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2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研数学

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2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试 数学参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5答案 2 3 1 10 {}11x x -<<题号 6 7 8 9 10 答案 15 0.7 6 –2 ④题号 111213 14答案{}01a a <≤()0,e8()(),11,-∞-+∞15.解（1）：因为点B 在以P A 为直径的圆周上，所以90ABP ∠= ，所以34cos ,sin 55P B P Aαα===.所以4tan 3α=，………………………………………2分372cos cos()101527PB C PB PCαβ∠=-===，2sin()10αβ-=，所以1tan()7αβ-=，………………………………………………………………4分tan tan()tan tan[()]11tan tan()ααββααβααβ--=--==+-，…………………………6分又(0,)2πβ∈，所以4πβ=.………………………………………………………8分（2）2()AC PC PC PA PC PC PA PC ⋅=-⋅=-⋅…………………………11分2152152275()577249=-⨯⨯=-……………………………………………14分16. ⑴解:取CE 中点P ，连结FP ,BP ,因为F 为CD 的中点,所以FP //DE ,且FP = 12DE , …2分又AB //DE ,且AB =12DE ,所以AB //FP ,且AB = FP ,所以四边形ABPF 为平行四边形,所以AF //BP . ……………4分 又因为AF ⊂/平面BCE ,BP ⊂平面BCE , 所以AF //平面BCE . …7分 （该逻辑段缺1个条件扣1分）⑵因为△ACD 为正三角形,所以AF ⊥CD . 因为AB ⊥平面ACD ,DE //AB ,所以DE ⊥平面ACD ,又AF ⊂平面ACD ,所以DE ⊥AF . …………………9分 又AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ，所以AF ⊥平面CDE . 又BP //AF ，所以BP ⊥平面CDE . ……………………………12分ABC DEFP又因为BP ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE . ………………………………………14分17． 解：（1）当024n ≤≤且n *∈N 时，()36f n =，当3625≤≤n 且n *∈N 时，2412()363n f n -=⋅所以[]36(1)(2)(3)(24)S f f f f =+++++ …[])36()26()25(f f f ++++=36×24+36×()1212121233131⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=864+792=1656；…………………………2分另一方面，已经离开的游客总人数是： 12(25)(26)(36)T g g g =+++ 12=×5121152⨯+⨯390=；………………………4分所以361216563901266S S T =-=-=（百人）故当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人. ……………6分 （2）当0)()(≥-n g n f 时园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时园内游客人数递减. (i)当241≤≤n 时，园区人数越来越多，人数不是最多的时间；………………………8分 (ii)当3625≤≤n 时，令512036n -≤，得出31≤n ，即当3125≤≤n 时，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………10分(iii)当3632≤≤n 时，24123635120n n -⋅>-，进入园区人数多于离开人数，总人数越来越多；……………………………………………………………………………12分 (Ⅳ)当7237≤≤n 时， 令32165120n n -+=-时，42n =， 即在下午4点整时，园区人数达到最多.此后离开人数越来越多，故园区内人数最多的时间是下午4点整. ……………………14分 答：（1）当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有游客1266百人；（2）在下午4点整时，园区人数达到最多.18.解（1）将方程2222(8)4120 x y ax a y a +---++=化为221612(224)0x y y x y a +-++-++=，令22161202240x y y x y ⎧+-+=⎨-++=⎩得42x y =⎧⎨=⎩或64x y =⎧⎨=⎩，所以圆2C 过定点(4,2)和(6,4)，……………4分将42x y =⎧⎨=⎩代入22106320x y x y +--+=，左边=1644012320+--+==右边，故点(4,2)在圆1C 上，同理可得点(6,4)也在圆1C 上，所以圆1C 、圆2C 相交于两个定点(4,2)和(6,4)；……………6分（2）设00(,)P x y ，则221000010632PT x y x y =+--+，…………………………8分222000022(8)412 PT x y ax a y a =+---++， …………………………………10分12PT PT =即00001063222(8)412x y ax a y a --+=---++，整理得00(2)(5)0x y a ---=（*）………………………………………………12分存在无穷多个圆2C ，满足12PT PT =的充要条件为0022002014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩有解，解此方程组得0020x y =⎧⎨=⎩或006545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，………………………………………………………………………………14分 故存在点P ，使无穷多个圆2C ，满足12PT PT =，点P 的坐标为64(2,0)(,)55或-.………………16分19. 解 ⑴由题意a n = 2 +43n – 1,随着n 的增大而减小,所以{a n }中的最大项为a 1 = 4.…4分 ⑵b n =2 +43n– 1 + p 43n – 1= (2 + p )(3n – 1) + 44 = (2 + p )3n + (2 – p )4，若{b n }为等比数列，则b 2n +1 – b n b n +2= 0(n ∈N * )所以 [(2 + p )3n +1 + ( 2 – p )]2 – [{2 + p )3n + (2 – p )][(2 + p )3n +2 + (2 – p )] = 0(n ∈N *)，化简得(4 – p 2)(2·3n +1 – 3n +2 – 3n ) = 0即– (4 – p 2)·3n ·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p = 2时,b n = 3n ,{b n }是等比数列;当p = – 2时,b n = 1,{b n }也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{b n }为等比数列. ………………………………………………………………10分 ⑶因为4231m ma =+-，4231n na =+-，4231p pa =+-，若存在三项m a ，n a ，p a ，使数列ma ，na ，pa 是等差数列，则2n m pa a a =+，所以42(2)31n +-=4231m +-4231p ++-，……………12分 化简得3(2331)1323np np mp mn m----⨯--=+-⨯（*），因为*,,,N m n p m n p ∈<<，所以1p m p n -≥-+，1p m n m -≥-+，所以13333p mp np n--+-≥=⨯，13333p mn m n m--+-≥=⨯，（*）的左边3(23331)3(31)0np np nn p n---≤⨯-⨯-=--<，右边13323130n mn mn m---≥+⨯-⨯=+>，所以（*）式不可能成立，故数列{a n }中不存在三项m a ，n a ，p a ，使数列m a ，n a ，p a 是等差数列. ……………16分20．解：(1)令x a t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，……………………………………………………2分所以2280,1,2120m mm ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得223m <<，故实数m 的取值范围为区间(22,3).……………………………6分 (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211x a a≤<()2xxg x aa -=+，所以()221'()ln 2ln ln xxxxag x aa a a a a--=-+=……8分ⅰ当2112a>即412a <<时，对(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增，所以 222()[,3)g x a a∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a+与a 有关，不符合 (10)分 ⅱ当2112a≤即42a ≥时，由'()0g x =得1log 22a x =-，且当12l o g 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22，综合a ) b ) ()g x 有最小值为22与a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln xxxxag x aa a a a a--=-+=0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a+与a 有关，不符合 (14)分综上所述，实数a 的取值范围是42a ≥．………………………………………………16分。

