高中数学 第一章 三角函数 1_4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 浅议诱导公式的推广素材 北师大版
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浅议诱导公式的推广
对于绝对值大于2π的角的三角函数求值，能否直接套一个公式得出结果？要想解决这个问题，下面首先对诱导公式进行扩展，供同学们参考。
一、kπ±α(k∈Z)的诱导公式
⒈象限的参数式集合
设α∈(0,2)，由图1易知，
第一象限的角的集合为：
{β|β=2kπ+α,k∈Z}={β|β=偶π+α}
第二象限的角的集合为：
{β|β=(2k+1)π-α,k∈Z}={β|β=奇π-α}
第三象限的角的集合为：
{β|β=(2k+1)π+α,k∈Z}={β|β=奇π+α}
第四象限的角的集合为：
{β|β=2kπ-α,k∈Z}={β|β=偶π-α}
⒉诱导公式的扩展
sin(偶π+α)=sinα, cos(偶π+α)=cosα, tan(偶π+α)=tanα,
sin(奇π-α)=sinα, cos(奇π-α)=-cosα, tan(奇π-α)=-tanα,
sin(奇π+α)=-sinα,cos(奇π+α)=-cosα, tan(奇π+α)=tanα,
sin(偶π-α)=-sinα,cos(偶π-α)=cosα, tan(偶π-α)=-tanα。
说明：①这一组公式可由诱导公式一二四轻松得出，其中正切诱导公式可由正、余弦公式用商数关系得出。②将α当．锐角看，则由公式左边角的象限确定公式右边的符号，这就叫“符号看象限”。
二、±半π±α的诱导公式
⒈所在象限 x y
O偶π+α
偶π-α 奇π+α 奇π-α
偶π 奇π
x y
O2
2-α 2+α
-2+α -2-α 设α∈(0,2)，由图2,则
2-α是第一象限的角；
2+α是第二象限的角；
-2-α(或23-α)是第三象限的角；
-2+α(或23+α)是第四象限的角。
⒉诱导公式的扩展
sin(2-α)=cosα, cos(2-α)=sinα,tan(2-α)=cotα,
sin(2+α)=cosα, cos(2+α)=-sinα, tan(2+α)=-cotα,
sin(-2-α)=-cosα,cos(-2-α)=-sinα, tan(-2-α)=cotα,
sin(-2+α)=-cosα,cos(-2+α)=sinα, tan(-2+α)=-cotα。
推导举例：sin(-2-α)=sin[-π+(2-α)]=-sin(2-α)=-cosα，
cos(2+α)=cos[π-(2-α)]=-cos(2-α)=-sinα，
tan(23+α)=tan[2π-(2-α)]=-tan(2-α)=-cotα。
说明：对于任意角求三角函数值，可先用诱导公式一化为0~2π间的角，再用这组公式求值。用公式时，α当．锐角看。
从两套公式可看出，对kπ±α(k∈Z)的三角函数值，得α的同名函数值；对±2±α的三角函数值，得α的余名函数值。然后再加上一个把α当锐角看时原函数值的符号，概括为“半变整不变，符号看象限”。
三、典题例示：
例1 化简sin(-20074)。
解法一：(常规方法)sin(-20075)=-sin(20075) =-sin(400π+75)=-sin(π+25)=-(-sin25)=sin25
解法二：(扩展方法1) sin(-20075)=sin(-401π-25)=sin25
点评：①常规方法是利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
也就是“负化正，大化小，化到锐角就行”。
②扩展方法是把角一步化到“整π±α”形式，直接确定符号，其难点在于化简较常规方法要难。一般地，当角的绝对值大于2π时用此法较快。
③三角函数的化简需将结果化成锐角的三角函数，是特殊角的要求出函数值。
例2若sinα是方程6x=2-x的根，求cos(7)tan(6)7cos()cot(3)2的值。
分析：将α当锐角看，α-7π=-7π+α是第三象限角，6π-α是第四象限角，72=4π-2是第四象限角，3π-α是第二象限角。
解：原式=(cos)(tan)sin(cot)=-tanα
方程6x=2-x可变形为6x+x-2=0,解得x=14,∴sinα=14,
α是第一、二象限角，cosα=±211()4=±154,tanα=±1515,
∴原式=-tanα=±1515。
点评：将α当锐角看是确定象限，确定符号的关键。 任意负角的
三角函数 任意正角的
三角函数
0~2π的角的
三角函数 锐角的
三角函数 利用诱导公式
三或一
利用诱导
公式一 利用诱导公式
二或四或五
