高考总复习北师大版数学文第八章 第五节椭圆

第五节 椭 圆【考纲下载】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数； ③常数大于|F 1F 2|. (2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a ＝|F 1F 2|时动点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝c a越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：选D 在椭圆x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，所以c 2＝a 2－b 2＝8，即c ＝22，因此，椭圆的离心率e ＝c a ＝224＝22.3．椭圆x 24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：选B 在椭圆x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因此，其右焦点为(1,0)．该点到直线y ＝3x 的距离d ＝|3－0|3 2＋ －12＝32. 4．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________．解析：椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)可化为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，因此e 2＝c 2a 2＝m6m 2＝13，即e ＝33. 答案：33 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.解析：椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋y 21m＝1，因为其焦点在y 轴上，∴a 2＝1m ，b 2＝1，依题意知1m ＝2，解得m ＝14. 答案：14[例1] (1)(2013²广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (2)(2014²安康模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答] (1)由右焦点为F (1,0)，可知c ＝1，因为离心率为12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，知b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，c ＝22a ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. [答案] (1)D (2)x 216＋y 28＝1【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x 轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)或mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.2．(2012²山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ³255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[例2] (1)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF ＋2PF|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2(2)(2013²辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[自主解答] (1)设P (x 0，y 0)，则1PF ＝(－1－x 0，－y 0)，2PF＝(1－x 0，－y 0)， ∴1PF ＋2PF ＝(－2x 0，－2y 0)，∴|1PF ＋2PF |＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|1PF ＋2PF|取最小值为2.(2)如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，e ＝c a ＝57.答案：(1)C (2)57【方法规律】1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .又A (0，3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－335c －3c 2＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，c ＝5，则b 2＝75，即b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |²sin∠F 1AB ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，则c ＝5，b ＝5 3.1．直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较高，多为中档题．2．高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知某条件，求直线的方程；(2)求三角形(或其他几何图形)的面积； (3)判断几何图形的形状； (4)弦长问题；(5)中点弦或弦的中点问题．[例3] (2013²浙江高考)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝2 4k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.设△ABD 的面积为S ， ①当k ＝0时，则D (0,1)，A (－3，－1)，B (3，－1)，此时，|AB |＝23，|PD |＝2，所以S ＝12|AB |²|PD |＝12³23³2＝2 3.②当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.则S ＝12|AB |²|PD |＝84k 2＋34＋k2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3³134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 而当k ＝0时，S ＝23<161313，故当k ＝±102时△ABD 面积取得最大值． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程．可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值． (3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．(2013²重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则 －c 2a2＋22b2＝1.从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12³2 8³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2³ 4－x 20 x 20 ＝2³ － x 20－2 2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6. ————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————————1个规律——椭圆焦点位置与x 2，y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔a >b >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<a <b .1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.压轴大题巧突破(三)与椭圆有关的综合问题求解[典例] (2013²天津高考)(13分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程； (2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ²DB ＋AD ²CB＝8，求k 的值．[化整为零破难题](1)基础问题1：如何得到a 与c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题2：如何求过F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？ 直线x ＝－c 与椭圆相交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题1：如何求A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右顶点即为(－a,0)，(a,0)．基础问题2：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，如何寻找x 1＋x 2，x 1x 2呢？