06数学分析4期末考试试题2

一、填空题（每小题2分，共26分）1、函数155345++-=x x x y 在]1,1[-上的最大值为 ，最小值为 。

2. 利用定积分定义得=-∑=∞→n i n i n 12241lim 。

3. 若点)2,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ， =b 。

4．若级数∑∞=1n n a 收敛，则=∞→n n a lim 。

5．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=+N n n S n 1)1(]1,0[ ，则集合S 的所有聚点之集为 。

6、积分⎰102dx x a 当 时收敛，级数∑-p n n)1(当 时条件收敛。

7、=⎰-1132tan xdx x 。

8、⎰+=)1()(x e dx x f x ，则=)(x f 。

9、曲线)(x f y =，],[b a x ∈绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积为=S 。

10、函数列一致收敛的柯西准则为 。

11、=+--⎰dx x x x 3252 。

12、设]1,1[-∈x ，则=⎰∑∞=-x n n dt nt 0121。

13、函数x e 带有拉格朗日余项的麦克劳林公式为=x e 。

二、计算下列积分（每题6分，共18分）1、⎰xdx x arctan ； 2、⎰-10221dx x x ； 3、⎰-4022dx x x 。

三、判断下列反常积分和级数的敛散性，（每题6分，共24分） 1、dx x x ⎰+∞+12)1ln(； 2、dx xx ⎰103arctan ； 3、 ∑∞=-1!)2(n n n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11)21(n n n 。

四、证明题（第1题12分，第2、3题各10分，共32分）1、利用定积分证明：（1）半径为R 的园周长为R π2。

（2）半径为R 的球体体积为334R π。

2、设)(x f 是定义在),(+∞-∞上且以T 为周期的连续函数，证明：)(x f 在),(+∞-∞上有最大值与最小值。

3、证明函数∑∞==13sin )(n n nx x f 在),(+∞-∞上连续，且有连续的导函数。

测试题第一章 实数集与函数（A ）1．证明：n ≥1时，有不等式)1(21)1(2--<<-+n n nn n .然后利用它证明：当m ≥2时，有)21)2(21m nm mn <<-∑=.2．设S 是非空数集，试给出数的下界是S ξ，但不是S 的下确界的正面陈述.3．验证函数R x x x x f ∈=,sin )(，即无上界又无下界.4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，)(x g 是定义在R 上的偶函数，试问))(()),((x f g x g f 是奇函数还是偶函数？5．证明：)0(sgn 2cot arctan ≠=+x x x arc x π.6．试问下列函数的图形关于哪一竖直轴线对称： （1）c bx ax y ++=2；（2）x b x a y -++=. 7．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A =（B ）1．设n 为正整数.（1）利用二项式展开定理证明：∑=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+nk k r nn r k n 1101!1111 ，其中 10-=k r 是连乘记号.（2）若1 n ，证明：∑=<+<⎪⎭⎫⎝⎛+<n k nk n 13!111122．设{}为有理数r r r E,72<=，求E sup ，E inf3．设A ，B 为位于原点右方的非空数集，{}B y A x xy AB ∈∈=,证明： B A AB inf inf inf ⋅=4．设函数()x f 定义于()+∞,0内，试把()x f 延拓成R 上的奇函数，()x f 分别如下： （1）()x e x f =； （2）()x x f ln = 5．试给出函数()x f y =，D x ∈不是单调函数的正面陈述。

数学分析上学期期末考试试题(及答案)一、选择题（每小题2分，共20分）1. 下列哪个不是测度论中的重要定理？A. 开集的性质B. 测度的可贸易性C. 有限可加性定理D. 外测度的定义2. 设函数f(x)在[a, b]上可导，下列关于f(x)的结论中正确的是：A. f(x)在[a, b]上一定为增函数B. f(x)在[a, b]上一定为减函数C. f(x)在[a, b]上既可以是增函数也可以是减函数D. f(x)在[a, b]上一定为周期函数3. 以下哪个不是级数收敛的充要条件？A. 极限一致有界B. 积分收敛C. 极限值为零D. 部分和有界4. 若函数序列fn(x)在[a, b]上一致收敛于f(x)，则f(x)在[a, b]上一定是A. 递增的B. 递减的C. 周期函数D. 连续函数5. 下列哪个不是积分的线性性质？A. ∫[a, b](f+g)(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dxB. ∫[a, b]cf(x)dx = c∫[a, b]f(x)dx (c为常数)C. ∫[a, b]f(x)g(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx * ∫[a, b]g(x)dxD. ∫[a, b]f(x)dx = -∫[b, a]f(x)dx6. 函数f(x)=|x|/(x^2+9)的不可导点是A. x=-3B. x=3C. x=-3和x=-sqrt(3)D. x=-3和x=sqrt(3)7. 设函数u(x, y)具有二阶连续偏导数，下列哪个条件可以确保u(x, y)为调和函数？A. u_xx + u_yy = 0B. u_xx + u_yy = 1C. u_xx - u_yy = 0D. u_xx - u_yy = 18. 设实数α为2π的有理数倍数，函数f(x)的周期为2π，下列哪个函数一定是f(x)的周期函数？A. f(x + α)B. f(x - α)C. f(-x)D. f(x/2)9. 设f(x)在区间[a, b]上一阶可导，且f(a)=f(b)=0，若存在c∈(a,b)使得f(c)=0，则函数f(x)在[a, b]上的其中一个极值点为A. aB. bC. cD. 以上都可能是10. 函数f(x)对任意的x∈(-∞, +∞)满足f'(x) = f(x)，若f(x)在x=0处的值为2，则f(1)的值为A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（每小题5分，共20分）1. 若函数f(x)可导，则f(x)________是可测的，且__________是可测的。

一、填空题（每题5分，共30分）1． 设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA=rotA2．求=+⎰→xx dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续， 求极限=⎰⎰≤+→dxdy y x f y x ),(122220lim ρρπρ4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤= 求=+++⎰⎰⎰dxdydz zy x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt ex f t x x +⎰= 求=)('x f 6．)为右半单位圆 设L (,sin cos :⎩⎨⎧==θθy x L 求=⎰ds y L || 二、（本题满分１0分）设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=⎰⎰⎰Ω三（本题满分１0分）计算曲面积分,)(dS z y x ++⎰⎰∑其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分。

四（本题满分3０分，每题10分）1． 计算曲线积分2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++⎰⎰∑其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方向取左侧。

⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。

轴正向看去的交线，从L z3．计算,4)4()(.22yx dy y x dx y x L +++-⎰其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。

五、（本题10分）A ．叙述在平面单连通区域D 上的曲线积分与路径无关的等价命题。

B 验证曲线积分⎰--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，且,0)0(,=f f 有一阶连续导数求).(x f六、证明题（本题10分）.d )(2d )(,]1,0[)(1010⎰⎰≤x x f x x x f x f 式利用二重积分证明不等上连续且单调增加在设一元函数。