第二章 矩阵及其运算习题课

章节 第2章 课题 矩阵及其运算

计划课时数 10 授课班级 04级计算机系专升本10-13班

教学目的 理解矩阵的概念、熟练掌握矩阵的各种运算;理解逆矩阵的概念；熟悉矩阵可逆的充要条件；掌握两种［定义、伴随矩阵］求逆方法；熟悉矩阵的分块运算。

教学重点 矩阵的乘法；方阵的行列式；伴随矩阵; 逆矩阵的概念；求逆方法；分块求逆方法。

教学难点 矩阵乘法不满足交律以及由此的问题；矩阵可逆性的讨论；分块求逆方法

教学方法和手段 讲授 习题课 答疑

备注

教 学 内 容 批注

第二章 矩阵及其运算

矩阵是将一组有序的数据视为“整体量”进行表述和运算，使得问题简洁和易于了解本质。矩阵不仅是解线性方程组的有力工具，而且是线性空间内线性变换的表现形式，因此有关矩阵的理论构成了线性代数的基本内容。

本章介绍矩阵的概念；矩阵的线性运算、矩阵乘法；逆矩阵及矩阵的初等变换；分块矩阵及其运算等内容。

§1 矩阵

1、矩阵的概念

054132yxyx

0541322121xxxx

5432A 054132B

定义 由nm个数).,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表：

称为一个nm矩阵，简记为nmijaA，其中ija表示位于数表中第i行第j列的数，称为矩阵A的),(ji元（或者元素）。常用大写英文黑体字母来表示矩阵，如XCBA,,,,等。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中若无特殊说明，一般是指实矩阵。

两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们为同型矩阵。

如果矩阵nmijaA和nmijbB是同型矩阵，且它们的对应元素相等，即

mnmmnnaaaaaaaaa212222111211教 学 内 容 批注

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间

（1）11{()|0}nijnniiiVAaa，对矩阵加法和数乘运算；

（2）2{|,}nnTVAARAA，对矩阵加法和数乘运算；

（3）33VR；对3R中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0RkRk；

（4）4{()|()0}Vfxfx，通常的函数加法与数乘运算。

2.求线性空间{|}nnTVARAA的维数和一组基。

3.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且12UU，证明：U1=U2。

4.设111213315A，讨论向量(2,3,4)T是否在R(A)中。

5.讨论线性空间P4[x]中向量3211Pxxx，32223Pxxx，323452Pxxx的线性相关性。

6.设mnAR，证明dimR(A)+dimN(A)=n。

7.设113021211152A，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。

8.在22R中，已知两组基

11000E，20100E，30010E，40001E

10111G，21011G，31101G，41110G 求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵0123在基{Gi}下的坐标X。

9.判别下列集合是否构成子空间。

（1）2221{(,,)|1,,,}WxyzxyzxyzR；

（2）22{|,}nnWAAIAR；

（3）3R中，231231230{(,,)|(}0}tWxxxxxxd；

（4）411{()|0}mnijmnijijWAaa。

10.设1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T，112{,}Wspan，212{,}Wspan，求12WW和12WW。

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第一章行列式

1利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102

解381141102

2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

(2)bacacbcba

解bacacbcba

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

(3)222111cbacba

解222111cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

(4)yxyxxyxyyxyx

解

yxyxxyxyyxyx

x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3

3xy(xy)y33x2yx3y3x3

2(x3y3)

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 ……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………

解逆序数为0

(2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3  (2n1) 2 4  (2n)

解 逆序数为2)1(nn

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

3213321232113235322yyyxyyyxyyyx

求从变量x1 x2 x3到变量y1 y2 y3的线性变换

解 由已知

221321323513122yyyxxx

故 3211221323513122xxxyyy321423736947yyy

321332123211423736947xxxyxxxyxxxy

2 已知两个线性变换

32133212311542322yyyxyyyxyyx 323312211323zzyzzyzzy

求从z1 z2 z3到x1 x2 x3的线性变换

解 由已知

221321514232102yyyxxx321310102013514232102zzz 321161109412316zzz

所以有3213321232111610941236zzzxzzzxzzzx

3 设111111111A 150421321B 求3AB2A及ATB

解 1111111112150421321111111111323AAB