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江苏省高三数学(海安高级中学、外国语学校、金陵中学)三校第三次调研(最后一模)

江苏省高三数学(海安高级中学、外国语学校、金陵中学)三校第三次调研(最后一模)

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学2009届高三第三次调研测试数 学 试 题必试部分注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、学号用铅笔涂写在答卷纸上。

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请将答案写在答题卡对应的位置上） 1．已知集合},2{}.|{},2|{=≥=≤=B A a x x B x x A 若集合则实数a = 。

2．命题：“x x ≤∈∀sin ),2,0(π”的否定是 。

3．已知i 是虚数单位，计算：22)12()121(ii i i +---+= 。

4．在△ABC 中，AB=2，D 是AC 的中点，若⋅=⋅则,4= 。

5．某公司招聘员工，面试人数y 拟照公式x x x x x x x y 其中确定,1005.1,10010,102,1001,4⎪⎩⎪⎨⎧>≤<+≤≤=表示拟录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为 人。

6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒△BCD 内的频率稳定在94附近，那么点A 和点C 到直线BD 的距离之比约为 。

7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果为54，则判断框中应填入的条 件是：a< 。

8．已知定义在R 上的函数,3)0(,)2||,0)(sin(2)(=<>+=f x x f 且最小正周期是的ππϕωϕω则ϕ= 。

9．设数列)(log 1log }{*212N n x x x n n n ∈+=+满足，且,}{,101021n n S n x x x x 项和为的前记=+++ 则S 20= 。

10．椭圆131222=+y x 的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴的正半轴上，那么点P 的坐标是 。