将直线方程与椭圆方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程．利用根与系数关系即可得到．基础问题3：如何表示AC ²DB ＋AD ²CB？利用向量的坐标运算即可． [规范解答不失分](1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c ，过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有 －c 2a 2＋y2b2＝1， 解得y ＝±63b ，① 于是26b 3＝433，解得b ＝2，则b 2＝2. 2分又因为a 2－c 2＝b 2，从而a 2＝3，c 2＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 4分(2)设点C x 1，y 1 ，D x 2，y 2 ，②由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1 ，x 23＋y22＝1，消去y 得 2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.③6分根据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2. 8分因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC ²DB ＋AD ²CB=())())11222211,,x y x y x y x y ⋅-+⋅-④＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2. 11分由已知得6＋2k 2＋122＋3k＝8，解得k ＝± 2. 13分易错点四 ④处公式记忆不准，向量坐标运算错误[全盘巩固]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12.2．(2013²新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33解析：选D 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.3．(2014²汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．(2014²榆林模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析：选A 因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内． 5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4 解析：选A 因为椭圆x 24＋y 2＝1的一个焦点F 1的坐标为F 1(－3，0)．过该点作垂直于x 轴的直线，其方程为x ＝－3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝±12，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，±12，所以|PF 1|＝12，又因|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72.6．(2014²嘉兴模拟)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析：选C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0<m <1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，∴e 2＝c 2a 2＝1m －11m＝1－m ，又12<e <1，∴14<1－m <1，解得0<m <34，当m >1时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝1－1m ，e 2＝c 2a 2＝1－1m 1＝1－1m，又12<e <1，∴14<1－1m <1，解得m >43， 综上可知实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 7．(2013²福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a＝23＋1＝3－1. 答案：3－18．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋ 6－3 2＋42＝15.答案：159．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若＝3，则k ＝________. 解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据＝3，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23 m 2＋4， 把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23 m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4， 故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 答案： 210．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋ x －3 225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，且y 0≠0.由题意有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ²k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，又0<e <1，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意知，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2 1＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.12．(2013²安徽高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点 D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x28＋y24＝1.(2)由题意，点E 坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，－22)，AD＝(x D ，－22)．再由AD ⊥AE 知，AE ²AD ＝0，即x D x 0＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0. 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0， 即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点． [冲击名校]已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ ＝QB ，且NQ ²AB＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2.此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3. 当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k2.由AQ ＝QB ，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ ²AB＝0，∴直线l 的斜率k 与直线QN 的斜率k 乘积为－1，即k QN ²k ＝－1，∴t1＋3k ＋1－3kt 1＋3k2²k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. [高频滚动]已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程； (2)若OP ²OQ＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP ²OQ ＝2³2³cos 〈OP ，OQ 〉＝－2，且OP 与OQ 的夹角为∠POQ (0°≤∠POQ ≤180°)，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. (3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又易知|PQ |＝2³4－d 2，|MN |＝2³4－d 21，所以S ＝12²|PQ |²|MN |，即S ＝12³2³4－d 2³2³4－d 21＝216－4 d 21＋d 2 ＋d 21²d 2＝212＋d 21²d 2 ≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝2 12＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7. .。

