【名校推荐】专题4.3 解三角形-3年高考2年模拟1年备战2019高考精品系列之数学(文) Word版含解析

a= 5,c=2,cos A= ,则 b=( 3 A. 2 B. 3
2
) C.2 D.3
答案:D 解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 2 2 即5=b +4-4b× 3 ,即3b2-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.
9)在△ABC 中,B=4 ,BC 边上的高等于3BC,则 sin 5.(2016 全国Ⅲ· A=( ) A.
2 2 3
3π
-������ =
2 3
sin A,
2 2 2 即 cos A+ sin A= sin A,
整理得 sin A=-3cos A. 1 2 2 2 ∵sin A+cos A=1,∴sin A+ sin2A=1,
9
即 sin2A=10,解得 sin A=±
1 ������
9
3 10 10
2 3 1 1 ������ 2 +������ 2 -������ 2 2������������
π
������
=
3 2
,所以 bc=8 3,所以
3
7.(2017全国Ⅲ· 15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知
C=60°,b= 6,c=3,则 A=
答案:75°
.
������
解析:由正弦定理得sin ������ = sin ������,
3 10
π
1
B.
10 10
C.
5 5
D.3
10 10
答案:D 解析:(方法1)记角A,B,C的对边分别为a,b,c,
2 a= ac sin B , c= a. 则由题意得,S△ABC=2a· 3 2 2 由正弦定理,得 sin C= sin A. 3 3 3π 4 1 1 1

专题06三角函数及解三角形1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sin x xcos x x2在[,]的图像大致为A．B．C．D．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)sin| x||sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④B．②④D．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|)，2sin2α=cos2α+1，则sinα=A．15B．55 3C．35．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数52D．5f x=si n （x5）(＞0)，已知f x 在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①②f x在（0,2）有且仅有3个极大值点f x在（0,2）有且仅有2个极小值点1③f x 在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229，)510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③B．②③D．①③④6．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)A s in(x )(A 0,0,||)是奇函数，将y fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g x．若g x的最小正周期为2π，且g 2，则f3A．2B．2C．2D．27．【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b 6,a 2c,Bπ3，则△ABC的面积为_________．9．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3，则sin 2π4的值是▲.10．【2019年高考浙江卷】在△ABC中，ABC 90，AB 4，BC 3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD ___________，cos ABD ___________．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B sin C)2sin2A sin B s in C．（1）求A；2a b 2c（2）若，求sin C．12．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数△】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A48tan4C2b．sinA （1）求B；2（2）△若ABC为锐角三角形，且c=1，△求ABC面积的取值范围．13．【2019年高考北京卷理数】△在ABC中，a=3，b−c=2，cos B=12．（1）求b，c的值；（2）求sin（B–C）的值．14．【2019年高考天津卷理数】在△A BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知b c 2a，3c s in B 4a sin C．（1）求cos B的值；（2）求sin2B6的值．15．【2019年高考江苏卷】△在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cos B=23，求c的值；3（2）若sin A cos B ，求 sin( B ) a 2b 2的值．16．【2019 年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l ，湖上有桥 AB （AB 是圆 O 的直径）．规划在公路 l 上选两个点 P 、Q ，并修建两段直线型道路 PB 、QA ．规划要求：线段 PB 、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径．已知点 A 、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD （C 、D 为垂足），测得 AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；（2）在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d （单位：百米）.求当 d 最小时，P 、Q 两点间的距 离．17．【2019 年高考浙江卷】设函数f ( x ) sin x , x R.（1）已知[0,2 ),函数f ( x)是偶函数，求的值；（2）求函数y[ f ( x)]2 [ f ( x )]212 4的值域．18．【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴正半轴重合，终边经过点 P ( 2，1)，则cos24．．．．xA．223B．13C．13D．22319．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】已知c os 45，π,，则tan π4A．17B．7C．17D．720．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学文试题】已知函数πf(x)sin(x )6(0)的相ππ邻对称轴之间的距离为，将函数图象向左平移个单位得到函数26g(x)的图象，则g(x)A．sin(x π3)B．