11．正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 。

海安中学高考前回归课本训练题数学146882

海安中学高考前回归课本训练题数学146882

江苏省海安中学 2010届高考前回归课本训练题（7）（内部资料）题1.（南通市2010年高三二模） 如图正六边形 ABCDEF 中，P 是uun uuur uum△ CDE 内（包括边界）的动点，设AP AB AF （a 、氏R ）,△贝U a + B 的取值范围是 ▲.解析：產剖!喝坐标靈设AB7则A 丽冋顷申冏陀隔邮）.2吗』（「I 同 则工的兀程：卄百y- 6-0:CD 的芳程：歯盂+ y -邙_。

; 因P 罡虫 6 內但括itl 聽的动畠 则可行域先（i > 0^3 <y^2j3 AP = CL 4^ + .则乔■⑴几忑叭2S O ）.丽-卜1,逅 所以［u 卜疏幼）T E （ I 网irr题2.（无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知向量m =（ 1, 1）与向量n = （ x , 2 2x ）垂直，则X = _ur r解析：由m 与n 垂直得x 2 2x 0 x 2题3.（江苏省无锡市部分学校 2010年4月联考试卷）已知I 是 ABC 的内心，AC 2, BC 3, AB 4, 若 AI xAB yAC ，贝V x y _________________ 。

2答案：-3解析：此题用到平几中的角平分线定理，如不清楚此定理，较难做对。

用+戸2孑=、1益0益2 n&M 住4芦a^2（第 13 题）题4.（泰州市2010届高三联考试题） 等腰直角三角形 ABC 中， A 90 , AB 〔2 , AD 是BC 边 解析：田等膜直弟三角形ABCV, ZA = 90°. 皿近、皿是辺上的高，F 为皿 的口点知止二1,^ = 2,另丽.丽二-扌知（也+上血）•（血+厘屈二-*优简黄） 尸f + + •龙十£捕皿用匸一*・只就、M 关于直线也对称知I AA/l xlxcosl35°4-| ,4¥|xlx DOS 135C = ^AM = — ,所以竺二咒2 12 4 4MB题5.（江苏通州市2010年3月高三素质检测）已知向量a 和向量b 的夹角为30o , |a| 2,|b| 3,则向量ar r r和向量b 的数量积a b = ▲o 3]DB UUT ULL UJU 3DB , CD 1CA 2CB ，则 12上的高,P 为AD 的中点，点M 、N 分别为AB 边和AC 边上的点，且M 、N 关于直线AD 对称，当uuur uurPM PN1 时，AM2 MB▲（江苏通州市2010年3月高三素质检测）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AC = BC = 1 , uur iur ，亠 则AN MP 的取值范围为 ▲AB ,BC 的中点，点P 是厶ABC （包括边界）内任一点. 分别是 题7. （2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查点M , N3 34,4已知两个单位向量 e,e 2的夹角为120o , 若向量 a e 2e 2, b 4e 1，贝V a b= _______ ▲[uuu题8.（盐城市2010年高三第二次调研考试） 已知向量OAuun 0,1 ,OB则实数m =▲.-1题9.（连云港市2010届高三二模试题） 已知A （- 3, 0）, B （0,羽），O 为坐标原点，点 C 在第二象限,且/ AOC = 60° OC = QA + OB ，则实数 入的值是 题10.（江苏省苏南六校 2010年高三年级联合调研考试）在ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD题11. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知向量a (6,2) , b ( 3 , k),若 a // b ,则实数 题12 . （ 2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）uu luir uu uLirAC 3, BD 2 ,则（AB DC ） （AC BD ） ___________ ▲ 题13.（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）若平面向量 则 b= . o （-2, 2 ）或（-2, 0）题14.（江苏省洪泽中学 2010年4月高三年级第三次月考试卷）已知O, A, B 是平面上不共线三点，设 Puuuuuu uur uun uuu为线段AB 垂直平分线上任意一点， 若| OA | 7，|OB| 5，则OP g ；OA OB ）的值为 .12k 等于 ____ ▲.5a,b 满足｛a+第=2，题 平行于y 轴，a=（2,-1）,。

