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第五节椭__圆错误!１．椭圆的定义（１）满足以下条件的点的轨迹是椭圆：１在平面内；２与两个定点F１、F２的距离之和等于常数；３常数大于|F１F２|.（２）焦点：两定点．（３）焦距：两焦点间的距离．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a>b>0）错误!＋错误!＝１（a>b>0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0,0）顶点A１（—a,0），A２（a,0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b,0），B２（b,0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b焦距|F１F２|＝２c离心率e＝错误!，e∈（0,１）a，b，c的关系c２＝a２—b２１．椭圆的定义中易忽视２a＞|F１F２|这一条件，当２a＝|F１F２|其轨迹为线段F１F２，当２a＜|F１F２|不存在轨迹．２．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．３．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）上点的坐标为P（x，y）时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x—２y＋２＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋y２＝１或错误!＋错误!＝１Ｄ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为（0,１），（—２,0），由题意知当焦点在x轴上时，c＝２，b＝１，∴a２＝５，所求椭圆的标准方程为错误!＋y２＝１．当焦点在y轴上时，b＝２，c＝１，∴a２＝５，所求椭圆标准方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｃ．１．求椭圆标准方程的方法（１）定义法：根据椭圆定义，确定a２，b２的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．（２）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a２，b２，从而写出椭圆的标准方程．２．椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a—c.３．求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b２＝a２—c２就可求得e（0＜e＜１）．[练一练]１．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）与双曲线错误!—错误!＝１（m＞0，n＞0）有相同的焦点（—c,0）和（c,0），若c是a、m的等比中项，n２是２m２与c２的等差中项，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 在双曲线中m２＋n２＝c２，又２n２＝２m２＋c２，解得m＝错误!，又c２＝am，故椭圆的离心率e＝错误!＝错误!.２．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是错误!，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知错误!解得错误!∴椭圆方程为错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１错误!考点一椭圆的定义及标准方程１．（２0１２|PF１|∶|PF２|＝４∶３，则△PF１F２的面积为（）Ａ．３0 Ｂ．２５Ｃ．２４Ｄ．４0解析：选C ∵|PF１|＋|PF２|＝１４，又|PF１|∶|PF２|＝４∶３，∴|PF１|＝8，|PF２|＝6．∵|F１F２|＝１0，∴PF１⊥PF２.＝错误!|PF１|·|PF２|＝错误!×8×6＝２４．∴S△PF１F２２．（２0１４·烟台质检）一个椭圆中心在原点，焦点F１，F２在x轴上，P（２, 错误!）是椭圆上一点，且|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则椭圆方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选A 设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）．由点P（２, 错误!）在椭圆上知错误!＋错误!＝１．又|PF１|，|F１F２|，|PF２|成等差数列，则|PF１|＋|PF２|＝２|F１F２|，即２a＝２·２c，错误!＝错误!，又c２＝a２—b２，联立得a２＝8，b２＝6．３．已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C１相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6，∴M的轨迹是以C１、C２为焦点的椭圆，且２a＝１6,２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．[类题通法]１．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．２．利用定义和余弦定理可求得|PF１|·|PF２|，再结合|PF１|２＋|PF２|２＝（|PF１|＋|PF２|）２—２|PF１|·|PF| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．２３．当椭圆焦点位置不明确时，可设为错误!＋错误!