第五节椭圆【教材回扣】1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝________}，|F1F2|＝2c＜2a，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．a b a b________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()2．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()4.x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()题组二教材改编1．(多选题)椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k＜9)的()A．长轴长相等B．焦点相同C．离心率相等D．焦距相等2．如果椭圆x2100＋y236＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是( )A ．6B ．12C ．14D ．263．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________________．题组三 易错自纠1．已知F 1，F 2为平面内两个定点，|F 1F 2|＝2020，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2020，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．无轨迹2．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆定义的应用角度|利用定义求轨迹方程[例1] 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A .x 264－y 248＝1B .y 264＋x 248＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 [听课记录]类题通法通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程.巩固训练1：已知A(－12，0)，B 是圆(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．角度|利用定义解决焦点三角形问题[例2] 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[听课记录]类题通法利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧.巩固训练2：过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为( )A ．8B ．42C ．4D ．22角度|利用定义求最值[例3] 在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [听课记录]类题通法抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值.巩固训练3：已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．题型二 椭圆的标准方程[例4] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F(－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C 的标准方程为( )A .x 236＋y 216＝1B .x 240＋y 215＝1 C .x 249＋y 224＝1 D .x 245＋y 220＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－32，52)，(3，5)，则椭圆的方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________________．[听课记录]类题通法求椭圆方程的两种方法1．定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． 2．待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.巩固训练4：(1)[2021·山东烟台诊断]已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( )A .x 27＋y 22＝1B .x 22＋y 27＝1 C .x 29＋y 24＝1 D .x 24＋y 29＝1 (2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (3)与椭圆x 24＋y23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．题型三 椭圆的几何性质[例5] (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|＝3|OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为( )A .233B .63C .22D .33(3)(多选题)[2021·山东潍坊模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A ．|QF 1|＋|QP|的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为(0，5－12)D ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17 [听课记录]类题通法1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． 2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a ，b ，c 之间的关系求离心率，可以利用变形公式e ＝1－b 2a2求解．也可以利用b 2＝a 2－c 2消去b ，得到关于a ，c 的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．(3)由椭圆的定义求离心率．e ＝c a ＝2c2a ，而2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来.巩固训练5：(1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A .5－12B .33C .22D .63(3)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是________．[预测1] 核心素养——逻辑推理、直观想象已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A .3－1B ．2－3C .22D .32[预测2] 新题型——多选题设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则( )A ．|AF|＋|BF|为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6课前基础巩固[教材回扣]和 常数 焦点 焦距 2a－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a 2－b 2 [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.√ 4.√ 题组二1．解析：由椭圆x 225＋y 29＝1表示焦点为(±4,0)，长轴长为10，离心率为45，焦距为8.椭圆x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点为(±4，0)，长轴长为225－k ，离心率为425－k ，焦距为8，故选BD. 答案：BD2．解析：由椭圆x 2100＋y 236＝1知a ＝10.由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20， ∴|PF 2|＝20－|PF 1|＝20－6＝14. 故选C. 答案：C3．解析：设P (x ，y )是椭圆上的一点，则S △PF 1F 2＝12×2c ×|y |＝1，∴|y |＝1.将|y |＝1代入椭圆方程x 25＋y 24＝1得：x 25＋14＝1，解得|x |＝152.又点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，所以x ＝152.∴点P 的坐标为(152，1)或(152，－1).答案：(152，1)或(152，－1)题组三1．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2020知点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段．故选C.答案：C2．解析：由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1. 故选C.答案：C3．解析：若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ，由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3；若a 2＝m ，b 2＝5，则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －55＝105，解得m ＝7. 