πsin(2x )3C．cos2x D．cos(2x π3 )21．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学试题】已知函数fx Asi n x，A 0,0,π2的部分图象如图所示，则使 f a x f a x0成立的a的最小正值为A．C．π12π4B．D．π6π322．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试数学试题】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且43Sa b 2cπ2sin C 4，则5A．1B．2 2C．624D．62423．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学试题】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a 1，3sin A c os C (3sin C b)cos A 0，则角AA．C．2π3π6B．D．π35π624．【广东省韶关市2019届高考模拟测试（4月）数学试题】在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且3b cos A sin A(a cos C c cos A).（1）求角A的大小；（2）若a 23，△ABC的面积为534，求△ABC的周长．25．【北京市昌平区2019届高三5月综合练习（二模）数学试题】已知函数f(x）=c os x(3s in x cos x)+1 2 .π（1）求f( )的值；3（2）当πx [0,]2时，不等式c f(x)c 2恒成立，求实数c的取值范围．6。

2019二模分类汇编—三角函数与解三角形1.已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“函数()f x 的图象经过点（4π，1）”是“函数()f x 的图象经过点（,02π）”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2.（本小题满分13分）在ABC ∆中，7,8,3a b A π===．(Ⅰ)求sin B 的值；(Ⅱ)若ABC ∆是锐角三角形，求ABC ∆的面积．3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB . 射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -.若6BOC π∠=，则()cos βα-的值是（A ）34310- （B ）34310+ （C ）433- （D ）433+4.在ABC ∆中，4A π∠=，ab c b a =-+222，3c =，则C ∠= ；a =____________.5.（本小题13分）已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛π<ϕ>ω>ϕ+ω=2,0,0sin A x A x f 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对于任意的[]0,x m ∈，()1f x ≥恒成立，求m 的最大值.6．若函数 f (x ) = sin(x + ϕ) (ϕ > 0) 在区间 (0,3π) 上单调递减，则ϕ 的最小值为 ． 7（本小题满分 13 分） 在△ ABC中，已知,a b == （Ⅰ）求 c os A 的值；（Ⅱ）若 b = 2 ，求△ABC 的面积．8. 函数()2sin cos cos 2f x x x x =+的最小正周期为 .9．已知(,)22απ3π∈，且tan α=sin α=（A） （B） （C（D10．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,sin sin 2a B A ==．①cos bA的值为____； ② 若a c >，则b 的取值范围是____．11．（本小题13分）已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅰ）将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()2sin 2y g x x =+的单调递减区间.12.函数()sin 2f x x =，若12,x x 满足12()()2f x f x -=，则12x x -的最小值为 .13.（本小题13分）已知在△ABC 中，222a c ac b +-=． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos +cos A C 的最大值．14. 在△ABC 中，7a =，3=c ,3π=A ．C sin 的值为A ．16B ．14C ．7D ．1615．把函数sin(2)3y x π=-图象上的所有点向左平移a )0(>a 个单位长度后，得到函数sin 2y x =的图象，则a 的最小值为________.16．（本小题满分13分）已知函数()4sin()cos 16f x x x π=-+.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间[,44ππ-]上的最大值和最小值.2019二模分类汇编—三角函数与解三角形答案部分1.A2.（共13分）解：（Ⅰ）在ABC △中，因为7a =，8b =，π3A =， 所以由正弦定理sin sin B Ab a=得sin 8sin 7b A B a == （Ⅱ）方法1：因为7a =，8b =，所以π3B A >=，所以ππππ333C <--=， 即C 一定为锐角, 所以B 为ABC △中的最大角 所以ABC △为锐角三角形当且仅当B 为锐角因为sin B =，所以1cos 7B = 因为sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+=所以11sin 7822ABC S ab C ==⨯⨯=△方法2：由余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得214964282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+=解得5c =或3c =当3c =时，222cos 02a c b B ac +-=<，与ABC △为锐角三角形矛盾，舍去当5c =时，222cos 02a c b B ac+-=>，所以B 为锐角，因为b a c >>，所以B 为最大角，所以ABC △为锐角三角形所以11sin 8522ABC S bc A ==⨯⨯=△．所以ABC △的面积为3.C4.3π5.（共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，2A =. 因为51264Tππ-=，所以T =π. 所以2ππ=ω. 解得2ω=. 又因为函数()f x 的图象经过点(,2)6π，所以2sin(2)26ϕπ⨯+= . 解得=+2()6k k Z ϕππ∈. 又因为2ϕπ<，所以=6ϕπ. 所以()2sin(2)6f x x π=+. …………………………………………………………. 