＝１（m＞0，n＞0，m≠n），也可设为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，且A≠B）．考点二椭圆的几何性质[典例] （２0F１，F２，焦距为２c，若直线y＝错误!（x＋c）与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF１F２＝２∠MF２F１，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y＝错误!（x＋c）过点F１，且倾斜角为60°，所以∠MF１F２＝60°，从而∠MF２F１＝３0°，所以MF１⊥MF２.在Rt△MF１F２中，|MF１|＝c，|MF２|＝错误!c，所以该椭圆的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!—１．[答案] 错误!—１本例条件变为“过F１，F２的两条互相垂直的直线l１，l２的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F１F２为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c２＜b２，即c２＜a２—c ２，错误!２＜错误!，0＜错误!＜错误!，故e∈错误!.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧（１）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．（２）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如—a≤x≤a，—b≤y≤b,0＜e＜１，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]１．椭圆错误!＋错误!＝１的离心率为错误!，则k的值为（）Ａ．—２１Ｂ．２１Ｃ．—错误!或２１Ｄ．错误!或２１解析：选C 若a２＝9，b２＝４＋k，则c＝错误!，由错误!＝错误!，即错误!＝错误!，得k＝—错误!；若a２＝４＋k，b２＝9，则c＝错误!，由错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得k＝２１．２．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为２∶１，则此椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．[错误!，错误!] Ｂ．[错误!，错误!]Ｃ．（错误!，１）Ｄ．[错误!，１）解析：选D 设P到两个焦点的距离分别为２k，k，根据椭圆定义可知：３k＝２a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为２c，即k≤２c，∴２a≤6c，即e≥错误!.又∵0＜e＜１，∴错误!≤e＜１．考点三直线与椭圆的位置关系[典例] （２0F，离心率为错误!，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为错误!.（１）求椭圆的方程；（２）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC·DB ＋AD·CB＝8，求k的值．[解] （１）设F（—c,0），由错误!＝错误!，知a＝错误!c.过点F且与x轴垂直的直线的方程为x ＝—c，代入椭圆方程有错误!＋错误!＝１，解得y＝±错误!，于是错误!＝错误!，解得b＝错误!，又a ２—c２＝b２，从而a＝错误!，c＝１，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设点C（x１，y１），D（x２，y２），由F（—１,0）得直线CD的方程为y＝k（x＋１），由方程组错误!消去y，整理得（２＋３k２）x２＋6k２x＋３k２—6＝0．由根与系数的关系可得x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为A（—错误!，0），B（错误!，0）所以AC·DB＋AD·CB＝（x１＋错误!，y１）·（错误!—x２，—y２）＋（x２＋错误!，y２）·（错误!—x，—y１）１＝6—２x １x２—２y１y２＝6—２x１x２—２k２（x１＋１）（x２＋１）＝6—（２＋２k２）x１x２—２k２（x１＋x２）—２k２＝6＋错误!.由已知得6＋错误!＝8，解得k＝±错误!.[类题通法]１．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．２．直线和椭圆相交的弦长公式|AB|＝错误!或|AB|＝错误!.[针对训练]（２0１３·全国新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：错误!＋错误!＝１（a>b>0）右焦点的直线x＋y—错误!＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为错误!.（１）求M的方程；（２）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），P（x0，y0），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１，错误!＝—１，由此可得错误!＝—错误!＝１．因为x１＋x２＝２x0，y１＋y２＝２y0，错误!＝错误!，所以a２＝２b２.又由题意知，M的右焦点为（错误!，0），故a２—b２＝３．因此a２＝6，b２＝３．所以M的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由错误!解得错误!或错误!因此|AB|＝错误!.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n错误!，设C（x３，y３），D（x４，y４）．由错误!得３x２＋４nx＋２n２—6＝0．于是x３,４＝错误!.