答案：3或7第1课时 椭圆及其性质 课堂题型讲解题型一例1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16＞8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D. 答案：D巩固训练1 解析：如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |＞|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋4y 23＝1.答案：x 2＋4y 23＝1例2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3巩固训练2 解析：因为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2.由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，且|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝8.答案：A例3 解析：由题意知椭圆y 24＋x 23＝1的焦点坐标为B (0，－1)，B ′(0,1)，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义，得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，得|PB |＝4－|PB ′|.∴|AP |＋|PB |＝|P A |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|P A |－|PB ′|)≤4＋|AB ′| ＝4＋1＝5.当且仅当P 在AB ′延长线上时，等号成立． 故|P A |＋|PB |的最大值为5. 故选D. 答案：D巩固训练3 解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2. 答案：6＋2 6－2 题型二例4 解析：(1)由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′(图略)，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′，在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－25＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.故选C.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧－322m ＋522n ＝1，3m ＋5n ＝1， 解得m ＝16，n ＝110.所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一 (定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义，知 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2 ＋(3－0)2＋(－5－4)2.解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 (待定系数法)∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案：(1)C (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1巩固训练4 解析：(1)设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n . ∵MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，∴m 2＋n 2＝20，mn ＝8， ∴(m ＋n )2＝36，∴m ＋n ＝2a ＝6，∴a ＝3. ∵c ＝5，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.故选C. (2)由e ＝33，得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.(3)解法一 ∵e ＝c a ＝a 2－b 22＝1－b 2a 2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，则1－(n m )2＝14.从而(n m )2＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n2＝1，∴m 2＝8，n 2＝6. ∴方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2m 2＋x 2n2＝1(m ＞n ＞0)，则3m 2＋4n 2＝1，且n m ＝32，解得m 2＝253，n 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.解法二 若焦点在x 轴上，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，将点(2，－3)代入，得t＝224＋(－3)23＝2. 故所求方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ＞0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求方程为y 2253＋x 2254＝1.答案：(1)C (2)A (3)y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y26＝1题型三例5 解析：(1)由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.(2)依题意可知a ＝3b ，即b ＝33a .又c ＝ a 2－b 2＝a 2－(33a)2＝63a ，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.故选B.(3)由题意知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．对于A ：由椭圆的定义知，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1，当P ，Q ，F 2三点共线时等号成立，故A 正确；对于B ：若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.因为122＋12＞1，所以点P 在椭圆外，不符合题意，故B 错误；对于C ：因为点P (1,1)在椭圆内，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2＜a 2b 2.又b 2＝a 2－c 2＝a 2－1，所以a 2－1＋a 2＜a 2(a 2－1)，整理得a 4－3a 2＋1＞0，解得a 2＜3－52或a 2＞3＋52.因为a 2＞1，所以a 2＞3＋52，则e 2＝c 2a 2＜23＋5＝6－254＝（5－12）2.又0＜e ＜1，所以0＜e ＜5－12，故C 正确；对于D ：因为PF 1→＝F 1Q →，所以F 1为线段PQ 的中点，则Q (－3，－1)，由椭圆定义可得，2a ＝|QF 1|＋|QF 2|＝5＋17，故D 正确．故选ACD.答案：(1)D (2)B (3)ACD巩固训练5 解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m ＞0，m －2＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.又焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4， ∴m ＝8.故选A.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为（a 2，a 2），又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝63.故选D.(3)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈[13，1). 答案：(1)A (2)D (3)[13，1) 高考命题预测 预测1 解析：∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 故选A.答案：A预测2 解析：设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|为定值6，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，因为|AF |＋|BF |为定值6，易知|AB |的范围是(0,6)，所以△ABF 周长的取值范围是(6,12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A （－332，32），B （332，32).又易知F (6，0)，所以AF →·BF →＝（6＋332)（6－332)＋（－32)2＝0，所以△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B(6，1)，所以S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．答案：ACD。