7分 （Ⅱ）因为 []0,x m ∈ ，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 当2662x πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，时，即0,6x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()f x 单调递增， 所以()(0)1f x f ≥=，符合题意； 当52,626x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦时，即,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π≥=，符合题意； 当532,662x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，即2,33x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递减， 所以()()13f x f π<=，不符合题意；综上，若对于任意的[]0,x m ∈，有()1f x ≥恒成立，则必有03m π<≤，所以m 的最大值是3π. ………………………………………..13分 6.7.8.π 9.B10．6； 11．（共13分）解:（Ⅰ）由已知)(x f 图象得 2.A =3342T π=，则 2T =π.因为22T ωπ==π，0ω>所以1ω=. …………2分 因为02ϕπ<<， 所以3ϕπ=. …………4分 所以()2sin(+)3f x x π=． …………6分（Ⅱ）由题可得：()2cos2g x x =． …………8分故()2sin 2y g x x =+2cos22sin2x x =++)4x π=． …………10分因为3+22+2242k x k ππππ+π≤≤， …………11分所以5++88k x k ππππ≤≤. 所以()g x 的单调递减区间为5+,+,88k k k ππ⎡⎤ππ∈⎢⎥⎣⎦Z . …………13分12.2π13.（本小题13分）（Ⅰ） 由余弦定理得 2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅角B 为三角形内角 3π=∠∴B ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 23A CB ππ∠+∠=-∠= C A ∠-=∠∴32πC A cos cos +∴ =C C cos 32cos +⎪⎭⎫⎝⎛-π = C C C cos sin 32sin cos 32cos +⋅+⋅ππ= 1cos sin cos 2C C C -⋅++ =C C sin 23cos 21⋅+⋅ = C C sin 6cos cos 6sin⋅+⋅ππ= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πC ……………11分320π<<C Θ 6566πππ<+<∴C16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∴πCC A cos cos +∴ 的最大值是1 ……………13分14. 6π15.解(Ⅰ)1cos )6sin cos 6cos(sin 4)(+-=x x x x f ππ--------------------------2分 =1cos )cos 2sin 32(+-x x x =1cos 2cos sin 322+-x x x =xx 2cos 2sin 3-------------------------------------------4分=)62sin(2π-x .------------------------------------------6分 所以 )(x f 的最小正周期为ππ==22T .------------------------------------------7分（Ⅱ）因为44ππ≤≤-x ,所以36232πππ≤-≤-x .---------------9分 于是,当362ππ=-x ,即4π=x 时, )(x f 取得最大值3;---------------11分当262ππ-=-x ,即6π-=x 时, )(x f 取得最小值-2.----------13分（Ⅰ）求c os A的值；（Ⅱ）若b 2，求△ABC 的面积．。

第四章 三角函数 专题3解三角形（文科）【三年高考精选】1. 【2018年文新课标I 卷】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】【解析】根据题意，结合正弦定理可得，即，结合余弦定理可得，所以A 为锐角，且，从而求得，所以△的面积为，故答案是.2. 【2018年全国卷Ⅲ文】ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC 的面积为2224a b c +-，则C =A.2π B. 3π C. 4π D. 6π 【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，所以，()C 0,π∈，C 4π∴=，故选C.3.【2018年文数全国卷II 】在中，，，，则A.B.C.D.【答案】A 【解析】因为所以，选A.4.【2017课标1，文】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，2a =， 2c =，则C =A.π12 B. π6 C. π4 D. π3【答案】B5.【2017课标II ，文】△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 【答案】3π 【解析】由正弦定理可得6．【2017课标3，文】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

已知C =60°，b =6，c =3，则A =_________。

【答案】75°【解析】由正弦定理，得，结合b c <可得45B =，则.7．【2016高考新课标1文数】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =， 2c =， 2cos 3A =，则b=（A ）2（B ）3（C ）2 （D ）3 【答案】D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），选D.8．【2016高考新课标2文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a=1，则b=____________.学！科网 【答案】21139．【2016高考新课标3文数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A = （A ）310（B ）1010 （C ）55 （D ）31010【答案】D【解析】设BC 边上的高线为AD ，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D ．【三年高考刨析】试题来源 考查考点数学素养解题关键2018全国文科1正弦定理、余弦定理、数学运算准确掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积三角形的面积公式逻辑推理公式的灵活应用2018全国文科2 倍角公式、余弦定理数学运算逻辑推理准确掌握倍角公式、余弦定理的灵活应用2018全国文科3 三角形的面积公式和余弦定理数学运算逻辑推理准确掌握余弦定理及三角形面积公式的灵活应用2017全国文科1 三角函数的和差角公式，正弦定理数学运算逻辑推理准确掌握三角函数的和差角公式，正弦定理的灵活应用2017全国文科2 正弦定理数学运算逻辑推理准确掌握正弦定理的灵活应用2017全国文科3 正弦定理数学运算逻辑推理准确掌握正弦定理公式的灵活应用2016全国文科1 正弦定理、或余弦定理数学运算逻辑推理准确掌握正弦定理、余弦定理公式，并能灵活应用2016全国文科2 三角函数的和差角公式，正弦定理数学运算逻辑推理准确掌握三角函数的和差角公式，正弦定理的灵活应用2016全国文科3 正弦定理数学运算逻辑推理准确掌握正弦定理公式的灵活应用.