由于±213&#8713;[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二依题意，可设椭圆c的方程为x2a2＋y2b2＝1，且有4a2＋9b2＝1，a2－b2＝4.解得b2＝12或b2＝－3．从而a2＝16.所以椭圆c的方程为x216＋y212＝1.同方法一．。

2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 8.5 椭圆(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.椭圆x 24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )(A)12 (B)32(C)1 (D) 3 2.设直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B(如图)，则这个椭圆的离心率e ＝( )(A)255 (B)55 (C)32 (D)123.(2012·哈尔滨模拟)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( ) (A)3－12 (B)5－12 (C)1＋54 (D)3＋144.已知椭圆x 24＋y23＝1，若此椭圆上存在不同的两点A 、B 关于直线y ＝4x ＋m 对称，则实数m的取值范围是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，2213 (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫－21313，21313(C)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213，21313 (D)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2313，23135.(2012·东莞模拟)椭圆x 2m ＋y24＝1的焦距是2，则m 的值是( )(A)5 (B)8 (C)5或3 (D)206.(易错题)已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA u u u r ＋OB uuu r ＝0(O 为坐标原点)，2AF u u u r ·12FF u u u r＝0，若椭圆的离心率等于22，则直线AB 的方程是( )(A)y ＝22x (B)y ＝－22x (C)y ＝－32x (D)y ＝32x 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·中山模拟)如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x 轴上，且a －c ＝3，则椭圆方程是 .8.已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于 . 9.椭圆M ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M(4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B. (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围.11.(预测题)已知圆C 的圆心为C(m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b＞0)有一个公共点A(3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由. 【探究创新】(16分)已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点. (1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值；(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为15？若存在，确定点T 的个数，若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选B.椭圆x 24＋y23＝1的右焦点为F(1,0)，∴它到直线y ＝3x(即3x －y ＝0)的距离为|3－0|(3)2＋1＝32. 2.【解析】选A.B(0,1)，F(－2,0)， 故c ＝2，b ＝1，a ＝b 2＋c 2＝5， e ＝c a ＝255. 3.【解析】选B.由题意知，|BF|2＋|BA|2＝|FA|2， 即(b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＝(a ＋c)2， ∴b 2＝ac ， 即a 2－ac －c 2＝0，∴e 2＋e －1＝0，又e ＞0，∴e ＝5－12. 4.【解析】选B.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， AB 的中点M(x ，y)，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－14，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y,3x 21＋4y 21＝12 ①， 3x 22＋4y 22＝12 ②，①②两式相减得3(x 22－x 21)＋4(y 22－y 21)＝0，即y 1＋y 2＝3(x 1＋x 2)，即y ＝3x ，与y ＝4x ＋m 联立得x ＝－m ，y ＝－3m ，而M(x ，y)在椭圆的内部，则m 24＋9m 23＜1，即－21313＜m ＜21313. 【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧：对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算. 5.【解析】选C.∵2c ＝2，∴c ＝1.若焦点在x 轴上，m －4＝1，m ＝5；若焦点在y 轴上，4－m ＝1，m ＝3.∴m ＝5或m ＝3.6.【解题指南】由OA u u u r ＋OB uuu r＝0知，A 、B 两点关于原点对称，设出A 点坐标，利用向量列方程求解.【解析】选A.设A(x 1，y 1)，因为OA u u u r ＋OB uuu r＝0，所以B(－x 1，－y 1)，2AF u u u r ＝(c －x 1，－y 1)，12FF u u u r＝(2c,0)，又因为2AF u u u r ·12FF u u u r ＝0，所以(c －x 1，－y 1)·(2c,0)＝0，即x 1＝c ，代入椭圆方程得y 1＝b 2a ，因为离心率e ＝22，所以，a ＝2c ，b ＝c ，A(c ，2c 2)，所以直线AB 的方程是y ＝22x. 7.