因为直线CD的斜率为１，所以|CD|＝错误!|x４—x３|＝错误!错误!.由已知，四边形ACBD的面积S＝错误!|CD|·|AB|＝错误!错误!.当n＝0时，S取得最大值，最大值为错误!.所以四边形ACBD面积的最大值为错误!.错误![课堂练通考点]１．（２0１３·惠州调研）“m＞n＞0”是“方程mx２＋ny２＝１表示焦点在y轴上的椭圆”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选C 把椭圆方程化成错误!＋错误!＝１．若m＞n＞0，则错误!＞错误!＞0．所以椭圆的焦点在y轴上．反之，若椭圆的焦点在y轴上，则错误!＞错误!＞0即有m＞n＞0．故为充要条件．２．（２0１３·广东高考）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则C 的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），所以错误!解得a２＝４，b２＝３．３．（２0１３·江南十校联考）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 由题意知２a＋２c＝２（２b），即a＋c＝２b，又c２＝a２—b２，消去b整理得５c２＝３a２—２ac，即５e２＋２e—３＝0，∴e＝错误!或e＝—１（舍去）．４．（２0１４·池州模拟）已知点M（错误!，0），椭圆错误!＋y２＝１与直线y＝k（x＋错误!）交于点A，B，则△ABM的周长为________．解析：M（错误!，0）与F（—错误!，0）是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F（—错误!，0），且|AB|＝|AF|＋|BF|，△ABM的周长等于|AB|＋|AM|＋|BM|＝（|AF|＋|AM|）＋（|BF|＋|BM|）＝４a＝8．答案：8５．（２0１４·莆田模拟）点A，B分别是椭圆错误!＋错误!＝１长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.（１）求点P的坐标；（２）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．解：（１）由题意可知点A（—6,0），F（４,0）设点P的坐标为（x，y），则AP＝（x＋6，y），FP＝（x—４，y），且y＞0，由已知得错误!即２x２＋9x—１8＝0，解得错误!或错误!（舍）∴点P的坐标为错误!.（２）直线AP的方程为x—错误!y＋6＝0，设点M的坐标为（m,0），由题意可知错误!＝|m—6|.又—6≤m≤6，∴m＝２，∴d２＝（x—２）２＋y２＝x２—４x＋４＋２0—错误!x２＝错误!错误!２＋１５．∴当x＝错误!时，d取得最小值错误!.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．椭圆x２＋my２＝１的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的２倍，则m的值为（）A.错误!Ｂ．错误!C．２Ｄ．４解析：２．设F１、F２分别是椭圆错误!＋错误!＝１的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F１P的中点，|OM|＝３，则P点到椭圆左焦点的距离为（）Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．５解析：选A 由题意知|OM|＝错误!|PF２|＝３，∴|PF２|＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝１0—6＝４．３．（２0１３·石家庄模拟）中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为４，离心率为错误!，则该椭圆的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选D 依题意，２c ＝４，c ＝２，又e ＝错误!＝错误!，则a ＝２错误!，b ＝２，所以椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．４．已知P 是以F １，F ２为焦点的椭圆错误!＋错误!＝１（a >b >0）上的一点，若1PF ·2PF ＝0，tan ∠PF １F ２＝错误!，则此椭圆的离心率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ，∴|PF １|＋|PF ２|＝错误!c ＝２a ，∴e ＝错误!＝错误!. ５．若方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x 轴上的椭圆，所以|a |—１＞a ＋３＞0，解得—３＜a ＜—２．答案： （—３，—２）6． （２0１３·辽宁高考）已知椭圆C ：错误!＋错误!＝１（a >b >0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝１0，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝错误!，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F １，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝５，连接AF １，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF １|＝8，所以２a ＝１４，a ＝7，所以离心率e ＝错误!.答案：错误!7．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a >b >0），点P 错误!在椭圆上． （１）求椭圆的离心率；（２）设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率．