高考数学大一轮复习 解三角形精品试题 文(含模拟试题)

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文数

1.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 设是双曲线的两个焦点, 是上一点, 若且的最小内角为, 则的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

[解析] 1.不妨设点在左支上，则又所以，在中由余弦定理得，整理得，即，得.

2.(天津市蓟县邦均中学2014届高三第一次模拟考试) 在△中，内角A、B、C的对边分别为、、，且，则△是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．等边三角形 [解析] 2. 因为，所以，得，为钝角.

3.（北京市海淀区2014届高三年级第一学期期末练习）在中，若，面积记作，则下列结论中一定成立的是

A． B． C． D．

[解析] 3.

4.（福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考）在△中，角所对的边分别为，若，则△的面积等于( )

A．10 B． C．20 D．

[解析] 4.由余弦定理得，，所以

5.(广东省中山市2013-2014学年第一学期高三期末考试) 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）

A. B．

C． D． [解析] 5.因为，所以由余弦定理得

6.（河北衡水中学2014届高三上学期第五次调研）在中，已知内角，边，则的面积的最大值为

．

[解析] 6.，由余弦定理得，即，

7.(重庆一中2014年高三下期第一次月考) 三角形，则

[解析] 7.由余弦定理得，所以.

8.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在中，，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= 。

[解析] 8.设，则由余弦定理得，

，由椭圆的定义知，.

9.（辽宁省大连市高三第一次模拟考试）已知△三个内角、、，且，则的值为 ．

[解析] 9.因为，所以由正弦定理得，设，则. 10.(吉林省长春市2014届高中毕业班第二次调研测试) 在△中，三个内角，，所对的边分别为，，，若 ，则 .

[解析] 10.由正弦定理，，所以，即，所以.

11.(河南省郑州市2014届高中毕业班第一次质量预测) 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________．

[解析] 11.如图所示，由余弦定理得，所以的外接圆半径为，所以，解得，所以球的表面积为

12.(南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试) 在中，，，则的最小值为

.

[解析] 12.由余弦定理得，，所以的最小值为

13.（天津七校联考高三数学（文）学科试卷）在中，角所对的边分别是，已知点是边的中点，且，则角

[解析] 13. 因为，所以，

所以

14.(河北省衡水中学2014届高三下学期二调) 已知函数,

的最大值为2．

（Ⅰ）求函数在上的值域；

(Ⅱ) 已知外接圆半径，，角所对的边分别是，求的值．

[解析] 14.（Ⅰ）由题意，的最大值为，所以，而，于是，在上递增．在 递减，

所以函数在上的值域为；

(Ⅱ) 化简得 ．由正弦定理，得， 因为△ABC的外接圆半径为．．所以

15.（河北省石家庄市2014届高三第二次教学质量检测）在ABC中，角A、B、C 的对边长分别为, 且满足

（Ⅰ）求角B的值；

（Ⅱ）若, 求ABC的面积.

[解析] 15.(1)

由正弦定理得

(2)

，

16.(江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟) 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N (异于村庄A) ，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米) ．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远) ．

[解析] 16.解法一：设∠AMN＝θ，在△AMN中，, 因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ) ．

在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ) ．

AP2＝AM2＋MP2－2 AM·MP·cos∠AMP

＝sin2(120°－θ) ＋4－2×2× sin(120°－θ) cos(60°＋θ)

＝sin2(θ＋60°) － sin(θ＋60°) cos(θ＋60°) ＋4

＝ [1－cos (2θ＋120°) ]－ sin(2θ＋120°) ＋4

＝－ [sin(2θ＋120°) ＋cos (2θ＋120°) ]＋

＝－sin(2θ＋150°) ，θ∈(0，120°) ．

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

答：设计∠AMN为时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．

解法二(构造直角三角形) ：

设∠PMD＝θ，在△PMD中，

∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．

在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，，

AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，(θ≥时，结论也正确) ．

AP2＝AD2＋PD2＝(sinθ＋2cosθ) 2＋(2sinθ) 2

＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ ＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋

