高中数学-教师-函数的奇偶性

函数的奇偶性(1)函数奇偶性的定义偶函数：一般地，设函数()x f 的定义域为I ,如果I x ∈∀,都有I x ∈-,且()()x f x f =-,那么函数()x f 就叫作偶函数。

奇函数：一般地，设函数()x f 的定义域为I ,如果I x ∈∀,都有I x ∈-,且()()x f x f -=-,那么函数()x f 就叫作奇函数。

理解函数奇偶性的注意点：①从奇函数、偶函数的定义可知，当x 是定义域中的一个数值时，则x -也必是定义域中的一个数值，因此函数()x f y =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。

换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性。

例如，函数2x y =在区间()+∞∞-,上是偶函数，但在区间［－3, 5]上却不具有奇偶性。

则根据定义可得，()()00f f -=-,即()00=f ,即奇函数的图像过原点。

③若()()x f x f -=-,且()()x f x f =-,则()x f 既是奇函数又是偶函数。

这样的函数有且只有一类，即()0=x f ,D x ∈,D 是关于原点对称的非空数集。

（2）函数奇偶性的运算性质设()x f 和()x g 的定义域分别是21,D D ,在它们的公共定义域上，有下列结论：【注意】上述表格中不考虑()()0=+x g x f 和()()0=-x g x f ，()()x g f 中，需2D x ∈,()1D x g ∈。

（3）奇偶函数的图像特征奇函数的图像关于原点对称：反过来，若一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数。

偶函数的图像关于y 轴对称：反过来，若一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

因而研究这类函数的性质时，只需研究函数在区间[)∞+，0或(]0，∞-上的情况，即可推断出函数在整个定义域内的性质。

因此，如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图像就可推出这个函数在另一部分上的性质和图像。

1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。

高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。

2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。

3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。

2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。

五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。

2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。

3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。

5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。

注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。

2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。

3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。

2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。

3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。

人教版高中数学教案——函数的奇偶性一、教学目标1. 理解函数奇偶性的概念，掌握奇函数和偶函数的性质。

2. 能够判断给定函数的奇偶性，并能运用奇偶性解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。

二、教学内容1. 函数奇偶性的定义与性质2. 判断函数奇偶性的方法3. 奇偶性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：函数奇偶性的概念及判断方法，奇函数和偶函数的性质。

2. 难点：函数奇偶性的运用和实际问题中的解决方法。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数奇偶性的定义、性质和判断方法。

2. 利用例题，展示奇偶性在实际问题中的应用。

3. 组织学生进行小组讨论，培养学生的合作能力。

4. 利用多媒体辅助教学，增强学生对函数奇偶性的理解。

五、教学过程1. 引入：通过回顾初中阶段的反比例函数和二次函数的性质，引导学生思考函数的奇偶性。

2. 讲解：讲解函数奇偶性的定义，引导学生理解奇函数和偶函数的概念。

3. 例题：出示典型例题，让学生掌握判断函数奇偶性的方法。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固函数奇偶性的判断方法。

5. 应用：结合实际问题，让学生学会运用函数奇偶性解决问题。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调函数奇偶性的重要性和应用价值。

7. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后作业：检查学生对函数奇偶性概念的理解和判断方法的掌握。

2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估他们对奇偶性性质的熟悉程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的参与度和合作能力。

4. 课堂问答：检查学生对函数奇偶性应用的理解和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 引入更复杂的函数奇偶性问题，如分数指数函数、复合函数的奇偶性。

2. 探讨函数奇偶性与图像的关系，让学生观察奇偶性对函数图像的影响。

3. 引导学生思考实际生活中的例子，如物理中的电磁场问题，应用函数的奇偶性。

八、教学反思1. 反思本节课的教学内容安排是否恰当，难度是否适合学生。

高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。

2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。

3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。

2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断方法。

3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的4. 应用实例：分析生活中遇到的函数奇偶性问题，运用函数奇偶性解决问题。

教案示例：一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。

2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。

2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。

3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。

2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的关系。

高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。

教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。

教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。

章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。

章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。

教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。

教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。

章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。

教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。

人教版高中数学教案——函数的奇偶性教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的定义。

2. 掌握判断函数奇偶性的方法。

3. 能够运用奇偶性解决实际问题。

教学重点：1. 奇函数和偶函数的定义。

2. 判断函数奇偶性的方法。

教学难点：1. 理解函数奇偶性的概念。

2. 应用奇偶性解决实际问题。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 教学素材。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的概念。