解：（１）因为点P 错误!在椭圆上，故错误!＋错误!＝１，可得错误!＝错误!. 于是e ２＝错误!＝１—错误!＝错误!， 所以椭圆的离心率e ＝错误!.（２）设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为（x 0，y 0）． 由条件得错误!消去y 0并整理得x 错误!＝错误!.１由|AQ|＝|AO|，A（—a,0）及y0＝kx0得，（x0＋a）２＋k２x错误!＝a２，整理得（１＋k２）x错误!＋２ax0＝0．而x0≠0，故x0＝错误!.代入１，整理得（１＋k２）２＝４k２·错误!＋４．由（１）知错误!＝错误!，故（１＋k２）２＝错误! k２＋４，即５k４—２２k２—１５＝0，可得k２＝５．所以直线OQ的斜率k＝±错误!.8．（２0１４·黄山模拟）椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F１，F２.点P（a，b）满足|PF２|＝|F１F２|.（１）求椭圆的离心率e；（２）设直线PF２与椭圆相交于A，B两点．若直线PF２与圆（x＋１）２＋（y—错误!）２＝１6相交于M，N两点，且|MN|＝错误!|AB|，求椭圆的方程．解：（１）设F１（—c,0），F２（c,0）（c＞0），因为|PF２|＝|F１F２|，所以错误!＝２c.整理得２（错误!）２＋错误!—１＝0．即２e２＋e—１＝0，所以e＝错误!或—１（舍）．（２）由（１）知a＝２c，b＝错误!c，可得椭圆方程为３x２＋４y２＝１２c２，直线PF２的方程为y＝错误!（x—c）．A，B两点的坐标满足方程组错误!消去y并整理，得５x２—8cx＝0．解得x１＝0，x２＝错误!c.得方程组的解错误!错误!不妨设A错误!，B（0，—错误!c），所以|AB|＝错误!＝错误!c.于是|MN|＝错误!|AB|＝２c.圆心（—１，错误!）到直线PF２的距离d＝错误!＝错误!.因为d２＋错误!２＝４２，所以错误!（２＋c）２＋c２＝１6．整理得7c２＋１２c—５２＝0，得c＝—错误!（舍），或c＝２．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１４·长春调研）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的离心率为错误!，右焦点到直线x＋y＋错误!＝0的距离为２错误!.（１）求椭圆的方程；（２）过点M（0，—１）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，且满足NA＝—错误!NB，求直线l的方程．解：（１）设椭圆的右焦点为（c,0）（c＞0），则错误!＝２错误!，c＋错误!＝±２错误!，c＝错误!或c＝—３错误!（舍去）．又离心率错误!＝错误!，错误!＝错误!，故a＝２错误!，b＝错误!＝错误!，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），N（x0,0），因为NA＝—错误!NB，所以（x１—x0，y１）＝—错误!（x２—x0，y２），y１＝—错误!y２.１易知当直线l的斜率不存在或斜率为0时，１不成立，于是设直线l的方程为y＝kx—１（k≠0），联立方程，得错误!消去x得（４k２＋１）y２＋２y＋１—8k２＝0，２因为Δ＞0，所以直线与椭圆相交，于是y１＋y２＝—错误!，３y１y２＝错误!，４由１３得，y２＝错误!，y１＝—错误!，代入４整理得8k４＋k２—9＝0，k２＝１，k＝±１，所以直线l的方程是y＝x—１或y＝—x—１．２．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0,２），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝２PB.（１）求椭圆的方程；（２）求m的取值范围．解：（１）由题意知椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a＞b＞0），由题意知a＝２，b＝c，又a２＝b２＋c２，则b＝错误!，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）设A（x１，y１），B（x２，y２），由题意知，直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，与椭圆方程联立，得错误!则（２＋k２）x２＋２mkx＋m２—４＝0，Δ＝（２mk）２—４（２＋k２）（m２—４）＞0．由根与系数的关系知错误!又由AP＝２PB，即（—x１，m—y１）＝２（x２，y２—m），得—x１＝２x２，故错误!可得错误!＝—２错误!２，整理得（9m２—４）k２＝8—２m２，又9m２—４＝0时不符合题意，所以k２＝错误!＞0，解得错误!＜m２＜４，此时Δ＞0，解不等式错误!＜m２＜４得错误!＜m＜２或—２＜m＜—错误!，所以m的取值范围为错误!∪错误!.３．（２0１４·兰州模拟）已知椭圆方程为错误!＋x２＝１，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（１）求m的取值范围；（２）求△MPQ面积的最大值．解：（１）设直线l的方程为y＝kx＋１，由错误!可得（k２＋２）x２＋２kx—１＝0．设P（x１，y１），Q（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝—错误!.可得y１＋y２＝k（x１＋x２）＋２＝错误!.设线段PQ的中点为N，则点N的坐标为错误!，由题意有k MN·k＝—１，可得错误!·k＝—１，可得m＝错误!，又k≠0，所以0<m<错误!.（２）设椭圆的焦点为F，则S△MPQ＝错误!·|FM|·|x１—x２|＝错误!，所以△MPQ的面积为错误!错误!.设f（m）＝m（１—m）３，则f′（m）＝（１—m）２（１—４m）．可知f（m）在区间错误!上递增，在区间错误!上递减．所以，当m＝错误!时，f（m）有最大值f错误!＝错误!.即当m＝错误!时，△MPQ的面积有最大值错误!.。