命题规律总结纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，主要考查正弦定理或余弦定理的运用，以及在三角形中运用三角公式进行三角变换的能力和利用三角形面积求边长等,考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．【2019年高考命题预测】预测2019年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【2019年一轮复习指引】高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题.今后高考的命题会仍以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用. 主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．故在2019年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．【2019年高考考点定位】高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.考点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长典例1【湖北省宜昌市2018届考前适应性训练2】在中，分别为内角的对边，若，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：由正弦定理可得，由余弦定理可得，由三角形的面积公式，解方程组即可得结果.详解：在中，，由正弦定理可得，，且，则，由于，，，解得，则，故选A.【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在ABC V 中，90C =︒，.（1）三边之间的关系：222a b c +=.（勾股定理） （2）锐角之间的关系：90A B +=︒；学科！网 （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义），，tan aA b=.2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在ABC V 中，,,A B C 为其内角，,,a b c 分别表示,,A B C 的对边. （1）三角形内角和：.（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（R 为外接圆半径）变形：，，;;；.（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍；；.推论：;;.变形：;;.【规律方法技巧】解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如,,A B c），由求C，由正弦定理求,a b；（2）已知两边和夹角（如,,a b C），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如,,a b A），应用正弦定理求B，由求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.（4）已知三边,,a b c，应余弦定理求,A B，再由，求角C.(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要应用(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由则.②联系重要不等式求范围：=等号成立. 由，则当且仅当b c③联系数量积的定义式妙转化：∆中，由.在ABC(9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．【考点针对训练】1. 【辽宁省葫芦岛市2018年第二次模拟】在中，内角的对边分别为.若，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴根据正弦定理可得，即，∵，∴，即，∵，∴，即为锐角，∴，故选A2.【2018年天津市河西区三模】在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【考点2】利用正余弦定理求三角形面积典例2【河南省郑州市2018届第三次质量预测】在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，然后再由三角形的面积公式可得结果． 详解：∵，∴，由正弦定理得，∴．又，∴．∵，∴．由余弦定理得，∴，当且仅当时等号成立．∴．故面积的最大值为．故选A ．【备考知识梳理】 三角形的面积公式：（1）（,,a b c h h h 分别表示,,a b c 上的高）；（2）；（3）；（4）；（R 为外接圆半径）（5）S =V Rabc4；学！科网 （6）S =V △＝；；（7）S rS =V .（r 为内切圆半径,）【规律方法技巧】利用来求ABC V 的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“，，，;”，若要把“角”化为“边”，常利用，;;等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．例如利用边的值判断隐含条件b a ≤或b c ≤，极其隐蔽．另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等， (2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论． 【考点针对训练】1. 【湖南省湘潭市2018届第四次模拟】在中，，，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C2.【江西省南昌市2018届第二轮复习测试卷（八）】已知的三个内角的对边分别为且满足.（Ⅰ）求边长的值；（Ⅱ）若AD平分∠BAC交BC于点D求的面积.【解析】分析：（1）先根据余弦定理得，与联立解得的值，（2）先求出b,c，再根据角平分线定理得,解得，由余弦定理得，解得，最后根据三角形面积公式求结果. 详解：（Ⅰ），又，消得，得（Ⅱ）由（Ⅰ），,，得,即,,，所以.【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状典例3【河北省邯郸市九校2019届高三第一次联考】设△的内角所对的边分别为，若，则△的形状为A．锐角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】分析：先根据正弦定理化角，再根据角的关系确定三角形形状.详解：因为，所以，所以,,因此△的形状为直角三角形，选B.【备考知识梳理】解斜三角形的主要依据是：设ABC V 的三边为,,a b c ，对应的三个角为,,A B C . （1）角与角关系：；（2）边与边关系：a b c +>，b c a +>，c a b +>，；（3）边与角关系：学+科网正弦定理 .（R 为外接圆半径）；余弦定理；；.它们的变形形式有：，ba B A =sin sin ，.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. （1）角的变换 因为在ABC V 中，，所以；；.