2025届高三第一次五校联考数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月15日考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将答题卡上项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}0,1,2,3,4U =，{}0,1,2P =，{}1,3,4Q =，则()U P Q ⋂=ð（）A.{}0 B.{}3 C.{}0,2 D.{}1,3【答案】C 【解析】【分析】根据补集与交集的定义，可得答案.【详解】由题意可得{}0,2U Q =ð，(){}0,2U P Q =⋂ð.故选：C.2.已知向量()0,2=r a ，()2,b x = ，若()2b a b -⊥ ，则x =（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示建立关于x 的方程，解之即可求解.【详解】由(2)b a b -⊥，得(2)0b a b -⋅=，即220b a b -⋅=，又(0,2),(2,)a b x ==，所以222220x x +-⋅=，即2440x x -+=，解得2x =.故选：D3.a=b=b a为有理数；若a=，b=，此时33ba⎛====⎪⎝⎭为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.存在无理数a，b，使得b a为有理数C. D.对任意无理数a，b，都有b a为无理数【答案】B【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断选项.【详解】这段文字中，没有证明是有理数的条件，也没有证明AC错误；这段文字，都说明了结论“存在无理数,a b，使得b a为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，故B正确；这段文字中只提及存在无理数,a b，不涉及对任意无理数,a b都成立的问题，故D错误.故选：B4.由3sin1083sin364sin36=-，可求得cos36 的值为（）A.15- B.14+ C.12- D.13+【答案】B【解析】【分析】由诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出关于cos36 的二次方程，结合cos360> 可得出cos36 的值.【详解】因为()sin108sin18072sin722sin36cos36=-==，又因为3sin1083sin364sin36=-，则3s2isin336co3n664sin336s=-，因为sin360> ，cos360> ，则()2222cos3634sin36341cos364cos361=-=--=-，所以，24cos 362cos3610--=，解得cos36= ，故选：B.5.已知0a >且1a ≠，函数()(),log 1,x a a a x af x x a x a -⎧≤⎪=⎨++>⎪⎩，若存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，则a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()1,2 D.[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】分1a >、01a <<两种情况讨论，结合函数的单调性得到不等式，解得即可.【详解】当1a >时x a y a -=单调递增，()log 1a y x a =++也单调递增，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a ->++，即log 20a a <，不等式无解；当01a <<时x a y a -=单调递减，()log 1a y x a =++也单调递减，要使存在1x ，2R x ∈，使()()12f x f x =，只需()log 1a aa aa a -<++，log 20a a >，所以02101a a <<⎧⎨<<⎩，解得102a <<，即a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A6.已知复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，若复数z 满足1-=-z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 得周长为（）A.2πB.4πC.6πD.8π【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，求出,p q ，进而确定图形M 并求其周长.【详解】由复数11i z =+是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，得1i -是该方程的另一根，则1i 1i 2,(1i)(1i)2p q -=++-==+-=，解得2,2,||4p q p q =-=-=，由1-=-z z p q ，得|(1i)|4z -+=，因此图形M 是以点(1,1)为圆心，4为半径的圆，所以M 得周长为8π.故选：D7.逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在,,A B C 三处测得道路一侧山顶P 的仰角分别为30,4560︒︒ ,，其中,03AB a BC b a b ==<<（），则此山的高度为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据锐角三角函数可得,,3AO BO h CO ===，进而根据余弦定理即可求解.