【解析】∵⎩⎨⎧a ＝2ca －c ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝23c ＝3，b 2＝9.∴椭圆方程为x 212＋y29＝1.答案：x 212＋y29＝18.【解析】因为△F 2AB 是等边三角形，所以A(－c 2，32c)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，所以c 24a 2＋3c24b 2＝1，因为c 2＝a 2－b 2，所以，4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，即e 4－8e 2＋4＝0， 所以，e 2＝4±23，e ＝3－1或e ＝3＋1(舍). 答案：3－1【误区警示】本题易出现答案为3－1或3＋1的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.9.【解析】∵|PF 1|·|PF 2|的最大值为a 2， ∴由题意知2c 2≤a 2≤3c 2，∴2c ≤a ≤3c ，∴33≤e ≤22， ∴椭圆离心率e 的取值范围是[33，22]. 答案：[33，22] 10.【解析】(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2，又因为椭圆过点M(4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m)2－20(4m 2－20)>0，解得－5<m<5.11.【解析】(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m)2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得(3－m)2＋1＝5， 即(3－m)2＝4，解得m ＝1或m ＝5， ∵m ＜3，∴m ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切.依题意，设直线PF 1的方程为y ＝k(x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0， 若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝5， ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12，当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去；当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)， ∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝62，∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2，直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y22＝1.【变式备选】在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y2＝1有两个不同的交点P 和Q. (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP u u u r＋OQ uuu r 与AB u u u r共线？如果存在，求出k 值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于 Δ＝8k 2－4(12＋k 2)＝4k 2－2>0，解得k<－22或k>22，即k 的取值范围为 (－∞，－22)∪(22，＋∞)， (2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则OP u u u r ＋OQ uuu r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①，x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2 2.③而A(2，0)，B(0,1)，AB u u u r＝(－2，1).所以OP u u u r ＋OQ uuu r 与AB u u u r共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝22. 由(1)知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.【探究创新】【解析】(1)由题知A(－2,0)，D(0,1)，故a ＝2，b ＝1，所以椭圆方程为：x 24＋y 2＝1.(2)设直线AS 的方程为y ＝k(x ＋2)(k>0)，从而可知M 点的坐标为(103，16k3).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k(x ＋2)x 24＋y 2＝1得S(2－8k 21＋4k 2，4k1＋4k2)，所以可得BS 的方程为y ＝－14k (x －2)，从而可知N 点的坐标(103，－13k)， ∴|MN|＝16k 3＋13k ≥83当且仅当k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度取最小值83.(3)由(2)知，当|MN|取最小值时，k ＝14，此时直线BS 的方程为x ＋y －2＝0，S(65，45)，∴|BS|＝425.要使椭圆C 上存在点T ，使得△TSB 的面积等于15，只需T 到直线BS 的距离等于24，所以点T 在平行于直线BS 且与直线BS 的距离等于24的直线l ′上.直线BS ：x ＋y －2＝0；直线l ′：x ＋y ＋m ＝0，得m ＝－52或m ＝－32，则直线l ′：x ＋y －52＝0或x ＋y －32＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －52＝0x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得5x 2－20x ＋21＝0，Δ<0无解；⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －32＝0x 2＋4y 2－4＝0，消去y 得5x 2－12x ＋5＝0，Δ＝44>0，有两个解，所以点T 有两个.。

