二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a-=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2b x a =-时，244ac b y a-=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1．求抛物线2142y x x =-+-的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】解法1（配方法）：2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =-+-=---=--+-- 211(1)422x =--+-217(1)22x =---．∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法2（公式法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-，∴ 11122()2b x a=-=-=⨯-，2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯-⨯-- ⎪-⎝⎭==-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．解法3（代入法）：∵ 12a =-，1b =，4c =-， ∴ 111222b x a=-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．将1x =代入解析式中得，21711422y =-⨯+-=-． ∴ 顶点坐标为71,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称轴为直线1x =．【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题1】 【变式】把一般式2286y x x =-+-化为顶点式．（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.2．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限． 故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的取值范围．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值3．求二次函数211322y x x =++的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵ 2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++-+ 21(3)42x =+-，∴ 当x ＝-3时，4y =-最小．解法2(公式法)：∵ 102a =>，b ＝3，12c = ∴ 当331222b x a =-=-=-⨯时，22114341922414242ac b y a ⨯⨯---====-⨯最小．解法3(判别式法)：∵ 211322y x x =++，∴ 26(12)0x x y ++-=．∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时2690x x ++=，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择．举一反三：【高清课程名称：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题2】【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】(30)S L L =-2(30)L L =-- 2(15)225L =--+（0<L <30）．15L ∴=（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用4．已知二次函数21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)． （1）求证：24c b =--； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】（1）∵ 21y x bx c =+++的图象过点P(2，1)，∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）22(24)2(2)2(1)2bc b b b b b =--=-+=-++．∴ 当1b =-时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可．（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解．举一反三：【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个 【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B ．。
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数与之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点诠释：加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 二、二次函数的图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴．2(0)y ax bx c a =++≠=−+≠2()(0)y a x h k a 2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++−+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a −⎛⎫=++⎪⎝⎭2()y a x h k =−+2b h a =−244ac b k a−=2y ax bx c =++2b x a =−24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠(2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，三、二次函数的图象与性质 1.二次函数图象与性质向上 向下直线 直线 2y ax bx c =++2(0)y ax bx c a =++≠20()y ax bx c a =++≠2b x a=−b x =−2.二次函数图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系四、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点诠释：减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，；当x ＝x 1时，，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当值的情况．20()y ax bx c a =++≠2(0)y ax bx c a =++≠2bx a=−244ac b y a−=最值222y ax bx c =++最大值211y ax bx c =++最小值【考点剖析】题型一、二次函数的图象与性质例1．求抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案与解析】 解法1（配方法）：．∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法2（公式法）：∵ ，，，∴ 11122()2b x a=−=−=⨯−，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 解法3（代入法）：∵ ，，， ∴ ． 将代入解析式中得，． ∴ 顶点坐标为，对称轴为直线． 【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化成顶点式；（2）用顶点公式直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入2(0)y ax bx c a =++≠2142y x x =−+−2221114(2)4(211)4222y x x x x x x =−+−=−−−=−−+−−211(1)422x =−−+−217(1)22x =−−−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−2214(4)147214242ac b a ⎛⎫⨯−⨯−− ⎪−⎝⎭==−⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =12a =−1b =4c =−111222bx a=−=−=⎛⎫⨯− ⎪⎝⎭1x =21711422y =−⨯+−=−71,2⎛⎫−⎪⎝⎭1x =24,24b ac b aa ⎛⎫−− ⎪⎝⎭解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【变式1】把一般式化为顶点式． （1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；（2）分别求出它与y 轴的交点C ，与x 轴的交点A 、B 的坐标. 【答案】（1）向下；x=2；D (2，2). （2）C （0，-6）；A （1,0）；B （3,0）.例2．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】由y=ax 2+bx +c 的图象判断出a ＞0，b ＞0，于是得到一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，四象限，即可得到结论． 【答案】A ．【解析】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限．2286y x x =−+−故选A ．【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可 以判断a 、b 的取值范围．【变式1】 抛物线与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？ (4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线与y 轴交于(0，3)可得m ＝3． ∴ 抛物线解析式为，如图所示．(2)由得，． ∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ ， ∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁． (1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，2(1)y x m x m =−+−+2(1)y x m x m =−+−+223y x x =−++2230x x −++=11x =−23x =2223(1)4y x x x =−++=−−+【变式2】某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．题型二、二次函数的最值例3．求二次函数的最小值. 【答案与解析】解法1(配方法)：∵，∴ 当x ＝-3时，． 解法2(公式法)：∵ ，b ＝3， ∴ 当时，．解法3(判别式法)：∵ ，∴ ．2(0)y ax bx c a =++≠211322y x x =++2221111(6)(639)2222y x x x x =++=++−+21(3)42x =+−4y =−最小102a =>12c =331222b x a =−=−=−⨯22114341922414242ac b y a ⨯⨯−−−====−⨯最小211322y x x =++26(12)0x x y ++−=∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y ≥-4． ∴ y 有最小值-4，此时，即x ＝-3．【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度 灵活去选择．【变式1】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形场地的面积S 最大？ 【答案】（0<L <30）．（m ）时，场地的面积S 最大，为225m 2．【变式2】分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ ， ∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． (2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x ≤3)的图象是 抛物线的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，；当x ＝2时，．2690x x ++=(30)S L L =−2(30)L L =−−2(15)225L =−−+15L ∴=223y x x =−−2223(1)4y x x x =−−=−−4y =−最小值223y x x =−−223y x x =−−232330y =−⨯−=最大值222233y =−⨯−=−最小值【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取 值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x ≤3为图中实线 部分，易看出x ＝3时，；x ＝2时，．题型三、二次函数性质的综合应用例4．已知二次函数的图象过点P(2，1)． （1）求证：； （2）求bc 的最大值． 【答案与解析】（1）∵ 的图象过点P(2，1)， ∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．（2）． ∴ 当时，bc 有最大值．最大值为2．【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b 、c 的关系即可． （2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc ，利用函数性质求解． 【变式1】如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）223y x x =−−0y =最大值3y =−最小值2(0)y ax bx c a =++≠21y x bx c =+++24c b =−−21y x bx c =+++22(24)2(2(1)2bc b b b b b =−−=−+=−++1b =−A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．