【详解】解：如图，设点P 在地面上的正投影为点O ，则30,45PAO PBO ∠=︒∠=︒，60PCO ∠=︒,设山高PO h =，则,,3AO BO h CO ===，在AOC △中，cos cos ABO CBO ∠=-∠，由余弦定理可得：2222223322h b h a h h ah bh+-+-=-，整理得23()2(3)ab a b h b a +=-，∴h =．故选：D ．8.若()41log 1f x a b x=---是奇函数，则b a =（）A.12B.2C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出a 的值，又由()()0f x f x -+=，求出b 的值，计算可得答案.【详解】根据题意，已知()41log 1f x a b x=---是奇函数，当0a =时，()41log 1f x b x=--一定不是奇函数，故0a ≠，则有101a x-≠-，且0a ≠，变形可得()()1110x a x ---≠⎡⎤⎣⎦，所以()11=0a x --的根为1-，解可得12a =，故()411log 12f x b x =---，又因为()f x 为奇函数，则有()()0f x f x -+=，即441111log log 01212b b x x --+--=+-，即()()44112log log 02121x x b x x -+-++=+-，所以412log 04b -+=，即210b --=，故12b =-.所以1212b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知复数1322z =--，则下列说法正确的是（）A.z的虚部为i 2-B.复平面内1z z+对应的点位于第二象限C.z z z= D.20251z =【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的概念判断A ，由复数的几何意义判断B ，通过复数的运算判断CD ．【详解】z的虚部是2-，A错；1i113132212222222222z z -++=-----，对应的点是(1,0)-在x 轴上，B错；221131(i 2242422z z =--=+-=-+=，所以z z z =，C正确；311(i)(2222z =---+，所以20253675()1zz ==，D 正确．故选：CD ．10.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示（均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型）：记智力曲线为I ，情绪曲线为E ，体力曲线为P ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则（）A.体力曲线P 的最小正周期是三个曲线中最大的B.第462天时，智力曲线I 处于上升期、情绪曲线E 处于下降期C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点D.存在正整数n ，使得第n 天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点【答案】BC 【解析】【分析】观察图象，结合正弦函数周期判断．【详解】由图象，体力P 的最小正周期是三个曲线中最小的，A 错；由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，4623314=⨯相当于[0,2π]的起点，462281614=⨯+，相当于[0,2π]的中间点，B 正确；体力周期是23，只要是33,28,23的公倍数都是它们的公共点横坐标，C 正确；智力曲线处于最高点的天数为11338.25y k =+，情绪曲线处于最高点的天数为22287y k =+，体力曲线处于最高点的天数为3323 5.75y k =+，只有情绪曲线是整数天处于最高点，另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，同样最低点也是如此，因此D 错．故选：BC ．11.已知函数e ()1xf x x =+，1x >-，()(1)e xg x x =-，1x <，且()() 1.01f a f b ==，()()0.99g c g d ==，若a b <，c d <，则（）A.0a b +> B.0b c +< C.0c d +> D.0d a +>【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定条件，可得1()()f xg x =-，利用导数结合函数图象推理判断BD ；构造函数()()()h x g x g x =--，利用导数结合函数图象推理判断AC.【详解】依题意，1()()f xg x =-，由()() 1.01f a f b ==，得11 1.01()()g a g b ==--，则10099()()()()101100g a g b g c g d -=-=>==，显然0a b <<，有0a b ->>-，而()e x g x x '=-，当0x <时，()0,()g x g x >'在(,0)-∞上递增；当01x <<时，()0,()g x g x <'在(0,1)上递减，函数max ()(0)1g x g ==，图象如图所示，0c b a d <-<<-<，得0,0a d b c +>+<，BD 正确；令()()()h x g x g x =--，则)()()(()e e x x h x g x g x x -'''=+-=-，当01x ≤<时，()0,()h x h x <'在[0,1)上递减；当10x -<<时，()0,()h x h x <'在(1,0]-上递减；因此当11x -<<时，()h x 单调递减，当01x ≤<时，()(0)0h x h ≤=，即()(),()()()g x g x g b g a g a <--=-<，又0,0b a -<<，则b a -<，即0a b +>，A 正确；而0,0,()()()d c g c g d g d -<<=<-，则c d <-，即0c d +<，C 错误.