学习资料第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练A组—-基础对点练1．已知方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为()A。

错误!B．（1，2)C．(－∞，0）∪（1，2)D．（－∞，－1）∪错误!解析:依题意得不等式组错误!解得m＜－1或1＜m＜错误!,故选D。

答案：D2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B．错误!C．2 D.2 2解析:设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，错误!×2cb＝1⇒bc ＝1,2a＝2错误!≥2错误!＝2错误!，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D。

答案：D3．(2020·东北三校联考）若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为错误!，则错误!＝（）A。

错误!B．错误!C.错误!或错误!D。

错误!或错误!解析：若焦点在x轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1,依题意得错误!＝错误!,所以错误!＝错误!；若焦点在y轴上,则方程化为错误!＋错误!＝1，同理可得错误!＝错误!.所以所求值为错误!或错误!。

答案:D4．过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A,B两点，O为坐标原点,则△OAB的面积为（）A。

错误!B．错误!C.错误!D.错误!解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立错误!解得交点为(0，－2），错误!,所以S△OAB＝错误!·|OF|·|y A－y B|＝错误!×1×错误!＝错误!，故选B。

答案：B5．设F 1，F 2分别是椭圆错误!＋y 2＝1的左,右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(错误!＋错误!）·错误!＝0（O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D 。

1解析:因为（错误!＋错误!)·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!·错误!＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°。

【优化指导】2013高考数学总复习 8.1椭圆课时演练1．已知椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若|ON |＝1，则MF 1的长等于( )A ．2B ．4C ．6D ．52．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A 、B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B. 2 C.3D ．2解析：如图，∵AF →＝3FB →，令|AF →|＝3t ，则|FB →|＝t . 由椭圆的第二定义，知t |BN |＝32，3t |AK |＝32， ∴|BN |＝232t ，|AK |＝23t .∵|PB ||PA |＝|BN ||AK |＝13，∴|PB ||PB |＋4t ＝13. 易得|PB |＝2t . ∴k ＝tan ∠PBN ＝|PN ||BN |＝4t 2－43t2233t ＝ 2.答案：B 3．与x ＋32＋y 2＋x －32＋y 2＝10等价的方程是( )A.x 225＋y 29＝1 B.y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.y 225＋x 216＝1 解析：使用椭圆的第一定义可知方程为C.答案：C4．(2012某某统考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，向量F 1F 2→与向量F 1P →的夹角为π6，且F 1F 2→在F 1P →上的投影的大小恰为|F 1P →|，则椭圆的离心率为( )A.3－1B.32 C.2－1 D.22解析：依题意可知： ∠PF 1F 2＝π6，PF 2⊥PF 1.∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝c ， |PF 1|＝3c.由椭圆的第一定义可知：c ＋3c ＝2a ， ∴c a(1＋3)＝2，∴e ＝3－1. 答案：A5．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( ) A.32B.233 C.932 D.2327解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为C (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ax 21＋by 21＝1，①ax 22＋by 22＝1，②由①－②可得：y 1－y 2x 1－x 2＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0， ∴k ＝－a b ·x 0y 0. 又k ＝－1，且k OC ＝y 0x 0＝32，∴a b ＝32. 答案：A6．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值X 围是( )A ．(0，22] B ．(0，12] C ．[2－1,1) D ．[12，1)解析：|AF |＝a 2c －c ＝b 2c ，F 在AP 的垂直平分线上，所以|AF |＝|PF |.而|PF |≤a ＋c ，所以a ＋c ≥b 2c ，即2e 2＋e －1≥0，解得12≤e ＜1.答案：D7．(2011某某高考)若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为______．解析：由题意可知，O (0,0)，F (1,0)，设P (2cos α，sin α)，则|OP |2＋|PF |2＝2cos 2α＋sin 2α＋(2cos α－1)2＋sin 2α＝2cos 2α－22cos α＋3＝2(cos α－22)2＋2，所以当cos α＝22时，|OP |2＋|PF |2取得最小值2. 答案：28．点P 在焦点为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，一条准线为y ＝4的椭圆上，且|PF 1|·|PF 2|＝154，则tan ∠F 1PF 2＝________. 