函数的的周期性与对称性

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年 级： 辅导科目： 课 时 数：3

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课 题

教学目的

教学内容

函数的对称性和周期性

一、知识回顾：

函数图像的对称性

1、(1) 一个图关于点对称：

(Ⅰ)奇函数关于原点对称

(Ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m，则f(x)关于)2ba，m)对称

(2) 一个图关于直线对称：

(Ⅰ)偶函数关于y轴对称

(Ⅱ) ()()faxfbx，则()fx关于2bax对称

(3) 两个图关于点对称

(Ⅰ)()yfx关于原点对称的函数：x→-x，y→-y，

即-y=f(-x)

(Ⅱ)()yfx关于(,)ab对称的函数：

2,2xaxyby即2(2)byfax

2、函数的周期性

(一) 定义：若()()fxTfx，则()fx为周期函数，T为()fx周期

(二) 周期性考点：

1.求周期：

(1).利用f(x)=f(T + x)列出方程解出T =

(2).把所给函数化为y=Asin(ωx +ф) + C标准形式，直接读出周期2T

2.利用周期性：利用公式f(x)=f(T + x)

(1).求解析式 (2).求函数值

3、若()()faxfbx，则Tba；

4、若()()fxfxa，则2Ta；

二、例题讲解：

对称性：

A 关于直线对称

例1、（2012年徐汇二模）若函数)(xgy图像与函数)1()1(2xxy的图像关于直线xy对称，则(4)g＿； 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： - 2 - 精锐教育· 考试研究院 解：－1

变式：（2012届高三一模闸北区理）若函数)(xf的图像与对数函数xy4log的图像关于直线0yx对称，则)(xf的解析式为 ．

解：xy4；

（2012年虹口二模）．在同一直角坐标系中，函数ygx的图像与xye的图像关于直线yx对称，而函数yfx的图像与ygx的图像关于y轴对称，若1fa，则a的值是（ ）

A．e； B．1e； C．1e； D．e．

解：B；

（2011年浦东二模试卷）函数2()fxaxbxc的图像关于任意直线l对称后的图像依然为某函数图像，则实数a、b、c应满足的充要条件为 ．

解：20,40abac；

B 关于点对称

例2、（2011年嘉定一模）设1a，函数)(xf的图像与函数2|2|24xxaay的图像关于点)2,1(A对称．

（1）求函数)(xf的解析式；

（2）若关于x的方程mxf)(有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；

（3）设函数)()(xfxg，),2[x，)(xg满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围．

23．解：（1）设点),(yxP是函数)(xf图像上任意一点，P关于点A对称的点为),(yxP，则12xx，22yy，于是xx2，yy4，…………（2分）

因为),(yxP在函数)(xg的图像上，所以2|2|24xxaay，……（3分）

即xxaay244||，xxaay2||，所以xxaaxf2)(||（或xxaaxf2)(||）．………………（5分）

（2）令tax，因为1a，0x，所以1t，所以方程mxf)(可化为mtt2，

即关于t的方程022mtt有大于1的相异两实数解．…………（8分） 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： - 3 - 精锐教育· 考试研究院 作2)(2mttth，则08120)1(2mmh，…………（11分）

解得322m．所以m的取值范围是)3,22(．…………（12分）

（3）xxaaxg2)(||，),2[x．

当0x时，因为1a，所以1xa，),3[3)(xaxg，所以函数)(xg不存在最大值．…………（13分）

当02x时，xxaaxg12)(，令xt2，则ttthxg12)()(，1,12at，

当2212a，即421a时，)(th在1,12a上是增函数，存在最小值222aa，与a有关，不符合题意．…………（15分）

当22102a，即42a时，)(th在22,12a上是减函数，在1,22上是增函数，当22t即2log21ax时，)(th取最小值22，与a无关．…………（17分）

综上所述，a的取值范围是),2[4．…………（18分）

C 求值或解析式

例3、已知函数)(xf对一切实数x满足条件)3()1(xfxf，已知2x时，xxxf2)(，

（1）求2x时)(xf的解析式（2）求)(xf值域和单调区间（3）解不等式)12()2(afaf

解：（1）211()(),(2)24fxxx而)(xf关于x=2对称，所以当2x时，271()(),24fxx

（2）()2,fx， 2,,;,2,xx

（3）根据绝对值的意义（a+2)到2的绝对值大于(2a-1)到2的绝对值，所以有22212aa，

解得：13a

小结：易错点：

变式：

1、设函数)(xf是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x＝2对称，已知2,2x时，1)(2xxf，求2,6x时，)(xf的解析式；

解：2()(4)1fxx 中国领先的个性化教育品牌

精锐教育网站： - 4 - 精锐教育· 考试研究院 小结：易错点：

2、设)(xf是定义在R上的偶函数，其图像关于直线1x对称，对任意]21,0[,21xx都有)()()(2121xfxfxxf．

（1）设2)1(f，求)21(f，)41(f；（2）证明)(xf是周期函数．

解：令12xx，则有211111()()()()0fxxfxfxfx；

令1212xx，则有1111(1)()()()22222ffff所以1()22f（舍负）

同理141()24f

周期性：

例4、已知函数)(xf对一切实数x满足条件)2()(xfxf，且]1,0[x时，xxxf2)(2，则

]3,2[x时，)(xf ；]9,8[x时，)(xf

解：[2,3],2[0,1]xx，所以2(2)(2)2(2)fxxx，而)2()(xfxf，所以2()2fxxx；

]9,8[x时，2()1448fxxx；

小结：易错点：

变式：1、已知函数)(xfy满足：对于任意的Rx有)()1(xfxf成立，且当)2,0[x时，12)(xxf，则)2006()3()2()1(ffffa＿＿＿＿＿＿.

分析：由)()1(xfxf知：)()1(]1)1[()2(xfxfxfxf，所以函数)(xfy是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(ffff，1)1()3()2003()2005(ffff，故意原式值为0. 中国领先的个性化教育品牌

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2

x B A

1 O 2、(2012徐汇、松江二模理)若函数))((Rxxfy满足1,1-),()2(xxfxf且时，21)(xxf，函数lg(1)11()0001xxgxxxx，，，，则函数)()()(xgxfxh在区间6,5-内的零点的个数为 ．

【正确答案】9

3、（1）已知函数)(xf对一切实数x满足条件)3()1(xfxf，若3)1(f，则)1(f ，)5(f____；

解：(1)3f，(5)3f

（2）若函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf 则①)(xf关于 1x 对称；②)(xf的周期为 4 ；③）时，，（若10x)(xf=x2，则)(log1821f 。

解：181831222loglog(12log)(5,4) 18181122(log)(log4)(1,0)ff

又因为)(xf是奇函数，所以918181881122229(log)(log4)(log4)(log)8ffff；

4、（1）已知函数)(xfy对于一切,Rx都有1(2),()fxfx求)(xfy的一个 周期。

（2）设函数)(xfy是最小正周期为2的偶函数，它在区间]1,0[上的图像为如图所示的线段AB，求在区间]2,1[上时()fx的表达式．