故选：ABD【点睛】关键点点睛：由函数解析式的特征得出1()()f xg x =-是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.平面四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，12CD =，14DA =，则AC BD ⋅=______.【答案】58【解析】【分析】由22()CD AD AC =- ，22()CB AB AC =- 两式相减得出AC AD AC AB AC BD ⋅-⋅=⋅．【详解】()AC BD AC AC AD AB AD A AC B ⋅=⋅-=⋅-⋅,又2222()2CD AD AC AD AC AD AC =-=-⋅+ ,2222()2CB AB AC AB AB AC AC =-=-⋅+ ，所以2222222()2CB CD AB AD AC AD AB AC AB AD AC BD -=-+⋅-⋅=-+⋅，所以2222222210141265822CB AD CD AB AC BD +--+--⋅===，故答案为：58．13.设函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>的图象关于直线1x =-和2x =均对称，则()0f 的值可以是______．（写出两个值即可，少写或写错均不得分，如果多写按前两个值计分）【答案】1±（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）【解析】【分析】利用正弦函数的性质可得π,N 3k k ω*=∈，再利用和角的正弦可得(0)cos f ω=，进而求出其所有值即得答案.【详解】函数()sin()f x x ωϕ=+的周期2πT ω=，依题意，π3,N k k ω*⋅=∈，即π,N 3k k ω*=∈，由()f x 的图象关于直线1x =-，得sin()1,cos()0ωϕωϕ-+=±-+=，因此(0)sin sin[()]sin()cos cos()sin cos f ϕωϕωωϕωωϕωω==-++=-++-+=±πcos(N )3k k *=±∈，(0)f 的值是集合111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中元素，可以取1±.故答案为：1±，（答案不唯一，111,,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭中的任意两个）14.定义在0,+∞上的函数()f x 满足()()1f x f x x +=-，当01x <≤时，()f x x =-，若()f x 在区间0,内有恰4个极大值点，则m 的取值范围是______．【答案】193401,64100⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可得当()*1n x n n -<≤∈N时1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，利用导数讨论()f x 的单调性，求出极大值点2114n x n n=-+，结合45x m x <≤即可求解.【详解】(1)()f x f x x +=-,当01x <≤时，()f x x =-，当12x <≤时，()(1)(1)22f x f x x x =---=+，当23x <≤时，()(1)(1)35f x f x x x =---=+，当34x <≤时，()(1)(1)49f x f x x x =---=+，当()*1n x n n -<≤∈N 时，1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，则()f x n '=，令2211()011,()0144f x x n f x x n n n''>⇒-<<-+<⇒>-+，所以()f x 在21(1,1)4n n n --+上单调递增，在21(1,]4n n n -+上单调递减，故()f x 在(1,]n n -内有且仅有一个极大值点2114n x n n =-+，即1234511773193401,,,463664100x x x x x =====.因为()f x 在(0,)m 内有4个极大值点，则19340164100m <≤，即m 的取值范围为193401(,]64100.故答案为：193401(,]64100【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据01x <≤时的()f x x =-，归纳出()*1n x n n -<≤∈N时的1234()(0,2,5,9)n f x nx c c c c c =+====，再利用导数研究()f x 的性质即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在等腰梯形ABCD 中，2226AD DC CB AB ====，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）令AE a = ，AD b = ，用a ，b 表示BF；（2）求线段AM 的长．【答案】（1）122BF b a=-（2）AM =【解析】【分析】（1）由向量的线性运算求解；（2）利用,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，求得1133AM AB AD =+ ，同时证明ADE V 是等边三角形，然后把1133AM AB AD =+ 平方可得．