第二节多元函数的偏导数解析

2 z 2 z 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 , xy yx
定理7.1
在区域D内连续，那么在该区域 内这两个二阶混合偏导 数必
相等.
2 2 2 (0,0,1), f xz (1,0,2), 例6 设f ( x, y, z) xy yz zx , 求f xx
§7.2 偏导数
偏导数的概念 偏导数的几何意义
偏导数与连续的关系
高阶偏导数 小结 思考与练习
偏导数的概念
设函数z f ( x, y)在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量x时, 相应的函数有增量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
例1 解
求z x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 z , 视y看作常数，对 x求导，得 x
z 2 x sin 2 y x
z z 2 x 2 cos 2 y 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 y y
例2 解
设f ( x, y ) x y x 2 y 2 , 求f x(3,4), f y (0,5)
偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数 y f ( x)在x0可导，则它在该点必连 续.
但对于二元函数 z f ( x, y),即使在点 ( x0 , y0 )的两个偏导数都存在 ,
函数f ( x, y)在点（x0 , y0 )不一定连续。
x2 y 2 例如 f ( x, y ) 1
z x,
f x ( x, y),
z , y
f ( x, y ) , y
z y,
f y( x, y),

(3)
偏导数存在与连续的关系 连续, 连续 连续, 连续
一元函数中在某点可导
多元函数中在某点偏导数存在
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
x2 + y2 ≠ 0 x + y =0
2 2
,
依定义知在( 0,0)处， f x ( 0,0) = f y ( 0,0) = 0 .
若函数z=f(x,y)在点 0, y0)的某邻域内有定义 在点(x 的某邻域内有定义, 若函数 在点 的某邻域内有定义 为这邻域内的任意一点, 并设P(x 为这邻域内的任意一点 并设 0+∆x, y0+∆y)为这邻域内的任意一点 则称这两点的函数值之差 f(x0+∆x, y0+∆y)− f(x0, y0) − 为函数在点(x0, y0)对应于自变量增量∆x,∆y的全增量 的全增量, 为函数在点 对应于自变量增量 的全增量 记为∆z, 即 ∆z = f(x0+∆x, y0+∆y) − f(x0, y0).
2、二元函数在点(x0, y0)的偏导数 、二元函数在点 的偏导数
在点(x 设函数 z = f ( x , y ) 在点 0, y0)的某邻域内有定 的某邻域内有定 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) 存在， 义，如果 lim 存在，称此极限 ∆x → 0 ∆x 在点(x 的偏导数. 记为： 为函数 z = f ( x , y ) 在点 0, y0)处对 x 的偏导数. 记为： 处 定义
但函数在该点处并不连续. 但函数在该点处并不连续 偏导数存在 连续. 连续.
多元函数中在某点连续
例如 函数 f ( x , y ) =

0
(x2 + y2 ≠ 0) 在点O(0,0)处；
(x2 + y2 = 0)
解 根据偏导数的定义，有
f x (0,0)
=
lim
Δx → 0
f
(0
+
Δx,0) Δx
−
f
(0,0)
=
lim
Δx ⋅ 0 (Δx + 0)2 + 02
−0
Δx→0
Δx
= lim 0 Δx→0 Δx
= lim 0 = 0
Δx→0
= tan β x
α
z
Ty
Tx 曲面z = f (x,y)
L
M
0
(x0 , y0 )
平面 x=x0.y.β二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数
zx
=
∂f
(x, ∂x
y),
zy
=
∂f
(x, y) ∂y
还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y
的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x,y)的二阶偏
其中,点(x,y,z)是函数u = f (x, y, z)的定义域的内点.
从偏导数的定义可以清楚地知道，求多元函数的 偏导数，并不需要新的方法，求多元函数对哪个自变 量的偏导数，就是将其他自变量看成常量，而将多元 函数看成一元函数去求导，因此，一元函数的求导法 则和求导公式，对多元函数的偏导数仍然适用.
f (x, y0
y)
即
⎧z =
⎨ ⎩
y
=
f (x, y0
y０)
z Tx
L
M
0
曲面z = f (x,y)
平面 y =y0