2. 引导学生思考函数的性质。

二、新课讲解（15分钟）1. 介绍奇函数和偶函数的定义。

2. 通过实例讲解判断函数奇偶性的方法。

3. 总结判断函数奇偶性的步骤。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题。

2. 讲解练习题，巩固知识点。

四、应用拓展（10分钟）1. 让学生运用奇偶性解决实际问题。

2. 讲解实际问题的解题思路。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结本节课所学内容。

2. 反思自己在学习过程中的不足。

教学评价：1. 课后作业批改。

2. 课堂练习的正确率。

3. 学生对实际问题的解决能力。

六、案例分析：具体函数的奇偶性分析1. 选取几个具体函数，如y=x, y=-x, y=x^2, y=-x^2等，分析其奇偶性。

2. 让学生通过观察函数图像，直观理解奇偶性的概念。

3. 引导学生运用奇偶性的定义，验证所选函数的奇偶性。

七、练习与巩固：判断函数的奇偶性1. 给出一些函数表达式，让学生判断其奇偶性。

2. 引导学生运用奇偶性的性质，简化解题过程。

3. 讨论并解答学生可能遇到的问题。

八、奇偶性在实际问题中的应用1. 提供一个实际问题，如物理学中的电流问题，让学生运用奇偶性解决。

2. 引导学生分析问题，运用奇偶性简化问题。

3. 讲解正确解题思路，并给出解答。

九、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结奇偶性的概念和判断方法。

2. 强调奇偶性在实际问题中的应用价值。

十、课后作业1. 布置一些有关奇偶性的练习题，让学生巩固所学知识。

函数的奇偶性知识集结知识元根据奇偶性求值知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据奇偶性求值例1.设y=f（x）是定义域为R的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|，则f（-1）=（）A．0B．1C．-1D．2例2.已知定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则=（）A．B．C．D．例3.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例4.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2B．C．D．函数的奇偶性中的含参数问题知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲函数的奇偶性中的含参数问题例1.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1）．若f（a）＝﹣2，则实数a＝．例2.若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则a＝．例3.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝．根据函数的奇偶性求函数解析式知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据函数的奇偶性求函数解析式例1.设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f（x）表达式为．例2.'已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式.'例3.已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（）A．-1B．1C．0D．2例2.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=-x（x+2）B．f（x）=x（x-2）C．f（x）=-x（x-2）D．f（x）=x（x+2）例3.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（）A．f（x）∙f（-x）>0B．f（x）∙f（-x）<0C．f（x）<f（-x）D．f（x）>f（-x）例4.y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1-x），则当x<0时，f（x）=______。

函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。

高中数学教案《函数的奇偶性》第一章：引言1.1 课程目标：理解函数奇偶性的概念。

学会判断函数的奇偶性。

1.2 教学内容：引入函数的概念。

介绍奇函数和偶函数的定义。

举例说明奇函数和偶函数的性质。

1.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解奇偶性的概念。

进行小组讨论，让学生互相交流思路。

1.4 教学活动：引入函数的概念，引导学生回顾已学的函数知识。

讲解奇函数和偶函数的定义，举例说明其性质。

布置练习题，让学生巩固奇偶性的判断方法。

第二章：奇函数的性质2.1 课程目标：理解奇函数的性质。

学会运用奇函数的性质解决问题。

2.2 教学内容：回顾奇函数的定义。

介绍奇函数的性质，如奇函数的图像关于原点对称等。

举例说明奇函数性质的应用。

2.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解奇函数的性质。

进行小组讨论，让学生互相交流思路。

2.4 教学活动：回顾奇函数的定义，引导学生复习相关知识。

讲解奇函数的性质，举例说明其应用。

布置练习题，让学生巩固奇函数性质的理解。

第三章：偶函数的性质3.1 课程目标：理解偶函数的性质。

学会运用偶函数的性质解决问题。

3.2 教学内容：回顾偶函数的定义。

介绍偶函数的性质，如偶函数的图像关于y轴对称等。

举例说明偶函数性质的应用。

3.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解偶函数的性质。

进行小组讨论，让学生互相交流思路。

3.4 教学活动：回顾偶函数的定义，引导学生复习相关知识。

讲解偶函数的性质，举例说明其应用。

布置练习题，让学生巩固偶函数性质的理解。

第四章：奇偶性的判断4.1 课程目标：学会判断函数的奇偶性。

理解奇偶性在实际问题中的应用。

4.2 教学内容：介绍判断函数奇偶性的方法。

举例说明如何判断函数的奇偶性。

探讨奇偶性在实际问题中的应用。

4.3 教学方法：使用多媒体课件进行讲解。

通过具体例子引导学生理解判断函数奇偶性的方法。

进行小组讨论，让学生互相交流思路。