【变式2】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．【答案】D．【解析】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，，∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确 ⑤∵a ＞0，∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；故⑤正确； 故选：D ．【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【变式3】一条抛物线经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线的距离； (3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则 解得∴ 所求抛物线的解析式为． 列表：描点、连线，如图所示：2y ax bx c =++x 2y =4x =420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1,42,3.a b c ⎧=−⎪⎪=⎨⎪=−⎪⎩21234y x x =−+−（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10， 观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点． (2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得．【过关检测】一、单选题1．（2021春·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为（ ） A ．2(1)3y x =−+ B ．2=(3)1y x −− C ．2(1)1y x =−− D ．2(1)1y x =+−【答案】C【分析】根据抛物线平移的法则：左加右减，上加下减即可得到答案．【详解】解：将抛物线22()1y x =−+向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为22211211()()y x x =−++−=−−，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减进行平移，是解题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知二次函数()2y a x m =+与一次函数y ax m =+，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二次函数和一次函数图象的性质“二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．”逐项判断即可． 【详解】解：A 、由抛物线可知0a >，0m >，由直线知0a >，0m >，∴A 正确； B 、由抛物线可知0a >，0m <，由直线知0a >，0m >，∴B 错误； C 、由抛物线可知a<0，0m >，由直线知a<0，0m <，∴C 错误； D 、由抛物线可知a<0，0m <，由直线知a<0，0m >，∴D 错误； 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．【答案】A【分析】根据抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴，得到00a c ><，，根据抛物线对称轴为直线1x =，得到20b a =−<，由此即可判断A ；根据当1x =时，0y <，即可判断B ；根据当=1x −时，0y =，即可判断C 、D ．【详解】解：∵抛物线开口向上，与y 轴交与y 轴负半轴， ∴00a c ><，，∵抛物线对称轴为直线1x =，∴12b a −=， ∴20b a =−<，∴0abc >，故A 结论正确，符合题意； ∵当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故B 结论错误，不符合题意； ∵当=1x −时，0y =， ∴0a b c −+=，∴02bb c −−+=，b a c =+∴32b c =，故C 、D 结论错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．【答案】D【分析】根据已知条件可得出20ax kx a −−=，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．【详解】解：抛物线()20y ax a a =−≠与直线y kx =交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2kx ax a =−∴， 20ax kx a −−=∴．12kx x a ∴+=，<0k a ∴．当>0a ，0<k 时，直线y ax k =+经过第一、三、四象限，当0<a ，>0k 时，直线y ax k =+经过第一、二、四象限， 综上所述，y ax k =+一定经过一、四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．5．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =．有下列结论：①0abc <；②80a c +<；③若抛物线经过点(2,)t −，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据已知条件得出a<0，2b a =−0>，根据抛物线经过点(1,0)−，得出230c b a a a a =−=−−=−>，即可判断①，根据3c a =−代入②即可判断；根据对称性可得抛物线也经过点()4,t ，即可判断③【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a <）经过点(1,0)−，其对称轴为直线1x =． ∴a<0，12b x a =−=，0a b c −+=则2b a =−0>，∴230c b a a a a =−=−−=−> ∴<0abc ，故①正确；∵88350a c a a a +=−=<，故②正确， ∵抛物线经过点(2,)t −，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()4,t ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y t =的交点坐标为(2,)t −和()4,t ， ∴一元二次方程20(0)ax bx c t a ++−=≠的两根分别为2−，4，故③正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．6．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =−；②点()0,3在抛物线上；③若122x x >>−，则12y y >；④若12y y =，则122x x +=−其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据对称轴公式4222b ax a a =−=−=−可判断①；当0x =时，3y =，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到1222+=−x x ，可以判断④．