教学设计
第五节椭圆（高三复习课）
一、教学目标
1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。

2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。

3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

二、教学重点与难点
教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。

2、了解椭圆的简单应用。

教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。

三、教学过程
师生活动：。

§9．５椭圆１．椭圆的概念平面内到两个定点F１，F２的距离之和等于常数（大于|F１F２|）的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若a>c，则集合P为椭圆；（２）若a＝c，则集合P为线段；（３）若a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）轴长轴A１A２的长为２a；短轴B１B２的长为２b 焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（×）（２）椭圆上一点P与两焦点F１，F２构成△PF１F２的周长为２a＋２c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）．（√）（３）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（×）（４）方程mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（√）２．已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则m的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意知a２＝m，b２＝２，∴c２＝m—２．∵e＝错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，∴m＝错误!.３．（２0１３·广东）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析由题意知c＝１，e＝错误!＝错误!，所以a＝２，b２＝a２—c２＝３．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．４．如果方程x２＋ky２＝２表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________．答案（0,１）解析将椭圆方程化为错误!＋错误!＝１，∵焦点在y轴上，∴错误!>２，即k<１，又k>0，∴0<k<１．５．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的两焦点为F１、F２，以F１F２为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案错误!—１解析设过左焦点F１的正三角形的边交椭圆于A，则|AF１|＝c，|AF２|＝错误!c，有２a＝（１＋错误!）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!—１．题型一椭圆的定义及标准方程例１（１）已知圆（x＋２）２＋y２＝３6的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N（２,0），线段AN 的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线（２）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的３倍，并且过点P（３,0），则椭圆的方程为________．（３）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P１（错误!，１）、P２（—错误!，—错误!），则椭圆的方程为________．思维启迪（１）题主要考虑椭圆的定义；（２）题要分焦点在x轴和y轴上两种情况；（３）可以用待定系数法求解．答案（１）B （２）错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１（３）错误!＋错误!＝１解析（１）点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|，由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆．（２）若焦点在x轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），∵椭圆过P（３,0），∴错误!＋错误!＝１，即a＝３，又２a＝３×２b，∴b＝１，方程为错误!＋y２＝１．若焦点在y轴上，设方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．∵椭圆过点P（３,0）．∴错误!＋错误!＝１，即b＝３．又２a＝３×２b，∴a＝9，∴方程为错误!＋错误!＝１．∴所求椭圆的方程为错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１．（３）设椭圆方程为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0且m≠n）．∵椭圆经过P１、P２点，∴P１、P２点坐标适合椭圆方程．则错误!１、２两式联立，解得错误!∴所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．思维升华（１）求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数２a>|F１F２|这一条件．（２）求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）的形式．（１）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．（２）已知P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，F１、F２分别是椭圆的左、右焦点，若∠F１PF２＝60°，则△PF１F２的面积为________．答案（１）错误!＋错误!＝１（２）１２错误!解析（１）方法一椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0,４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４．所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．方法二因为所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为c ２＝１6，且c ２＝a ２—b ２，故a ２—b ２＝１6． １又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，所以错误!＋错误!＝１， 即错误!＋错误!＝１．２由１２得b ２＝４，a ２＝２0，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１． （２）根据椭圆的定义，得|PF １|＋|PF ２|＝２0，１在△PF １F ２中，由余弦定理，得|PF １|２＋|PF ２|２—２|PF １|·|PF ２|cos 60°＝２５6．２１２—２得|PF １|·|PF ２|＝４8．∴21F PF S ＝错误!|PF １|·|PF ２|sin 60°＝１２错误!. 题型二 椭圆的几何性质例２ （１）在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝１，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率．（２）如图，焦点在x 轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e ＝错误!，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求错误!·错误!的最大 值和最小值．思维启迪 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用，解题（１）的关键是根据题意求出a ，c 的值；解题（２）的关键是表示出错误!·错误!，根据椭圆的性质确定变量的取值范围． 解 （１）设椭圆的焦半径为c ，设另一个焦点为F ，如图所示， ∵AB ＝AC ＝１，△ABC 为直角三角形， ∴１＋１＋错误!＝４a ，则a ＝错误!. 设FA ＝x ，∴错误!∴x ＝错误!，∴１＋（错误!）２＝４c ２， ∴c ＝错误!，e ＝错误!＝错误!—错误!.（２）设P 点坐标为（x 0，y 0）．由题意知a ＝２， ∵e ＝错误!＝错误!，∴c ＝１，∴b ２＝a ２—c ２＝３．所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．