第二节 偏导数一、偏导数1、偏增量：设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.当x 从0x 取得改变量),0(≠∆∆x x 而0y y =保持不变时，函数z 得到一个改变量),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆,称z x ∆为函数),(y x f 在点),(00y x 对x 的偏改变量或偏增量. 类似地，定义函数),(y x f 对于y 的偏改变量或偏增量)(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆.对于自变量x 、y 分别从0x 、0y 取得改变量y x ∆∆,，函数的相应的改变量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆称为函数),(y x f 的全改变量或全增量.2、偏导数的概念定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义.如果当0→∆x 时，极限xy x f y x x f x z x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(lim lim000000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记作x y x f y x f x ∂∂'),(,),(0000 或 00y y x x xz==∂∂，0y y x x xz =='同样，如果极限 yy x f y y x f yz y y y ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(limlim00000存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记作y y x f y x f y ∂∂'),(,),(0000 或 0y y x x yz==∂∂，00y y x x yz =='如果函数),(y x f z =在平面区域D 内每一点),(y x 处对x （或y ）的偏导数都存在，则函数),(y x f z =在D 内有对x （或y ）的偏导函数，简称偏导数.记作),(y x f x '，x y x f ∂∂),(，xz∂∂，x z '， ),(y x f y '，y y x f ∂∂),(，yz∂∂，y z '. （3）偏导数的求法例1 求 )2sin(2y x z =的偏导数．解:)2sin(2y x x z =∂∂, )2cos(22y x yz=∂∂ 例2 求函数2236y xy x z ++=的偏导数),(y x f x '与),(y x f y '，并求)2,1(x f '，)2,1(y f '.解：把y 看常数，得),(y x f x '=y x 62+. 把x 看成常数，得),(y x f y '=y x 66+. 于是)2,1(x f '=2×1+6×2=14，)2,1(y f '=6×1+6×2=18.例3 设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂. 证明: 因1-=∂∂y yx x z , x x yz y ln =∂∂, 所以x x xyx y x y z x x z y x y y ln ln 1ln 11+=∂∂+∂∂- y y x x +=z 2= 二、二元函数偏导数的几何意义及与函数连续的关系1、偏导数的几何意义偏导数),(00y x f x 就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.偏导数),(00y x f y 就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.2、偏导数与函数连续的关系一元函数中在某点可导 ====>连续，但是, 多元函数中在某点偏导数存在 ==≠=>连续. 见教材例4三、高阶偏导数一般地，函数),(y x f z =的偏导数 ),(y x f x ', ),(y x f y ', 还是y x ,的二元函数.如果这两个函数对自变量x 和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为函数),(y x f 的二阶偏导数.记作:⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆x z x y x f x z xx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆x z y y x f y x z xy ),(2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∆y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂∆y z x y x f x y zyx ),(2或分别简写为 xx z ''， xy z ''， yy z ''， yx z ''. 仿此可以定义二元函数更高阶的偏导数.例如：x y x zy x z x y x zx z y x zx z x ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂3223223322,, 等. 例4求3233y x y x z -=的二阶偏导数.解： 22232232183,66,63xy x yx zy xy x z xy y x xz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 222222223183,18,9xy x xy zy x y z y x x yz-=∂∂∂-=∂∂-=∂∂ 例5 设by e u ax cos =，于是,cos by ae x u ax =∂∂ ;sin by be yu ax -=∂∂ ,cos 222by e a x u ax =∂∂ ,cos 222by e b yu ax-=∂∂,sin 2by abe y x u ax-=∂∂∂ .sin 2by abe xy u ax -=∂∂∂ 定理:如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数),(y x f xy ，),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内必有=),(y x f xy ),(y x f yx .例9 证明函数r u 1=,222z y x r ++=,满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂证明: 32211r x r x r x r r x u -=-=∂∂-=∂∂, 52343223131rx r x r r r x u +-=∂∂+-=∂∂； 同理 5232231ry r y u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂.∴ 033)(333352223222222=+-=+++-=∂∂+∂∂+∂∂r r r z y x r z u y u x u 四、偏导数在经济分析中的应用-交叉弹性。