【小问1详解】∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴112222BF AF AB AD AE b a =-=-=- ；【小问2详解】设AM x AB y AD =+ ，∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以22AM xAB y AD xAE y AD xAB y AF =+=+=+，因为,,M E D 三点共线，,,M B F 三点共线，所以2121x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1133AM AB AD =+ ，由已知CD 与BE 平行且相等，因此CDEB 是平行四边形，所以3DE CB AD AE ====，ADE V 是等边三角形，22222111()(2)339AM AM AB AD AB AB AD AD ==+=+⋅+ 221(6263cos 603)79=+⨯⨯︒+=所以AM =．16.已知函数()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x -在5ππ[,64--上的值域．【答案】（1）π()2sin(26f x x =+；（2）[-.【解析】【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出解析式.（2）求出指定区间对应的相位范围，再结合正弦函数性质求出值域.【小问1详解】观察图象知，2A =，(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=，又02πϕ<<，且0在()f x 的递增区间内，则π6ϕ=，π()2sin()6f x x ω=+，由5π5ππ()2sin()012126f ω=+=，得5πππ,N 126k k ω*+=∈，解得122,N 55k k ω*=-∈，又12π5π412ω⋅<且12π5π212ω⋅>，解得61255ω<<，因此1,2k ω==，所以函数()f x 的解析式是π()2sin(26f x x =+.【小问2详解】由（1）知，π()2sin(2)6f x x -=-+，当5ππ[,64x ∈--时，π2π11π2[,]636x -+∈，而正弦函数sin y x =在2π3π[,]32上单调递减，在3π11π[,]26上单调递增，于是π1sin(2)62x -≤-+≤，π22sin(2)6x -≤-+≤，所以()f x -在5ππ[,]64--上的值域为[-.17.已知函数()cos x f x x=，()1g x ax x =-．（1）函数()f x 在π2x =-处与π2x =处的切线分别为1l ，2l ，且直线1l ，2l 之间的距离为d ，求证53d >；（2）若()(){}A x f x g x ==为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析．（2）1(,0)[,)2-∞⋃+∞，【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求得两切线方程，由平行线间距离公式求得距离d ，然后用分析法证明53d >；（2）转化为方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，先讨论0a =和0a <的情形，然后在0a >时引入函数2()1cos h x x ax =--，求出()sin 2h x x ax '=-，再对导函数求导，然后分21a ≥和021a <<两类，结合零点存在定理说明()h x 是否有0以外的零点，从而得出结论．【小问1详解】由已知2sin cos ()x x x f x x --'=，21()g x a x '=--，π2()2πf '-=-，π2(2πf '=-，ππ()()022f f -==，则12l l //，1l 方程为2π()π2y x =-+，即210πx y ++=，2l 方程为2π(π2y x =--，即210πx y +-=，则d =，要证53d >53>，即证6<，即210011π<，也即证211π100>，而2211π113.1103.51100>⨯=>，所以53d >成立．【小问2详解】由题意()()f x g x =无实解，即cos 1x ax x x=-无实数解，即21cos x ax -=除0以外无其它实数解，0a =时，方程为1cos 0x -=有无数解，不合题意，0a <时，1cos 0x -≥，而20ax ≤，且0x ≠时，20ax <，因此方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，0a >时，方程21cos x ax -=化为21cos 0x ax --=，设2()1cos h x x ax =--，则()sin 2h x x ax '=-，记()sin 2p x x ax =-，则()cos 2p x x a '=-，当21a ≥，即12a ≥时，()0p x '≤，()p x 是减函数，即()h x '是减函数，又(0)0h '=，所以0x <时，()0h x '>，()h x 递增，0x >时，()0h x '<，()h x 递减，所以max ()(0)0h x h ==，0x ≠时，()0h x <，所以方程21cos x ax -=除0以外无其它实数解，满足题意，当102a <<时，()cos 20p x x a '=-=有无数解，设锐角α是它的解，则2π,Z x k k α=±∈，0x α<<时，()0p x '>，()p x 递增，又(0)0p =，则0x α<<时，则()0p x >，即()0h x '>，所以()h x 递增，而(0)0h =，所以()0h α>，又2(2π)1cos 2π(2π)0h a =--<，所以()h x 在(,2π)α上有一个零点，即()0h x =有不是0的根，不合题意，综上，a 取值范围是1(,0)[,)2-∞⋃+∞.18.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222sin 4b c B c -+=，且2a =.