∴—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.又F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），∴错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.当x0＝２时，错误!·错误!取得最小值0，当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．思维升华（１）求椭圆的离心率的方法１直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．２构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解．３通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，—a≤x≤a，—b≤y≤b,0<e<１等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．（１）已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!（２）（２0１３·辽宁）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝１0，|AF|＝6，cos∠ABF＝错误!，则C的离心率e ＝________.答案（１）C （２）错误!解析（１）设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），∴错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），∴|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.∵点P在椭圆上，∴0≤y错误!≤１，∴当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．故选Ｃ．（２）如图，在△ABF中，|AB|＝１0，|AF|＝6，且cos∠ABF＝错误!，设|BF|＝m，由余弦定理，得6２＝１0２＋m２—２0m·错误!，∴m２—１6m＋6４＝0，∴m＝8．因此|BF|＝8，AF⊥BF，c＝|OF|＝错误!|AB|＝５．设椭圆右焦点为F′，连接BF′，AF′，由对称性，|BF′|＝|AF|＝6，∴２a＝|BF|＋|BF′|＝１４．∴a＝7，因此离心率e＝错误!＝错误!.题型三直线与椭圆的位置关系例３已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的一个顶点为B（0,４），离心率e＝错误!，直线l交椭圆于M，N两点．（１）若直线l的方程为y＝x—４，求弦MN的长．（２）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．思维启迪直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．解（１）由已知得b＝４，且错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴错误!＝错误!，解得a２＝２0，∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１．则４x２＋５y２＝80与y＝x—４联立，消去y得9x２—４0x＝0，∴x１＝0，x２＝错误!，∴所求弦长|MN|＝错误!|x２—x１|＝错误!.（２）椭圆右焦点F的坐标为（２,0），设线段MN的中点为Q（x0，y0），由三角形重心的性质知错误!＝２错误!，又B（0,４），∴（２，—４）＝２（x0—２，y0），故得x0＝３，y0＝—２，即得Q的坐标为（３，—２）．设M（x１，y１），N（x２，y２），则x１＋x２＝6，y１＋y２＝—４，且错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１，以上两式相减得错误!＋错误!＝0，∴k MN＝错误!＝—错误!·错误!＝—错误!×错误!＝错误!，故直线MN的方程为y＋２＝错误!（x—３），即6x—５y—２8＝0．思维升华（１）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（２）设直线与椭圆的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），则|AB|＝错误!＝错误!（k为直线斜率）．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．已知椭圆G：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，右焦点为（２错误!，0）．斜率为１的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（—３,２）．（１）求椭圆G的方程；（２）求△PAB的面积．解（１）由已知得c＝２错误!，错误!＝错误!，解得a＝２错误!.又b２＝a２—c２＝４，所以椭圆G的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设直线l的方程为y＝x＋m，由错误!消去y得４x２＋6mx＋３m２—１２＝0．１设A，B的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２）（x１<x２），AB中点为E（x0，y0），则x0＝错误!＝—错误!，y0＝x0＋m＝错误!.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝错误!＝—１，解得m＝２．此时方程１为４x２＋１２x＝0，解得x１＝—３，x２＝0，所以y１＝—１，y２＝２．所以|AB|＝３错误!，又点P（—３,２）到直线AB：x—y＋２＝0的距离d＝错误!＝错误!.所以△PAB的面积S＝错误!|AB|·d＝错误!.高考中圆锥曲线的离心率问题典例：（１0分）（１）如图，椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左焦点为F，上１顶点为B２，右顶点为A２，过点A２作x轴的垂线交直线F１B２于点P，若|PA２|＝３b，则椭圆C的离心率为________．（２）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１（—c,0）、F２（c,0），若椭圆上存在点P使错误!＝错误!，则该椭圆的离心率的取值范围为________．思维启迪椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a，b，c的一个关系式即可．若得到的关系式含b，可利用a２＝b２＋c２转化为只含a，c的关系式．解析（１）由题设知错误!＝错误!⇒错误!＝错误!＝错误!，e＝错误!.（２）依题意及正弦定理，得错误!＝错误!（注意到P不与F１F２共线），即错误!＝错误!，∴错误!—１＝错误!，∴错误!＝错误!＋１>错误!，即e＋１>错误!，∴（e＋１）２>２．又0<e<１，因此错误!—１<e<１．答案（１）错误!（２）（错误!—１,１）温馨提醒离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式（等式或不等式），并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.方法与技巧１．求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a，b或m，n.２．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（１）求得a，c的值，直接代入公式e＝错误!求得；（２）列出关于a，b，c的齐次方程（或不等式），然后根据b２＝a２—c２，消去b，转化成关于e 的方程（或不等式）求解．失误与防范１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x２与y２的分母大小．２．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．A组专项基础训练（时间：４0分钟）一、选择题１．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（）Ａ．9 Ｂ．１Ｃ．１或9 Ｄ．以上都不对答案C解析错误!，解得a＝５，b＝３，c＝４．∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a—c＝１．２．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F１P的中点，|OM|＝３，则P点到椭圆左焦点的距离为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．５答案A解析由题意知|OM|＝错误!|PF２|＝３，∴|PF２|＝6，∴|PF１|＝２×５—6＝４．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．8 Ｃ．４或8 Ｄ．以上均不对答案C解析由错误!，得２<m<１0，由题意知（１0—m）—（m—２）＝４或（m—２）—（１0—m）＝４，解得m＝４或m＝8．４．