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题

江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题

一、单选题二、多选题1. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．2. 函数（实数为常数，且）的图象大致是（ ）A．B．C．D．3. 设曲线在点处的切线为l ，P 为l 上一点，Q 为圆上一点，则的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 某班从包括名男生和名女生的名候选人中随机选人加入校学生会，则名女生均被选中的概率是（ ）．A．B．C．D．5. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（）A．B．C．D．6. 复数（，是虚数单位）是纯虚数，则m 等于（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．27. 对于下表格中的数据进行回归分析时，下列四个函数模型拟合效果最优的是（ ）12335.9912.01A．B．C．D．8. 某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球（与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为（ ）A．B．C．D．9. 已知三棱锥，过顶点B 的平面分别交棱，于M ，N（均不与棱端点重合）．设，，，江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题江苏省金陵中学、海安中学、南京外国语学校2023届高三三模数学试题三、填空题四、解答题，其中和分别表示和的面积，和分别表示三棱锥和三棱锥的体积．下列关系式一定成立的是（ ）A．B．C．D．10. 关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）A．是函数的一条对称轴B ．是函数的一个对称中心C ．将曲线向左平移个单位可得到曲线D ．函数在的值域为11. 如图，已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为，是圆上异于，的一点，为弦的中点，为线段上异于，的点，以下正确的结论有（）A ．直线平面B．与一定为异面直线C．直线可能平行于平面D ．若，则的最小值为12.已知函数，则下列说法中正确的有（ ）A．是周期函数B ．在上单调递增C ．的值域为D ．在上有无数个零点13. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，若外接圆面积为，则面积的最大值为______．14.中的系数为__________（用数字作答）.15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______.16. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用（单位：万元）和利润（单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：（1）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系（当时，说明与之间具有线性相关关系）；（2）建立关于的线性回归方程（系数精确到），预测当宣传费用为万元时的利润，附参考公式：回归方程中和最小二乘估计公式分别为，，相关系数参考数据：，，，17. 面对新一轮科技和产业革命带来的创新机遇，某企业对现有机床进行更新换代，购进一批新机床．设机床生产的零件的直径为（单位：）．（1）现有旧机床生产的零件10个，其中直径大于的有3个．若从中随机抽取4个，记表示取出的零件中直径大于的零件的个数，求的概率分布及数学期望；（2）若新机床生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于的概率．参考数据：若，则，，，，．18. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.40 3.9并计算得．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．19. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且.（1）求角C的大小；（2）设，，当四边形ABCD的面积最大时，求AD的值.20. 已知．（1）当时求的极值点个数；（2）当时，，求a的取值范围；（3）求证：，其中．21. 已知函数，，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，证明：对任意的，恒成立．。

数学_2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷(一)(含答案)

数学_2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷(一)(含答案)

