导数与微分(高等数学)精品PPT课件

它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章

极值与导数
总结词
导数的零点通常是函数极值点，可用 于判断和求解极值。
详细描述
函数在极值点的一阶导数为零，且在 极值点左右两侧的导数符号相反。
曲线的凹凸性与导数
总结词
导数的正负决定了曲线的凹凸性，二 阶导数的符号可用于判断。
详细描述
当一阶导数大于0时，曲线为凹；当 一阶导数小于0时，曲线为凸。二阶 导数大于0时，曲线为下凸；二阶导 数小于0时，曲线为上凸。
导数可以帮助我们更准确地描 绘函数的图像，了解函数在不
同区间的变化情况。
导数在物理中的应用
01
02
03
04
速度与加速度
在物理中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度，例如瞬 时速度和瞬时加速度的计算。
弹性分析
在弹性力学中，导数可以用来 分析物体的弹性性质，例如弹
性模量、泊松比等。
能量变化
在物理过程中，导数可以用来 计算能量的变化率，例如热传
在物理学中，导数可以用于描述物理量的变化率，如速度和加速度。通过导数的 计算，可以得到物体运动的速度和加速度，从而更好地理解物理现象的变化规律 。
02
导数的性质
函数单调性与导数
总结词
导数与函数单调性密切相关，导 数的正负决定了函数的增减性。
详细描述
当函数在某区间的导数大于0时， 函数在此区间单调递增；当导数 小于0时，函数在此区间单调递减 。
复合函数的微分
复合函数的概念
01
由多个基本初等函数通过有限次复合而形成的函数称为复合函
数。
复合函数的导数
02
根据链式法则，可以求出复合函数的导数，进而得到其微分。
微分在求复合函数增减性中的应用

31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高等数学课件(导数、微分)详细
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖法律。 ——罗·伯顿

且在点a 右可导, 在点b 左可导, 则称 f 在闭区间 [a , b]上可导. 若函数 f 在区间I 上可导, 则在区间 I 上定义了一个新的函数 f ( x ), 称为 f
的导函数.
2015-1-31 12
三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来 研究;而微分则是直接研究函数的增量， 这有许多方便之处。 （一）函数的微分的定义 设函数 f ( x ) 在点 x0 的某邻域有定义.
9
例:线密度问题
设有一根由某种物质做 成的细杆AB, 求在断面M处细杆的线密度.
A M
x
N
o
B
x x
x
设AM的质量是 m( x ) MN的质量为 m( x x ) m( x )
m( x x ) m( x ) 平均线密度 x m ( x x ) m ( x ) ( x) l i m x 0 x 2015-1-31
8
[注意2] 导数的意义： 导数是函数在一点的变化率 物理意义
瞬时速度： v(t0 ) s(t0 )
线密度： ( x ) m( x )
几何意义 切线斜率： k( x0 ) f ( x0 )
导数 f ( x0 ) 是曲线 y f ( x )在点
2015-1-31
M 0 ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率 .
dy dx x x0
7
[注意1] 导数的等价定义：
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
f ( x 0 h) f ( x 0 ) f ( x 0 ) l i m h 0 h

2015-1-31
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0