（２0１２·江西）椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F１、F２，若|AF１|，|F１F２|，|F１B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—２答案B解析由题意知|AF１|＝a—c，|F１F２|＝２c，|F１B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F１F２|２＝|AF１|·|F１B|，即４c２＝a２—c２，a２＝５c２，所以e２＝错误!，所以e＝错误!.５．已知圆M：x２＋y２＋２mx—３＝0（m<0）的半径为２，椭圆C：错误!＋错误!＝１的左焦点为F （—c,0），若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４答案C解析圆M的方程可化为（x＋m）２＋y２＝３＋m２，则由题意得m２＋３＝４，即m２＝１（m<0），∴m＝—１，则圆心M的坐标为（１,0）．由题意知直线l的方程为x＝—c，又∵直线l与圆M相切，∴c＝１，∴a２—３＝１，∴a＝２．二、填空题6．（２0１３·福建）椭圆Г：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２，焦距为２c.若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Г的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．答案错误!—１解析由直线方程为y＝错误!（x＋c），知∠MF１F２＝60°，又∠MF１F２＝２∠MF２F１，所以∠MF２F１＝３0°，MF１⊥MF２，所以|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以|MF１|＋|MF２|＝c＋错误!c＝２a.即e＝错误!＝错误!—１．7．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率等于错误!，其焦点分别为A、B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC中，错误!的值等于________．答案３解析在△ABC中，由正弦定理得错误!＝错误!，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知|CA|＋|CB|＝２a，而|AB|＝２c，所以错误!＝错误!＝错误!＝３．8．椭圆错误!＋y２＝１的左，右焦点分别为F１，F２，点P为椭圆上一动点，若∠F１PF２为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案（—错误!，错误!）解析设椭圆上一点P的坐标为（x，y），则错误!＝（x＋错误!，y），错误!＝（x—错误!，y）．∵∠F１PF２为钝角，∴错误!·错误!<0，即x２—３＋y２<0，１∵y２＝１—错误!，代入１得x２—３＋１—错误!<0，错误!x２<２，∴x２<错误!.解得—错误!<x<错误!，∴x∈（—错误!，错误!）．三、解答题9．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，其中左焦点F（—２,0）．（１）求椭圆C的方程；（２）若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x２＋y２＝１上，求m的值．解（１）由题意，得错误!解得错误!∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设点A，B的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２），线段AB的中点为M（x0，y0），由错误!消去y得，３x２＋４mx＋２m２—8＝0，Δ＝96—8m２>0，∴—２错误!<m<２错误!，∵x0＝错误!＝—错误!，∴y0＝x0＋m＝错误!，∵点M（x0，y0）在圆x２＋y２＝１上，∴（—错误!）２＋（错误!）２＝１，∴m＝±错误!.１0．设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左，右焦点分别为F１，F２.点P（a，b）满足|PF２|＝|F１F２|.（１）求椭圆的离心率e.（２）设直线PF２与椭圆相交于A，B两点．若直线PF２与圆（x＋１）２＋（y—错误!）２＝１6相交于M，N两点，且|MN|＝错误!|AB|，求椭圆的方程．解（１）设F１（—c,0），F２（c,0）（c>0），因为|PF２|＝|F１F２|，所以错误!＝２c.整理得２（错误!）２＋错误!—１＝0，解得错误!＝—１（舍），或错误!＝错误!.所以e＝错误!.（２）由（１）知a＝２c，b＝错误!c，可得椭圆方程为３x２＋４y２＝１２c２，直线PF２的方程为y＝错误!（x—c）．A，B两点的坐标满足方程组错误!消去y并整理，得５x２—8cx＝0．解得x１＝0，x２＝错误!c.得方程组的解错误!错误!不妨设A（错误!c，错误!c），B（0，—错误!c），所以|AB|＝错误!＝错误!c.于是|MN|＝错误!|AB|＝２c.圆心（—１，错误!）到直线PF２的距离d＝错误!＝错误!.因为d２＋（错误!）２＝４２，所以错误!（２＋c）２＋c２＝１6．整理得7c２＋１２c—５２＝0，得c＝—错误!（舍），或c＝２．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．B组专项能力提升（时间：３0分钟）１．（２0１３·四川）从椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F１，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析由题意可设P（—c，y0）（c为半焦距），k OP＝—错误!，k AB＝—错误!，由于OP∥AB，∴—错误!＝—错误!，y0＝错误!，把P错误!代入椭圆方程得错误!＋错误!＝１，而错误!２＝错误!，∴e＝错误!＝错误!.选Ｃ．２．已知F１、F２是椭圆的两个焦点，满足错误!·错误!＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．（0,１）Ｂ．（0，错误!] Ｃ．（0，错误!）Ｄ．[错误!，１）答案C解析∵满足错误!·错误!＝0的点M在圆x２＋y２＝c２上，∴圆x２＋y２＝c２在椭圆内部，即c<b，∴c２<b２＝a２—c２,２c２<a２，∴e２<错误!，即e∈（0，错误!）．３．如图，已知过椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左顶点A（—a,0）作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且错误!＝２错误!，则椭圆的离心率为________．答案错误!错误!解析由于△AOP为等腰三角形，且∠AOP＝90°，故有AO＝OP＝a，则点P的坐标为（0，a），设点Q的坐标为（x，y），错误!＝（x，y）—（0，a）＝（x，y—a），错误!＝（—a,0）—（x，y）＝（—a—x，—y），∵错误!＝２错误!，则有错误!，解得错误!，即点Q的坐标为错误!，将点Q的坐标代入椭圆的方程得错误!２·错误!＋错误!２·错误!＝１，解得a２＝５b２，即a２＝５（a２—c２），∴错误!＝错误!，∴e＝错误!＝错误!.４．点P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，F１，F２是椭圆的两个焦点，且△PF１F２的内切圆半径为１，当P在第一象限时，P点的纵坐标为________．答案错误!解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|F１F２|＝6，S△PF１F２＝错误!（|PF１|＋|PF２|＋|F１F２|）·１＝8＝错误!|F１F２|·y P＝３y P.所以y P＝错误!.５．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6,４），则|PM|＋|PF１|的最大值为________．答案１５解析|PF１|＋|PF２|＝１0，|PF１|＝１0—|PF２|，|PM|＋|PF１|＝１0＋|PM|—|PF２|，易知M点在椭圆外，连接MF２并延长交椭圆于P点，此时|PM|—|PF２|取最大值|MF２|，故|PM|＋|PF１|的最大值为１0＋|MF２|＝１0＋错误!＝１５．6．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为错误!，且经过点M（１，错误!）．（１）求椭圆C的方程；（２）是否存在过点P（２,１）的直线l１与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足错误!·错误!＝错误!２？若存在，求出直线l１的方程；若不存在，请说明理由．解（１）设椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由题意得错误!解得a２＝４，b２＝３．故椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．（２）假设存在直线l１且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k１（x—２）＋１，代入椭圆C的方程得，（３＋４k错误!）x２—8k１（２k—１）x＋１6k错误!—１6k１—8＝0．１因为直线l１与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为（x１，y１），（x２，y２），所以Δ＝[—8k１（２k１—１）]２—４（３＋４k错误!）·（１6k错误!—１6k１—8）＝３２（6k１＋３）>0，所以k１>—错误!.又x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，因为错误!·错误!＝错误!２，即（x１—２）（x２—２）＋（y１—１）（y２—１）＝错误!，所以（x１—２）（x２—２）（１＋k错误!）＝错误!２＝错误!.即[x１x２—２（x１＋x２）＋４]（１＋k错误!）＝错误!.所以[错误!—２·错误!＋４]·（１＋k错误!）＝错误!＝错误!，解得k１＝±错误!.因为k１>—错误!，所以k１＝错误!.于是存在直线l１满足条件，其方程为y＝错误!x.。