【详解】解：∵抛物线243y ax ax =++（a 是常数，)0a ≠， ∴4222b ax a a =−=−=−，故①正确； 当0x =时，3y =， ∴点()0,3在抛物线上，故②正确； 当0a >时，12y y >， 当0a <时，12y y <，故③错误；根据对称点的坐标得到1222+=−x x ，124x x +=−，故④错误． 故选B ．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<，，可以得到0a >，1022b a <−<，从而可以得到b 的正负情况，从而可以判断①；继而可得出b a −<，则0a b +>，即可判断②；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+=，所以有a c b +=，从而可得出0a c <<−，即可判断③；利用12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，再根据1022b a <−<，所以252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可得12y y <，即可判断④． 【详解】解 ：∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上， ∴0a >，∵抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m −、，且12m <<， ∴1022b a <−<，∴0b <，故①正确； ∵1022b a <−<，0a >，∴b a −<∴0a b +>，故②正确；由图象可知，当1x =−时，0y =，即0a b c −+<， ∴a c b += ∵0a >，0b <， ∴0a c <<−，故③正确；∵12512332⎛⎫−−=− ⎪⎝⎭，又∵1022b a <−<，∴252332b b a a ⎛⎫⎛⎫−−−<−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵抛物线2y ax bx c =++的图象开口向上，∴12y y <，故④错误． ∴正确的有①②③共3个， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握根据二次函数图象性质是解题的关键．A ．1个B ．2个【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点，即可判断a b c 、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过()10−，，得到45b a c a =−=−，，代入进行求解即可判断②④，根据当2x =时二次函数取得最大值，即可判断③．【详解】解：抛物线的开口向下，<0a ∴，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，>0b ∴，抛物线交y 轴正半轴，0c ∴>，<0abc ∴，故①错误，抛物线的对称轴为直线22b x a =−=，4b a ∴=−，图像过点()10−，，0a b c ∴−+=，5c a ∴=−，()42452470a cb a a a a ∴+−=−−⨯−=<，42a c b ∴+<，故②错误，当2x =时，函数由最大值42a b c ++， 242a b c am bm c ∴++≥++，∴()42a b m am b +≥+（m 为常数），故③错误，()()323425121020b c a a a a a −=⨯−−⨯−=−+=−>，320b c ∴−>，故④正确，综上所述，正确的个数为1， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．9．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，则抛物线()22y b x ax =−−的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】求出求出交点A 、B 的坐标，根据已知图象确定，a 与A 点的横坐标的正负，进而推断新抛物线2(2)y b x ax =−−的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．【详解】解：由22ax bx c x c ++=+，得(2)0x ax b +−=，解得，0x =或2b x a −=，抛物线2y ax bx c =++和直线2y x c =+分别交于A 点和B 点，(0,)B c ∴，A 的横坐标为：2ba −，抛物线2y ax bx c =++的开口向上，交点A 在第三象限内，0a ∴>，20ba −<，抛物线2(2)y b x ax =−−中，0a −<，对称轴202bx a −=<，∴此抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左边，符合此条件的图象是C ， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定a 和A 点横坐标的取值．A ． ． ． ．【答案】A【分析】根据函数图像的开口大小与y 轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，由图像知，10a >，10b <，10c <，20a <，20b >，20c >，21c c >，∴120c c +>，∵函数1y 的图像开口大于函数2y 的图像开口，∴12a a <，∴120a a +<， ∵121222b ba a −>−>， ∴221101b a b a >>>−，∴21b b <−，∴120b b +<，∴()121202b b a a +−>+，∵()()()212121212y y y a a x b b x c c =+=+++++，∴函数12y y y =+的图像是抛物线，开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， A ．图像开口向下，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，故此选项符合题意； B ．图像开口向上，故此选项不符合题意；C ．图像对称轴在y 轴的左侧，故此选项不符合题意；D ．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数()20y ax bx c a =++≠的a越大，图像开口越小．二、填空题11．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =−++>，若点(,3)P m 在该函数的图象上，且0m ≠，则m 的值为________． 【答案】2【分析】将点(,3)P m 代入函数解析式求解即可．【详解】解：点(,3)P m 在223y ax ax =−++上，∴2323am am =−++，(2)0am m −−=，解得：2,0m m ==(舍去) 故答案为：2．【点睛】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．12．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向_______平移_______个单位，再沿y 轴向_______平移_______个单位得到． 