（1）求sin A ；（2）求tan tan tan A B C的最大值；（3）求实数t 的取值范围，使得对任意实数x 和任意角B ，恒有()()22132sin cos sin cos 32x B B x t B t B +++++>．【答案】（1）255（2）3（3）(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据正、余弦定理可得sin 2cos A A =，结合同角的平方关系计算即可求解；（2）由（1）得tan 2A =，进而tan tan tan()21tan tan B C B C B C++==--，结合基本不等式计算即可求解；（3）由二次函数的最小值可得2min 1()[(32sin cos )(sin cos )]2f x B B t B t B =+-+，进而转化为1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，结合基本不等式与对勾函数的性质计算即可求解.【小问1详解】由题意知，222sin 4b c B c -+=，2a =，则222sin b ac B c a -+=，即222sin b c a ac B +-=，又2222cos b c a bc A +-=，所以sin 2cos ac B bc A =，由0c >，得sin 2cos a B b A =，由正弦定理得sin sin 2sin cos A B B A =，由sin 0B >，得sin 2cos A A =，即1cos sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，所以221sin sin 14A A +=，由sin 0A >，解得sin 5A =.【小问2详解】由（1）知sin 2cos A A =，得tan 2A =，所以tan()tan 2B C A +=-=-，即tan tan 21tan tan B C B C+=--，又,B C 为锐角，所以tan 0,tan 0B C >>，得tan tan 2tan tan 2B C B C +=-≥当且仅当tan tan =B C 时，等号成立.解得3tan tan 2B C ≥，所以tan 3tan tan A B C ≤=-，即tan tan tan A B C的最大值为3【小问3详解】令22()(32sin cos )(sin cos )f x x B B x t B t B =+++++2222[2(32sin cos )2(sin cos )](32sin cos )(sin cos )x B B t B t B x B B t B t B =++++++++，当(32sin cos )(sin cos )2B B t B t B x +++=-时，()()()min32sin cos sin cos 2B B t B t B f x f ⎡⎤+++=-⎢⎥⎣⎦22(32sin cos )(sin cos )(sin cos )(32sin cos )[][]22B B t B t B t B t B B B +-++-+=+2(32sin cos )(sin cos )2[]2B B t B t B +-+=21[(32sin cos )(sin cos )]2B B t B t B =+-+，由211[(32sin cos )(sin cos )]232B B t B t B +-+>，得21(32sin cos sin cos )16B B t B t B +-->，进而1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+>①或1(32sin cos )(sin cos )4B B t B B +-+<-②，因为πππ3π02444B B <<⇒<+<，所以()(πsin cos 4B B B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，由①得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+>，即7(sin cos )4(sin cos )t B B B B <+++，又7(sin cos )4(sin cos )B B B B ++≥+当且仅当7(sin cos )4(sin cos )B B B B =++即sin cos 2B B +=时，等号成立，所以t <；由②得212(sin cos )(sin cos )4B B t B B ++-+<-，即9(sin cos )4(sin cos )t B B B B >+++，由对勾函数的性质知913(sin cos )4(sin cos )4B B B B ++<+，所以134t >.综上，实数t 的取值范围为(13,4∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭.19.已知函数()y f x =定义域为I ，D I ⊆．若存在t D ∈，对任意x D ∈，当x t <时，都有()()f f x t <，则称t 为()y f x =在D 上的“Γ点”．（1）求函数2()e (2)e (0)x x f x a ax a =-+-+≥在定义域上的最大“Γ点”；（2）若函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在1[]0,D =上不存在．．．“Γ点”，求a 的取值范围；（3）设*{1,2,,}()N D n n =⋅⋅⋅∈，且(1)0h =，()(1)1h x h x --≤，证明：()y h x =在D 上的“Γ点”个数不小于()h n ．【答案】（1）0；（2）2e 2log 2a ≤；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再求出其最大值点即可得解.（2）根据给定条件，将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，再利用导数分类探讨求解.