【A 级】 基础训练1．(2013·高考全国大纲卷)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B ．x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D ．x 25＋y 24＝1解析：设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数．由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：C2．(2013·高考全国大纲卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1解析：利用直线P A 2斜率的取值范围确定点P 变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线P A 1斜率的边界值．由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.答案：B3．(2013·高考全国新课标卷)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B ．13 C.12D ．33解析：根据椭圆的定义以及三角知识求解．如图，由题意知sin 30°＝|PF 2||PF 1|＝12，∴|PF 1|＝2|PF 2|.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 2|＝2a 3.∴tan 30°＝|PF 2||F 1F 2|＝2a32c ＝33.∴c a ＝33.故选D. 答案：D4．方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3＞0，k ＋3＞0，k －3≠k ＋3，解得k ＞3.答案：k ＞35．(2014·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a6＋y 2a 5＝1的离心率为________． 解析：由题意得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16＞a 5，∴e ＝16－134＝34. 答案：346．(2014·北京顺义二模)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________. 解析：如图所示，设AB ＝BC ＝x ，由cos B ＝－718及余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝x 2＋x 2＋2x 2×718，∴AC 2＝259x 2， ∴AC ＝53x .∵椭圆以A 、B 为焦点， ∴焦距为2c ＝AB ＝x . 又椭圆经过点C ， ∴AC ＋BC ＝53x ＋x ＝2a ， ∴2a ＝83x ，∴e ＝c a ＝38. 答案：387．(2014·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，因为e ＝32，所以a 2＝4b 2 ，又因为椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，解得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆方程为x 220＋y 25＝1. (2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)＞0，解得－5＜m ＜5.8．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都是e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，aba 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时， l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN ，当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b aa 2－t 2t＝a ba 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a . 因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1，所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .【B 级】 能力提升1．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8. 答案：B2．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上存在一点P ，使得点P 到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．(0，2，－1] B ．[2－1,1] C ．(0，3－1]D ．[3－1,1)解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点P 作左准线的垂线，垂足为M ，则|PF 1||PM |＝e ，故|PF 1|＝|PM |e .又|PF 1|＝2a －|PF 2|，|PM |＝|PF 2|，所以有(1＋e )|PF 2|＝2a ，则|PF 2|＝2a1＋e ∈[a －c ，a ＋c ]，即a －c ≤2a1＋e ≤a ＋c ，解得：e ∈[2－1,1)． 答案：B3．(2014·武汉模拟)若点F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的焦点，P 为椭圆上的点，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值是( ) A ．0 B ．1 C ．3D ．6解析：△F 1PF 2的面积为1，设P (x 1，y 1)， 则有12·|2c |·|y 1|＝1，即3|y 1|＝1，∴y 1＝±33，代入椭圆方程得：x 1＝±263，∴不妨令点P 为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，33，又∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)， ∴PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－263，－33，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－263，－33 ∴PF 1→·PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2632－()32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332 ＝83－3＋13＝0. 答案：A4．(2014·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3. 答案：35．(2013·高考辽宁卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，因为直线过原点，所以|AF |＝|BF 1|＝6，|BO |＝|AO |.在△ABF 中，设|BF |＝x ，由余弦定理得36＝100＋x 2－2×10x ×45，解得x ＝8，即|BF |＝8，所以∠BF A ＝90°，所以△ABF 是直角三角形，所以2a ＝6＋8＝14，即a ＝7.又因为在Rt △ABF 中，|BO |＝|AO |，所以|OF |＝12|AB |＝5，即c ＝5.所以e ＝57. 答案：576．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．解析：由△ABF 2的周长等于4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，进而c ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，∴C 的方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝17．(创新题)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足P A →·PB →＝PM→2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0，所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54. 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤16k 21＋16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝12x.。