【答案】 右 3 下 1【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：函数()=−−2y 2x 31的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向右平移3个单位，再沿y 轴向下平移1个单位得到，故答案为：右，3，下，1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．13．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点()111,P y ，()223,P y 和()334,Py 在抛物线26y x x c =−++的图象上，那1y ，2y ，3y 之间的大小关系是______ ． 【答案】231y y y >>/132y y y <<【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线26y x x c =−++的开口向下，对称轴是直线632x =−=−，∴当3x >时，y 随x 的增大而减小，()111,P y 关于称轴是直线3x =的对称点是()15,y ， 345<<，231y y y ∴>>．故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．【答案】②③④【分析】由图，0a >，0c <，02ba −>，得0b <，推知0a bc −<；由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，化简得241b ac −=；将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=，由对称轴得22b ac a =+，解得14a =；将14a =代入241b ac −=得21c b =−． 【详解】解：由图，0a >，0c <，02b a −>，∴0b <∴0a b −>，0a bc −<，故①错误；(0,)C c ，由2OB OC =知(2,0)B c −，代入2y ax bx c =++，得20(2)(2)a c b c c =-+-+，2420ac bc c −+=，化简得，241b ac −=，故②正确； 将()2,0A −代入2y ax bx c =++得，420a b c −+=， 对称轴1(22)22b x c a =-=--，得22b ac a =+，代入上式得，42(22)0a c ac a +-+=，解得14a =，故③正确；将14a =代入241b ac −=得21c b =−，故④正确；综上分析可知，正确的是②③④. 故答案为：②③④.【点睛】本题考查二次函数图象性质，运用数形结合思想，理解图象与方程的联系是解题的关键．【答案】210 【分析】先求出()02C ，，()24D ，，如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，然后证明当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，利用勾股定理求出DE 的长即可得到答案．【详解】解：在21222y x x =−++中，当0x =时，2y =，∴()02C ，；∵抛物线解析式为()2211222422y x x x =−++=−−+，∴()24D ，；如图所示，作点C 关于x 轴的对称点E ，连接EP DE 、，则()02E −，，∴PE CP =，∴CP DP PE DP +=+，∴当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE ，∴CP DP +的最小值==故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D 、P 、E 三点共线时P E D P +最小，即CP DP +最小，最小值为DE 是解题的关键．16．（2021春·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）关于二次函数223y x ax =−−在22x −≤≤的取值范围内，函数y 的最小值（用含a 的式子表示），下列结论：①当2a <−时，函数y 的最小值14a +；②当2a >时，函数y 的最小值是14a −；③22a −≤≤时，函数y 的最小值是23a −−；④当22a −≤≤，函数y 的最小值23a −+．其中正确的有___（填序号即可）． 【答案】①②③【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据22x −≤≤，即可得到相应的最值，从而可以解答本题．【详解】解：二次函数223y x ax =−−， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线221ax a −=−=⨯，①当2a <−时，2x =−时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =+−=+，故①正确； ②当2a >时，2x =时，函数有最小值，函数y 的最小值是44314y a a =−−=−，故②正确；③当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故③正确；④当22a −≤≤时，x a =时，函数有最小值，函数y 的最小值是222233y a a a =−−=−−；故④错误；故答案为：①②③．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，求出相应的最值．【答案】()2212y x =+−或()2212y x =−+−【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出1h =−，2k =−，2a =±，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：()2y a x h k=−+，∵这条抛物线与抛物线()21122y x =−+−的顶点坐标相同，∴1h =−，2k =−，又∵这条抛物线与抛物线223y x =+形状相同，∴2=a ，即2a =±，∴这条抛物线的解析式为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−，故答案为：()2212y x =+−或()2212y x =−+−．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键．【答案】178(,)55和33(,)55− 【分析】先根据题意画出图形，先求出D 点坐标，当E 点在线段BC 上时:DEB ∠是△DCE 的外角，2DEB DCB ∠=∠，而DEB DCE CDE ∠=∠+∠，所以此时DCE CDE ∠=∠，有CE DE =，可求出BC 所在直线的解析式5y x =−+，设E 点(,5)−+a a 坐标，再根据两点距离公式，CE DE =，得到关于a 的方程，求解a 的值，即可求出E 点坐标；当E 点在线段CB 的延长线上时，根据题中条件，可以证明222BC BD DC +=，得到DBC ∠为直角三角形，延长EB 至E '，取BE BE '=，此时，2DE E DEE DCB ''∠=∠=∠，从而证明E '是要找的点，应为OC OB =，OCB 为等腰直角三角形， 点E 和E '关于B 点对称，可以根据E 点坐标求出E '点坐标．