2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷（一）一、填空题：（共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在答题纸指定的横线上）1. 已知全集U=R，且A={x||x−1|>2}，B={x|x2−6x+8<0}，则(∁U A)∩B等于________．2. 已知幂函数y＝f(x)的图象过点(4, 2)，则f(12)的值为________．3. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），该几何体的表面积和体积为________．4. 若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为________．5. 将函数y=√2sin2x的图象向右平移π6个单位后，其图象的一条对称轴方程为________．6. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面（1）若α⊥γ，β⊥γ，则α // β；（2）若m // α，m // β，则α // β；（3）若m // α，n // α，则m // n；（4）若m⊥α，n⊥α，则m // n．上述命题中正确的为________．7. 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数，则实数m=________．8. 若cos(π2−α)=35，α∈(π2,π)，则tanα=________．9. 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J或Q或K的概率为________．10. 已知等比数列{a n}为递增数列，且a3+a7=3，a2⋅a8=2，则a11a7=________．11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出M，N的值分别为________．12. 定义在R上的函数满足f(0)=0，f(x)+f(1−x)=1，f(x5)=12f(x)，且当0≤x1<x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)，则f(12010)=________．13. 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ={S 1，(n =1)S n −S n−1，(n ≥2)若数列{b n }的前n 项积为T n ，类比上述结果，则b n =________．此时，若T n =n 2(n ∈N)∗，则b n =________． 14. 关于平面向量有下列四个命题： ①若a →⋅b →=a →⋅c →，则b →=c →，；②已知a →=(k, 3)，b →=(−2, 6)．若a → // b →，则k ＝−1．③非零向量a →和b →，满足|a →|＝|b →|＝|a →−b →|，则a →与a →+b →的夹角为30∘．④(a→|a →|+b→|b →| )⋅(a→|a →|−b→|b →| )＝0．其中正确的命题为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin A2=√55，且△ABC 的面积为2．（1）求bc 的值；（2）若b +c =6，求a 的值．16. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠ABC =90∘，AB =BC =BB 1=2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点． (1)求证：MN // 平面BCC 1B 1． (2)求证：MN ⊥平面A 1B 1C ． (3)求三棱锥M −A 1B 1C 的体积．17.设b >0，椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1，抛物线方程为x 2=8(y −b)．如图所示，过点F(0, b +2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点F 1．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．18. 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时间x（小时）的关系为f(x)=|xx2+1+13−a|+2a，x∈[{0, 24}]，其中a与气象有关的参数，且a∈[0,34]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数，并记作M(a)．（1）令t=xx2+1，x∈[0,24]，求t的取值范围；（2）求函数M(a)；（3）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染指数是多少？是否超标？19. 已知f(x)=x3−6ax2+9a2x(a∈R)．（I）求函数f(x)的单调递减区间；（II）当a>0时，若对∀x∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知函数f(x)=2x+1定义在R上．（1）若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数ℎ(x)之和，设ℎ(x)=t，p(t)=g(2x)+2mℎ(x)+m2−m−1(m∈R)，求出p(t)的解析式；（2）若p(t)≥m2−m−1对于x∈[1, 2]恒成立，求m的取值范围；（3）若方程p（p(t)）=0无实根，求m的取值范围．2010年江苏省南通市海安县高考回归课本专项检测数学试卷（一）答案1. (2, 3]2. √223. 24πcm2，12πcm34. ±25. x=5π126. （4）．7. −18. −349. 31310. 211. 89和14412. 13213. {T1，(n=1)T nT n−1，(n≥2),{1,n=1(nn−1)2，(n≥2)14. ②③④15. 解：（1）∵ sin A2=√55，0<A<π∴ cos A2=2√55．∴ sinA=2sin A2cos A2=45．∵ S△ABC=12bcsinA=2，∴ bc=5．（2）∵ sin A2=√55，∴ cosA=1−2sin2A2=35．∵ bc=5，b+c=6，∴ a2=b2+c2−2bccosA=(b+c)2−2bc(1+cosA)=20∴ a=2√5．16. (I)证明：连接BC1，AC1，∵ 在△ABC1中，M，N是AB，A1C的中点∴ MN // BC1．又∵ MN不属于平面BCC1B1，∴ MN // 平面BCC1B1．