（3）根据给定的定义，按“Γ点”个数为0、为1、不小于2分类，并结合累加法思想论证即可.【小问1详解】函数2()e (2)e x x f x a ax =-+-+的定义域为R ，则2()2e (2)e )(2e )(1e x x x x f x a a a '=-+-+=+-，由0a ≥，得2e 0x a +>，令()0f x '>，解得0x <；令()0f x '<，解得0x >，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，即对(,0],(,0]x t ∀∈-∞∃∈-∞，当x t <时，都有()()f f x t <，所以函数()f x 在定义域上的最大“Γ”点为0.【小问2详解】由函数()(2)ln(1)2g x ax x x =++-在0,1上不存在"Γ点"，得()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立，求导得2()ln(1)21ax g x a x x +'=++-+，令2()ln(1)2,[0,1]1ax u x a x x x +=++-∈+，求导得22(1)(2)22()1(1)(1)a a x ax ax a u x x x x +-++-'=+=+++，当0a ≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则20()()(0)ln12001g x u x g a +''=≤=+-=+，因此函数()g x 在[0,1]上单调递减，()(0)g x g ≤，符合要求；当0a >时，令220ax a +-=，则2222a x a a -==-，①当220a-≤，即1a ≥时，()0u x '≥，即()u x 在[0,1]上单调递增，则()()(0)0g x u x g ''=≥=，函数()g x 在[0,1]上单调递增，()(0)g x g ≥，不符合要求；②当221a -≥，即203a <≤时，()0u x '<恒成立，函数()u x 在[0,1]上单调递减，则()()(0)0g x u x g ''=≤=，函数()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，符合要求；③当22(0,1)a -∈，即213a <<时，若2(0,2),()0x u x a '∈-<，若2(2,1),()0x u x a '∈->，函数()u x 在2(0,2)a -上单调递减，在2(2,1)a -上单调递增，而2(0)0,(1)ln 22a u u a -==+，若(1)0u ≤，则()0u x ≤在[0,1]上恒成立，()g x 在[0,1]上单调递减，此时()(0)g x g ≤，若(1)0u >，则存在0(0,1)x ∈，使得0()0u x =，当01x x <≤时，()0u x >，函数()g x 在0[0,]x 上单调递减，在0[,1]x 上单调递增，则要()(0)g x g ≤恒成立，只需(1)(0)g g ≤，解得22ln 2a ≤-，由223e ln 223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2----===<，得221ln 2-<，由334e 2ln 222(34ln 2)2ln e ln 21620ln 233l l (n 23n 23l 2)n ----===>，得222ln 23->，即当222l 23n a ≤-<时，符合要求，所以a 的取值范围是22e 22log ln 22a ≤-=.【小问3详解】若()h x 在D 上的"Γ点"个数为0，则()(1)0h n h ≤=，符合要求；若()h x 在D 上的"Γ点"个数为*s ∈N ，令()h x 在D 上的"Γ点"分别为12,,,s i i i ，其中{}**1212,1,,2,,()s s i i i n s n i i i n n <<<≤≤-∈∈∈N N ，若1s =，则若111i -=，由()(1)1h x h x --≤，则10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，若11k i j -=>，由题意1111(1)(),(1)(),(1)(1)h i h i h h i h i h -<<-≤，于是10((1)1)h i h <-≤，即10(1)h i <≤，又1)()(h n h i ≤，则()1h n ≤，符合要求；若2s ≥，则11121()(1)()0,()()0,,()()0s s h i h h i h i h i h i h i --=>->-> ，由()(1)1h x h x --≤，则0()(1)1k k h i h i <--≤，若11k k i i --=，即11k k i i -=-，则10()()1k k h i h i -<-≤，若11k k i i j --=>，依题意，11(1)(1)(),()()k k k k k h i j h i h i h i h i --+-=-<<，且1()(1)k k h i h i --≤，又0()(1)1k k h i h i <--≤，因此10()()1k k h i h i -<-≤，即21320()()1,0()()1,h i h i h i h i <-≤<-≤ ，10()()1s s h i h i -<-≤，即有213210()()()()()()1s s h i h i h i h i h i h i s -<-+-++-≤- ，即10()()1s h i h i s <-≤-，由10(1)h i <≤，得0()s h i s <≤，又)()(s h n h i ≤，因此()h n s ≤，即()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n ，所以()h x 在D 上的"Γ点"个数不小于()h n .【点睛】关键点点睛：本题第2问，根据题意将问题等价转化为()(0)g x g ≤在[0,1]上恒成立是关键.。