＝＋sin(2θ－) ，θ∈(0，) ．

当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．

此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°

17.(河南省豫东豫北十所名校2014届高中毕业班阶段性检测(四)) 在△ABC中，a, b, c分别为角A，B，C所对的边，且

(I) 求角A的大小；

(Ⅱ) 若△ABC的面积为3，求a的值．

[解析] 17.（1）因为，所以，

即，又在中，

，则，

得，故，当时，，则均为钝角，与

矛盾，故舍去，故，则

（2）由，可得，则， 在中，有，则，

则，所以

18.（广东省汕头市2014届高三三月高考模拟）已知函数（1）求函数的最小正周期

(2) 在 中，角的对边分别为, 且满足,求的值.

[解析] 18.（1），所以函数的最小正周期为，

（2）解法一 ，

整理得，所以，

又因为，所以，.

解法二

，

， 又因为，所以，所以，

又因为，所以，.

19.（山西省太原市2014届高三模拟考试）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为, 若△ABC的外接圆的半径为 ，且

（I）求∠C；

（Ⅱ）求△ABC的面积S的最大值．

[解析] 19.（I）由及正弦定理，得，即，由余弦定理，得，所以，又，所以。

（Ⅱ）因为，，所以当，即时，.

20.（江西省重点中学协作体2014届高三第一次联考）在△中, 内角, , 的对边边长分别为, , , 且. （1）判断△的形状； （2）若, 则△的面积是多少？

[解析] 20.（1）由得，即，即，

所以或，即或.

因为，所以，即，所以不成立，舍去，

所以，即. 所以△是直角三角形

（2）因为，所以，又因为，解得，

所以的面积是.

21.(吉林省实验中学2014届高三年级第一次模拟考试) 已知是△ABC三边长且，△ABC的面积

（Ⅰ）求角C；

（Ⅱ）求的值.

[解析] 21.（），又 ，

22.(山西省忻州一中、康杰一中、临汾一中、长治一中四校2014届高三第三次联考)

在中，，，分别为角，，的对边，，且.

(1) 求角；

(2) 若，求的面积.

[解析] 22.(1) 由. 又由正弦定理，得，，将其代入上式，得.

∵, ∴，将其代入上式，得

∴， 整理得，.

∴. ∵角是三角形的内角，∴.

(2) ∵，则 ，又 ， ，∴

23.(山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试)

已知向量，设函数, 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称. （Ⅰ）求函数在区间上的最大值, 并求出此时的取值；

（Ⅱ）在中，分别是角的对边，若，，，求边的长．

[解析] 23.（Ⅰ）由题意得：

所以

因为，所以

所以当即时，

函数在区间上的最大值为.

（Ⅱ）由得：

又因为，解得：或

由题意知 ，

所以 则或

故所求边的长为或.

24.(江西省红色六校2014届高三第二次联考) 在△中, 角所对的边分别为, 满足, .

⑴求角的大小;

⑵求△ABC面积的最大值.

[解析] 24.（1）∵

∴

∴ ， ∵

∴ ∴

（2）∵ ∴ ，

∴ ，∴

25.（天津市蓟县第二中学2014届高三第一次模拟考试）在中，面积

（1）求BC边的长度； （2）求值：

[解析] 25.（1）在中，即，得

（2）=

26.(广西省桂林中学2014届高三月考测试题) 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知

（1）求A的大小；

（2）求的取值范围。

[解析] 26.（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，因为，，所以，所以，

（2）由（1）知，所以，则，

因为是锐角三角形，所以，所以，

，所以，所以的取值范围是.

27.(江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三数学教学情况调查)

设函数．

（1）求的最小正周期和值域；

（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．

[解析] 27.（1）=

=．

所以的最小正周期为，

值域为．