(II)解：∵ 三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴ 四边形BCC1B1是正方形．∴ BC1⊥B1C．∴ MN⊥B1C．连接A1M，CM，△AMA1≅△BMC．∴ A1M=CM，又N是A1C的中点，∴ MN⊥A1C．∵ B1C与A1C相交于点C，∴ MN⊥平面A1B1C．(III)解：由(II)知MN是三棱锥M−A1B1C的高．在直角△MNC中，MC=√5，A1C=2√3，∴ MN=√2．又S △A 1B 1C =2√2．V M−A 1B 1C =13MN ⋅S △A 1B 1C =43．17. 解：（1）由x 2=8(y −b)得y =18x 2+b ，当y =b +2得x =±4，∴ G 点的坐标为(4, b +2)，y′=14x ，y ′|x=4=1，过点G 的切线方程为y −(b +2)=x −4即y =x +b −2，令y =0得x =2−b ，∴ F 1点的坐标为(2−b, 0)，由椭圆方程得F 1点的坐标为(b, 0)， ∴ 2−b =b 即b =1，即椭圆和抛物线的方程分别为x 22+y 2=1和x 2=8(y −1)；（2）∵ 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ，∴ 以∠PAB 为直角的Rt △ABP 只有一个，同理∴ 以∠PBA 为直角的Rt △ABP 只有一个；若以∠APB 为直角，则点P 在以AB 为直径的圆上，而以AB 为直径的圆与抛物线有两个交点． 所以，以∠APB 为直角的Rt △ABP 有两个；因此抛物线上存在四个点使得△ABP 为直角三角形． 18. 解：（1）∵ t =x x 2+1，x ∈[0,24]，x =0时，t =0.0<x ≤24时，t =1x+1x，x +1x ≥2，∴ 0<t ≤12．∴ t ∈[0,12]．（2）令g(x)=|t +13−a|+2a ，t ∈[0,12]．当a −13<14，即0≤a <712时，[g(x)]max =g(12)=|56−a|+2a =a +56； 当a −13≥14，即712≤a ≤34时，[g(x)]max =g(0)=|13−a|+2a =3a −13．所以M(a)={a +56，0≤a <7123a −13，712≤a ≤34（3）当a ∈[0,712)时，M(a)是增函数，M(a)<M(712)=1712<2；当a ∈[712，34]时，M(a)是增函数，M(a)≤M(34)=2312<2．综上所述，市中心污染指数是2312，没有超标．19. 解：(I)f′(x)=3x 2−12ax +9a 2=3(x −a)(x −3a)<0 （1）当a =3a ，即a =0时，f ′(x)=3x 2>0，不成立． （2）当a >3a ，即a <0时，单调减区间为(3a, a)． （3）当a <3a ，即a >0时，单调减区间为(a, 3a)． (II)f ′(x)=3x 2−12ax +9a 2=3(x −a)(x −3a)，f(x)在(0, a)上递增，在(a, 3a)上递减，在(3a, +∞)上递增． （1）当a ≥3时，函数f(x)在[0, 3]上递增， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(3)≤4a ≥3解得a ∈φ．（2）当1≤a <3时，有a <3≤3a ，此时函数f(x)在[0, a]上递增，在[a, 3]上递减， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(a)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(a)≤41≤a <3解得a =1．（3）当a <1时，有3>3a ，此时函数f(x)在[a, 3a]上递减，在[3a, 3]上递增， 所以函数f(x)在[0, 3]上的最大值是f(a)或者是f(3)． 由f(a)−f(3)=(a −3)2(4a −3)， ①0<a ≤34时，f(a)≤f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(3)≤40<a ≤34解得a ∈[1−2√39，34]．②34<a <1时，f(a)>f(3)，若对∀x ∈[0, 3]有f(x)≤4恒成立，需要有{f(a)≤434<a <1解得a ∈(34，1)．综上所述，a ∈[1−2√39，1]． 20. 解：（1）假设f(x)=g(x)+ℎ(x)①，其中g(x)偶函数，ℎ(x)为奇函数， 则有f(−x)=g(−x)+ℎ(−x)，即f(−x)=g(x)−ℎ(x)②， 由①②解得g(x)=f(x)+f(−x)2，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2．∵ f(x)定义在R 上，∴ g(x)，ℎ(x)都定义在R 上． ∵ g(−x)=f(−x)+f(x)2=g(x)，ℎ(−x)=f(−x)−f(x)2=−ℎ(x)．∴ g(x)是偶函数，ℎ(x)是奇函数，∵ f(x)=2x+1， ∴ g(x)=f(x)+f(−x)2=2x+1+2−x+12=2x +12x ，ℎ(x)=f(x)−f(−x)2=2x+1−2−x+12=2x −12x ．由2x −12x=t ，则t ∈R ，平方得t 2=(2x −12x)2=22x +122x−2，∴ g(2x)=22x +122x=t 2+2，∴ p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1．（2）∵ t =ℎ(x)关于x ∈[1, 2]单调递增，∴ 32≤t ≤154．∴ p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1≥m 2−m −1对于t ∈[32，154]恒成立， ∴ m ≥−t 2+22t对于t ∈[32，154]恒成立， 令φ(t)=−t 2+22t，则φ′(t)=12(2t 2−1)，∵ t ∈[32，154]，∴ φ′(t)=12(2t 2−1)<0，故φ(t)=−t 2+22t在t ∈[32，154]上单调递减，∴ φ(t)max =φ(32)=−1712，∴ m ≥−1712为m 的取值范围．（3）由（1）得p （p(t)）=[p(t)]2+2mp(t)+m 2−m +1，若p （p(t)）=0无实根，即[p(t)]2+2mp(t)+m 2−m +1①无实根， 方程①的判别式△=4m 2−4(m 2−m +1)=4(m −1)． 1∘当方程①的判别式△<0，即m <1时，方程①无实根． 2∘当方程①的判别式△≥0，即m ≥1时，方程①有两个实根p(t)=t 2+2mt +m 2−m +1=−m ±√m −1， 即t 2+2mt +m 2+1±√m −1=0②，只要方程②无实根，故其判别式△2=4m 2−4(m 2+1±√m −1)<0， 即得−1−√m −1<0③，且−1+√m −1<0④，∵ m ≥1，③恒成立，由④解得m <2，∴ ③④同时成立得1≤m <2． 综上，m 的取值范围为m <2．。