2021届浙江新高考数学一轮复习：第二章 3 第3讲 函数的奇偶性、对称性

第3讲 函数的奇偶性、对称性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义 图象特点

偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称

奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称

2.函数奇偶性的几个重要结论

(1)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．

3．函数的对称性

(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)关于直线x＝a＋b2对称，特别地，当a＝b＝0时，函数y＝f(x)关于y轴对称，此时函数y＝f(x)是偶函数．

(2)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则函数y＝f(x)关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，f(x)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)关于原点对称，此时函数f(x)是奇函数．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则a＋b＝2.( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√

[教材衍化]

1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.

2．(必修1P45B组T6改编)已知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a

解析：法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知函数f(x)在[－b，－a]上的值域为[－4，3]

法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，

即－3≤－f(x)≤4，

所以－4≤f(x)≤3，

即在区间[－b，－a]上的值域为[－4，3]．

答案：[－4，3]

3．(必修1P45B组T4改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x<0，x，0≤x<1，则f32＝________．

解析：f32＝f2－12＝f－12＝－4×－122＋2＝1.

答案：1

[易错纠偏]

(1)利用奇偶性求解析式时忽视定义域；

(2)忽视奇函数的对称性；

(3)忽视定义域的对称性．

1．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________． 解析：设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝x2＋4x－3，x>0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x<0.

答案：x2＋4x－3，x>0，0，x＝0，－x2＋4x＋3，x<0

2.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．

解析：由题图可知，当00；当20.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]．

答案：(－2，0)∪(2，5]

3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．

解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，

所以a－1＋2a＝0，

所以a＝13.

又f(－x)＝f(x)，

所以b＝0，

所以a＋b＝13.

答案：13

判断函数的奇偶性

(1)函数y＝|x－4|－49－x2的奇偶性是( )

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数

(2)(2020·“七彩阳光”联盟联考)已知函数f(x)＝|e|x|－2e|＋e|x|，g(x)＝3sin 2x，下列描述正确的是( ) A．f(g(x))是奇函数

B．f(g(x))是偶函数

C．f(g(x))既是奇函数又是偶函数

D．f(g(x))既不是奇函数又不是偶函数

【解析】 (1)由9－x2>0可得－3

f(x)＝|x－4|－49－x2＝4－x－49－x2＝－x9－x2，

f(－x)＝|x＋4|－49－x2＝4＋x－49－x2＝x9－x2＝－f(x)，

所以函数y＝|x－4|－49－x2是奇函数，故选A.

(2)由题意知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))，故f(g(x))是偶函数．

【答案】 (1)A (2)B

判定函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法

①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．

[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．

1．设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )

A．|g(x)|是偶函数 B．f(x)g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数

解析：选D.f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，f(x)为偶函数．

g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．

|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]

＝－f(x)g(x)，

所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；

f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，

所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；

f(x)＋g(x)＝2ex，

f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，

且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，

所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.

2．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；

(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；

(3)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.

解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，

所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(2)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，

得－2≤x≤2且x≠0，

所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．

所以f(x)＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x.

所以f(x)＝－f(－x)，

所以f(x)是奇函数．

(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x＜0时，f(x)＝x2－x，

则当x＞0时，－x＜0， 故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，

故原函数是偶函数．

函数奇偶性的应用

(1)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．

(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于________．

【解析】 (1)因为f(x)为偶函数，

所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，

所以－xln(－x＋a＋x2)－xln(x＋a＋x2)＝0恒成立，

所以xln a＝0恒成立，

所以ln a＝0，即a＝1.

(2)f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2①，

f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4②，

由①②得，2g(1)＝6，即g(1)＝3.

【答案】 (1)1 (2)3

已知函数奇偶性可以解决的4个问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象．

1．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )

A．3 B．0

C．－1 D．－2

解析：选B.设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.故选B.

2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3（x＋1），x≥0，g（x），x<0，则g(f(－8))＝( )