解析：由c ＝1，y ＝4＝a 2c，得a 2＝4，a ＝2.则|PF 1|＋|PF 2|＝4，且2c ＝2，又|PF 1|·|PF 2|＝154，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2c22|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－2c22|PF 1|·|PF 2|＝42－2×154－42×154＝35，又∠F 1PF 2∈[0，π]，∴sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝45，∴tan ∠F 1PF 2＝43.答案：439．已知F 1、F 2分别为椭圆x 2100＋y 264＝1的左、右焦点，椭圆内一点M 的坐标为(2，－6)，P 为椭圆上的一个动点，则|PM |＋53|PF 2|的最小值为________．解析：椭圆右准线l ：x ＝503，过点P 作PN ⊥l 于点N ，如图所示，则由椭圆的第二定义知|PF 2||PN |＝e ＝35， 于是，|PN |＝53|PF 2|，所以，|PM |＋53|PF 2|＝|PM |＋|PN |≥d (M ，l )，其中d (M ，l )表示点M 到准线l 的距离， 易求得d (M ，l )＝443，所以，|PM |＋53|PF 2|的最小值为443(此时点P 为过点M 且垂直于l 的线段与椭圆的交点)．答案：44310．在直线l ：x ＋y －4＝0上任取一点M ，过M 且以椭圆x 216＋y 212＝1的焦点为焦点作椭圆，问点M 在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆的方程．解：∵a 2＝16，b 2＝12.∴c 2＝a 2－b 2＝4.故已知椭圆的两个焦点为F 1(－2,0)、F 2(2,0)，过F 2向l 引垂线l ′：y ＝x －2，求出F 2关于l 的对称点F 2′，易得F 2′的坐标为(4,2)，F 1F 2′的方程为x －3y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋2＝0x ＋y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝32.∴所求点M 的坐标为(52，32)．此时，|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MF 2′| ＝3102＋102＝210.设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.由椭圆的第一定义，2a ＝210， 即a ＝10，又c ＝2，故b 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的方程为x 210＋y 26＝1.11．已知线段CD ＝23，CD 的中点为O ，动点A 满足AC ＋AD ＝2a (a 为正常数)． (1)建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；(2)若a ＝2，动点B 满足BC ＋BD ＝4，且OA ⊥OB ，试求△AOB 面积的最大值和最小值． 解：(1)以O 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． ①若AC ＋AD ＝2a ＜23，即0＜a ＜ 3，动点A 所在的曲线不存在；②若AC ＋AD ＝2a ＝23，即a ＝3，动点A 所在的曲线为线段CD ，其方程为y ＝0(－3≤x ≤3)；③若AC ＋AD ＝2a ＞23，即a ＞3，动点A 所在的曲线是以C 、D 为焦点，长轴长等于2a 的椭圆，其方程为x 2a 2＋y 2a 2－3＝1.(2)由(1)知，当a ＝2时，其曲线方程为x 24＋y 2＝1.由条件知A 、B 两点均在椭圆x 24＋y 2＝1上，且OA ⊥OB .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线OA 的斜率为k ，则当k ≠0时，OA 的方程为y ＝kx ，OB的方程为y ＝－1k x ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＝41＋4k 2，y 21＝4k21＋4k 2，同理可求得⎩⎪⎨⎪⎧x 22＝4k 2k 2＋4，y 22＝4k 2＋4，故△AOB 的面积为S ＝121＋k 2|x 1|1＋1k2|x 2|＝21＋k 221＋4k2k 2＋4令1＋k 2＝t (t ＞1)，则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t ＞1)，所以4＜g (t )≤254，即45≤S ＜1.当k 不存在时，可求得S ＝1.当k ＝0时，可求得S ＝1，故45≤S ≤1，故S 的最小值为45，最大值为1.12．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为F 1，F 2，|A 1B 1|＝7，S▱B 1A 1B 2A 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设n 为过原点的直线，l 是与n 垂直相交于点P ，与椭圆相交于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1.是否存在上述直线l 使OA →·OB →＝0成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7① 由S ▱B 1A 1B 2A 2＝2S ▱B 1F 1B 2F 2知a ＝2c .② 又b 2＝a 2－c 2，③由①②③解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 假设使OA →·OB →＝0成立的直线l 存在，a ．当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1得|m |1＋k2＝1，即m 2＝k 2＋1. 由OA →·OB →＝0得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0， 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－8km3＋4k2，④ x 1x 2＝4m 2－123＋4k2.⑤0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.将④⑤代入上式并化简得(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥ 将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾． 即此时直线l 不存在．。