【详解】解：在265y x x =−+中，当0x =时，5y =，则有()05C ，，令0y =，则有2650x x −+=，解得：121,6x x ==， ∴()()1050A B ，，，，根据D 点坐标，有226253m =−⨯+=−所以D 点坐标()23−，设BC 所在直线解析式为y kx b =+，其过点()0,5C 、()5,0B有550b k b =⎧⎨+=⎩， 解得15k b =−⎧⎨=⎩∴BC 所在直线的解析式为：5y x =−+ 当E 点在线段BC 上时，设(,5)E a a −+ DEB DCE CDE ∠=∠+∠而2DEB DCB ∠=∠ ∴DCE CDE ∠=∠∴CE DE =因为：(,5)E a a −+，(0,5)C ，(2,3)D −=解得：175a =，855a −+=所以E 点的坐标为:178(,)55 当E 在CB 的延长线上时，在BDC 中，222(52)318BD =−+=，2225550BC =+=,222(53)268DC =++= ∴222BD BC DC +=∴BD BC ⊥如图延长EB 至E '，取BE BE '=，则有DEE '为等腰三角形，DE DE ='， ∴DEE DE E ''∠=∠ 又∵2DEB DCB ∠=∠ ∴2DE E DCB '∠=∠ 则E '为符合题意的点， ∵5OC OB == ∴45OBC ∠=E '的横坐标：17335(5)55+−=，纵坐标为85−；综上E 点的坐标为：178(,)55或338(,)55−，故答案为：17855⎛⎫ ⎪⎝⎭，或33855⎛⎫− ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，熟练掌握一次函数根二次函数的图象和性质，分情况找到E 点的位置，是求解此题的关键．三、解答题19．（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点()()()10401M N P −−，、，、，12三点，求这个二次函数的解析式．【答案】2268y x x =−−【分析】根据题意设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+−，然后将()1P −，12代入求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点()()1040M N −，、，，∴设二次函数解析式为：(1)(4)y a x x =+−， 把()1P −，12代入，可得()1223a −=⨯⨯−，解得：2a =．∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =−−． 【点睛】掌握待定系数法求二次函数解析式是解答本题的关键．20．（2023·上海·九年级假期作业）已知一个二次函数23y x bx =−++的图象经过点()14A ，． (1)求b 的值；(2)求抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1)2b =(2)2=23y x x −−【分析】（1）把()14A ，代入二次函数解析式即可求出b 的值；（2）根据轴对称的性质可得抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，然后可得答案．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点()14A ，，∴把点()14A ，代入得2413b =−++，解得：2b =；（2）解：由（1）可知二次函数解析式为223y x x =−++，∵抛物线223y x x =−++关于x 轴对称的图象横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴所得抛物线解析式为223y x x −=−++，即2=23y x x −−．【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与几何变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．(1)若1a =−，画出该抛物线图象，并结合图象写出(2)(),Pm t 为抛物线上的一点，若P 【答案】(1)画图见解析，1x ≤− (2)2m =±【分析】（1）利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； （2）首先求出(),P m t '−−，然后将(),P m t 和(),P m t '−−代入()2240y ax ax a a =+−≠求解即可．【详解】（1）将1a =−代入()2240y ax ax a a =+−≠得，224y x x =−−+， ∴列表如下：∴如图所示，将以上5点在坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接．∴由图象可得，当y 随x 的增大而增大时，1x ≤−； （2）∵(),P m t ，点P 关于原点的对称点为P '，∴(),P m t '−−，∵(),P m t 和(),P m t '−−都在抛物线上，∴222424am am a t am am a t ⎧+−=⎨−−=−⎩①②，∴+①②得，2280am a −=，∴解得2m =±．【点睛】本题主要考查了五点作图法，二次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)在直线1x =上找一点P ，使PA PC +的和最小，并求出点P 的坐标；(3)将线段AC 沿x 轴向右平移a 个单位长度，若线段AC 与抛物线有唯一交点，请直接写出a 的取值范围．【答案】(1)抛物线的表达式为2142y x x =−++，抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()1,3(3)26a ≤≤【分析】（1）根据对称轴得出1b =，再将点代入确定解析式，即可确定顶点坐标；（2）连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求，连接AP ，利用两点之间线段最短得出PA PC +的和最小，由待定系数法确定直线BC 的表达式为4y x =−+，即可确定点P 的坐标；（3）根据题意得：点C 的运动轨迹为射线CD ，点A 的运动轨迹为射线AB ，若线段AC 与抛物线有唯一交点，则线段AC 在线段,m n 间平移（含线段,m n ），由抛物线的对称性得212CD =⨯=，()2216AB =⨯+=，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴1122b⎛−⎫ ⎝⨯⎪⎭=−，解得1b =． ∴212y x x c=−++． 把点()2,0A −代入，得()212202c −⨯−−+=，解得4c =．∴抛物线的表达式为2142y x x =−++．把1x =代入2142y x x =−++，得191422y =−++=， ∴抛物线的顶点坐标为91,2⎛⎫⎪⎝⎭．（2）如图1，连接BC ，交直线1x =于点P ，点P 即为所求．。
二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y ax a =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）. 【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ； 若c=0，则y=ax 2+bx ； 若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a ≠0）；②（a ≠0）；③（a ≠0）；④（a ≠0），其中；⑤（a ≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线。
