函数的奇偶性与周期性 一、填空题
1．已知函数f(x)＝1＋m
ex －1是奇函数，则m 的值为________．
解析：∵f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m
ex －1＝0，
∴2－
mex ex －1＋m ex －1＝0，∴2＋m
ex －1
(1－ex)＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2
2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)＝________. 解析：设x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝2－x －3＝－f(x)，故f(x)＝3－2－x ，所以f(－2)＝3 －22＝－1. 答案：－1
3．已知函数f(x)＝a －1
2x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.
解析：解法一：∵f(x)为奇函数，定义域为R ，∴f(0)＝0⇔a －120＋1＝0⇔a ＝1
2.
经检验，当a ＝1
2
时，f(x)为奇函数．
解法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝－
⎝⎛⎭⎫a －12x ＋1. ∴2a ＝
12x ＋1＋2x 1＋2x
＝1，∴a ＝1
2.
答案：1
2
4．若f(x)＝ax2＋bx ＋3a ＋b 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，则a ＝________，b ＝ ________. 解析：由a －1＝－2a 及f(－x)＝f(x)，可得a ＝1
3，b ＝0.
答案：13
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)＜0的解集是________．
解析：由奇函数的定义画出函数y=f(x)，x ∈[-5,5]的图象．由图象可知f(x)＜0的解集 为：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}． 答案：{x|-2＜x ＜0或2＜x ＜5}
6．
(2010·全国大联考三江苏卷)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，它在[0,2]上的图象是一 条如图所示的线段，则不等式f(x)＋f(－x)>x 的解集为________． 解析：f(x)＋f(－x)>x 即f(x)>x
2，如图，由数形结合法可知不等式的解集为
[－2,1)．
答案：[-2,1) 二、解答题
7．已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝x3＋x ＋1，求f(x)的解析式． 解：设x ＜0，则－x ＞0，∴f(－x)＝(－x)3－x ＋1＝－x3－x ＋1. 由f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－x3－x ＋1＝－f(x)，即f(x)＝x3＋x －1.
∴x ＜0时，f(x)＝x3＋x －1，又f(x)是奇函数．∴f(0)＝0，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x3＋x ＋1 (x ＞0)0 (x ＝0)
x3＋x －1 (x ＜0).
8．f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x ＋2)＝f(x)，又当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1， 求f(log 1
2
6)的值．
解：∵x ∈(0,1)时，f(x)＝2x －1.∴x ∈(－1,0)时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x ＋1， ∵4＜6＜8，∴－3＜log 1
26＜－2.又f(x ＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数．
∵－1＜log 126＋2＜0，∴f(log 126)＝f(log 1
2
6＋2)＝
＝－2－log 1232＋1＝－32＋1＝－1
2
.
2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间
[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0. (1)试判断函数y ＝f(x)的奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005，2 005]上的根的个数，并证明你的结论． 解：(1)∵f(1)＝0，且f(x)在[0,7]上只有f(1)＝f(3)＝0，且f(2－x)＝f(2＋x)， 令x ＝－3，f(－1)＝f(5)≠0，∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)． ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f(10＋x)＝f[2＋(8＋x)]＝f[2－(8＋x)]＝f(－6－x)＝f[7－(13＋x)]＝f[7＋(13＋x)] ＝f(20＋x)，∴f(x)以10为周期．又f(x)的图象关于x ＝7对称知，f(x)＝0在(0,10)上有 两个根，则f(x)＝0在(0,2 005]上有201×2＝402个根；在[－2 005,0]上有200×2＝400 个根；因此f(x)＝0在闭区间上共有802个根． 同步练习g3.1012函数的奇偶性和周期性
1—13、DAA BD B DD D C AAC. 14、2()2(0)f x x x x =--< 15、0；0 16(1)偶函数 (2)奇函数 17(1)偶函数
18、333⎡-+⎢⎣⎭
19(1)4
11()2,()224f f ==
函数的奇偶性与周期性
1、若)(x f )(R x ∈是奇函数，则下列各点中，在曲线)(x f y =上的点是
（A ）))(,(a f a - （B ）))sin (,sin (α--α-f （C ）))1
(lg ,lg (a
f a -- （D ）))(,(a f a --
3.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+， 则)25(f 的值是（ ） A. 0 B.
21 C. 1 D. 2
5 4、)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 6、已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f x
x
x f 则若
A ．b
B ．－b
C ．b 1
D ．－b
1
8.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )
(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数 9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
10.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，
2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 （ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
11.已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1
()2
x ；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）
（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38
12已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值范围是（ ）
（A ）（
13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23
） 14、已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则015、定义在)1,1(-上的奇函数1
)(2+++=nx x m
x x f ，则常数=m ____,=n _____
18、定义在]11
[，-上的函数)(x f y =是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，求实数a 的范围.