课时作业(四十三)1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨q”为真D．命题“綈p或非q”为假答案 B解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一张纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G 是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH 中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE，∵B、C、D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE，∴AH⊥面EFH.4．对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是() A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊂α，n∥α，则m∥n答案 D解析若m，n与α所成的角相等，则m与n平行、相交或异面，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C.5．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．则m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β答案 D解析对于选项A，两平面β、γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α、β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，由m∥n，m⊥α，∴n⊥α.又n⊥β，∴α∥β，故选D.6．(2012·郑州质检)设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b答案 C解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OA∥a，OB∥b，直线OA、OB确定的平面分别交α、β于AC、BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l －β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图(2)，直线a、b在平面α内的射影分别为m、n，显然m⊥n，但a、b不垂直，所以D错误，故选C.7. 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析BD1⊥平面AB1C.8. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部答案 A解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，∴H∈AB.9. 如下图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD . 证明如图所示，取CD 的中点G ，连接EG 、FG 、EF .∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面ACD .11．(2012·海淀区)如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA，又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.12. (2012·广东六校联考)如下图，四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAD为等腰三角形，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分别为PC、BD的中点．(1)证明：EF∥平面PAD；(2)证明：平面PDC⊥平面PAD；(3)求四棱锥P—ABCD的体积．解析(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点．又E是PC的中点，EF∥AP，∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，∴EF ∥平面PAD .(2)证明：∵面PAD ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴CD ⊥平面PAD .∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD .(3)取AD 的中点为O .连接PO∵平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为等腰直角三角形，∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．∵AD ＝2，∴PO ＝1.又AB ＝1.∴四棱锥P —ABCD 的体积V ＝13PO ·AB ·AD ＝23.13. 如下图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.(1)求证：BB 1⊥平面ABC ；(2)求证：BC 1∥平面CA 1D ；(3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．解析(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1.∴CD⊥BB1.又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点，又D是AB的中点，则DE∥BC1，又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，故CD是三棱锥C－A1B1D的高，在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB ＝22，CD ＝2，又BB 1＝2，∴V B 1－A 1DC ＝V C －A 1B 1D ＝13S △A 1B 1D ·CD ＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43.14. (2011·安徽理)如下图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．(1)证明直线BC ∥EF ；(2)求棱锥F －OBED 的体积．解析 (1)(综合法)设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于△OAB 与△ODE 都是正三角形，所以OB 綊12DE ，OG ＝OD ＝2.同理，设G ′是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有OG ′＝OD ＝2.又由于G 和G ′都在线段DA 的延长线上，所以G 与G ′重合．在△GED 和△GFD 中，由OB 綊12DE 和OC 綊12DF ，可知B ，C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是△GEF 的中位线，故BC ∥EF .(向量法)过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，连接QE ，由平面ABED⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ，以Q 为坐标原点，QE →为x 轴正向，QD →为y 轴正向，QF →为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系．由条件E (3，0,0)，F (0,0，3)，B (32，－32，0)，C (0，－32，32)．则有BC →＝(－32，0，32)，EF →＝(－3，0，3)．所以EF →＝2BC →，即得BC ∥EF .(2)由OB ＝1，OE ＝2，∠EOB ＝60°，知S EOB ＝32，而△OED 是边长为2的正三角形，故S OED ＝3，所以S OBED ＝S EOB ＋S OED ＝332.过点F 作FQ ⊥AD ，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F －OBED 的高，且FQ ＝3，所以V F －OBED ＝13FQ ·S OBED ＝32.1．(2012·西城区)如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30°D ．四面体A ′－BCD 的体积为13答案 B解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD .∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，所以A ′C 不垂直于BD ，A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.2．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 答案 B解析 对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交或异面；对于选项C ，α与β也可能相交；对于选项D ，α与β也可能相交．故选B.3. (2011·江西南昌一模)在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a答案 A解析 设点C 到平面A 1DM 的距离为h ，则由已知得DM ＝A 1M ＝a 2＋(a 2)2＝52a ，A 1D ＝2a ，S △A 1DM ＝12×2a ×(52a )2－(22a )2＝64a 2，连接CM ，S △CDM ＝12a 2，由V C －A 1DM ＝V A 1－CDM ，得13S △A 1DM ·h ＝13S △CDM ·a ，即64a 2·h ＝12a 2·a ， 所以h ＝63a ，即点C 到平面A 1DM 的距离为63a ，选A.4. (2011·辽宁文)如下图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．解析 (1)由条件知PDAQ 为直角梯形．因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD . 又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .(2)设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高，而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2，所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.5. (2012·潍坊质量抽测)已知三棱锥S －ABC 中，平面ASC ⊥平面ABC ，O 、D 分别为AC 、AB 的中点，AS ＝CS ＝CD ＝AD ＝22AC .(1)求证：平面ASC⊥平面BCS；(2)设AC＝2，求三棱锥S－BCD的体积．解析(1)证明：连接SO，OD，因为AS＝CS＝CD＝AD＝2 2AC，O为AC的中点，所以SO⊥AC，OD⊥AC，又D为AB的中点，∴OD∥BC.∴BC⊥AC.又平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，所以SO⊥平面ABC.所以SO⊥BC.又SO∩AC＝O，故BC⊥平面SAC.又BC⊂平面BCS，所以平面ASC⊥平面BCS.(2)由(1)知，SO为三棱锥S－BCD的高．因为AC＝2，所以AS＝SC＝2，AO＝12AC＝1，AB＝2AD＝2AC＝22，所以BC＝AB2－AC2＝2，SO ＝AS 2－AO 2＝(2)2－12＝1.∴S △BCD ＝12S △ABC ＝12·12AC ·BC ＝14×2×2＝1，∴V S －BCD ＝13·S △BCD ·SO ＝13×1×1＝13.1．(2012·宝鸡模拟)已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α 答案 B解析 如图，取底面BCD 的中心为点O ，连接AO ，BO ，易知∠ABO ＝β，取BC 的中点E ，连接AE 、OE ，易知∠AEO ＝γ，易知0<β<γ<π2，延长BO 交CD 于F ，则BF ⊥CD ，又AO ⊥CD ，∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AB ，即α＝π2.∴α>γ>β，选B.2．已知m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nB ．l ⊥β，α⊥β⇒l ∥αC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β答案 D解析 此类问题只需举反例即可，对于A ，m ，n 还可能是异面直线；对于B ，l ⊂α也有可能；对于C ，n ⊂α也有可能，因此选D.3．已知α、β表示两个不同的平面，m 是一条直线且m ⊂α，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若m ⊥β，m ⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，但反之不成立，∴选B.4．(2012·山东潍坊质量抽测)已知直线m 、l 和平面α、β，则α⊥β的充分条件是( )A ．m ⊥l ，m ∥α，l ∥βB ．m ⊥l ，α∩β＝m ，l ⊂αC ．m ∥l ，m ⊥α，l ⊥βD ．m ∥l ，l ⊥β，m ⊂α答案 D解析 由 ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥lm ∥αl ∥β⇒/α⊥β，如下图．由 ⎭⎬⎫m ⊥lα∩β＝m l ⊂α⇒/α⊥β，如下图．由 ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥lm ⊥αl ⊥β⇒/α⊥β，如下图．所以选项A，B，C都不对．由选项D能推出α⊥β，所以D正确，故选D.5. (2012·东城区)如下图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：BD⊥平面CDE；(2)求证：GH∥平面CDE；(3)求三棱锥D－CEF的体积．解析 (1)证明：∵四边形ADEF 是正方形，∴ED ⊥AD .又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ，∴ED ⊥平面ABCD .∴ED ⊥BD .又BD ⊥CD ，且ED ∩DC ＝D ，∴BD ⊥平面CDE .(2)证明：连接EA .∵G 是FD 的中点，四边形ADEF 是正方形，∴G 是AE 的中点，又易知H 是FC 的中点，∴在△FCD 中，GH ∥CD .又∵CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ，∴GH ∥平面CDE .(3)设Rt △BCD 中，BC 边上的高为h ，∵CD ＝1，∠BCD ＝60°，BD ⊥CD ，∴BC ＝2，BD ＝ 3.∴12×2×h ＝13×1× 3.∴h ＝32，即点C 到平面DEF 的距离为32，∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33.6. 如下图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E－ABD的侧面积．解析(1)在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠DAB＝2 3.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，AB⊥DE.(2)由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S △DBE ＝12DB ·DE ＝2 3.又∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4.∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ，∴ED ⊥平面ABD .而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝4.综上，三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.。