；（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半.（3）在ABC V 中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列的充分必要条件是60B =︒；ABC V 是正三角形的充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列. 【规律方法技巧】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．如何利用余弦定理判定三角形的形状 由于cos A 与222b c a +-同号， 故当时，角A 为锐角；当时，三角形为直角三角形；当时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论 (1).(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．学+科网(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)在ABC V 中，是A B >的充要条件【考点针对训练】1. 【山东省乐陵市2019届一轮复习三角检测试题】在中，，则一定是A ． 等腰三角形B ． 直角三角形C ． 等腰直角三角形D ． 无法确定 【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．又为的内角，∴，∴为等腰三角形．故选A ．2.如图，已知平面上直线12//l l ，A ，B 分别是1l ，2l 上的动点，C 是1l ，2l 之间的一定点，C 到1l 的距离1CM =，C 到2l 的距离3CN =，ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为a ，b ，c ，a b >，且.（Ⅰ）判断ABC ∆的形状；（Ⅱ）记ACM θ∠=，，求()f θ的最大值.【考点4】正、余弦定理的实际应用典例4【上海市2018年5月高考模练习（一）】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】分析：（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）可求出舰艇的到达时间，利用余弦定理可得渔政船的到达时间，比较所用时间即可得结论.详解：(1)求得,，由海里(2)国舰艇的到达时间为：小时，在中，得海里，所以渔政船的到达时间为：小时.因为，所以渔政船先到，答：渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．【规律方法技巧】三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．把握解三角形应用题的四步：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．求距离问题的注意事项：学+科网(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．【考点针对训练】1．【2018年考前猜题卷之专家猜题】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为；在位置时，观察点的俯角为，观察点的俯角为，且，则，之间的距离为________．【答案】【解析】在中，，由正弦定理可得，即，，由题意得，，在中，由余弦定理得，即，故答案为.2. 【江苏省南京师大附中2018届高考考前模拟】如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【解析】（1）在中，，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又，所以，时长为小时．当时，，即，解得，又，所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．【应试技巧点拨】1. 余弦定理的重要应用三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由则.②联系重要不等式求范围：等号成立. 由，则当且仅当b c③联系数量积的定义式妙转化：中，由.在ABC2.如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.3. 三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.4. .解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.1. 【2018届衡水金卷压轴卷】在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在中，由余弦定理，得，既有，又由面积公式，得，即有，又，所以，所以.因为，所以，又由正弦定理，得，其中为外接圆的半径，由及，得，所以外接圆的面积.故选：.2.【安徽省安庆市2018届热身考试】已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，由正弦定理得，∴，∴．∵是锐角三角形，∴，解得，∴，∴．即的值范围是．3.【河南省信阳2019届第一次大考】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b ＝4，则△ABC的面积的最大值为A．4B．2C．3D．【答案】A4.【安徽亳州市2018届最后一卷】已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理得，，得，当时，，当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A. 5．【西南名校联盟2018届适应性模拟】在中，若原点到直线的距离为1，则此三角形为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】A【解析】由已知可得：，故三角形为直角三角形.本题选择A选项.6．【吉林省吉大附中2018届第四次模拟】为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线，测得，，就可以计算出两点的距离为__________．【答案】【解析】根据三角形内角和为180°，所以，由正弦定理，代入所以解得m7．【福建省三明市2018届模拟卷（一）】如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为__________．【答案】.【解析】在中，，由余弦定理可知，正三角形，，由正弦定理得：，，，，为锐角，，，，当时，，最大值为，故答案为.8．【山东省潍坊市2018届第三次模拟】的内角的对边分别为，且满足，若点是外一点，，，则平面四边形面积的最大值是______. 【答案】【解析】由，化为，所以，所以,，所以，又，可得为等边三角形，设的边长为，则，则，当时，取得最大值.9．【河北省衡水中学2018届第十六次模拟】如图，一山顶有一信号塔CD （CD 所在的直线与地平面垂直），在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β.（1）求BC 的长；（2）若24l =， 45α=， 75β=， 30θ=，求信号塔CD 的高度.10． 【重庆市2018届质量调研抽测（第三次）】如图,在四边形中,.（Ⅰ）求的长;（Ⅱ）求证:.【解析】（Ⅰ）在中，因为，所以.根据正弦定理有：，代入，，可得.（Ⅱ）证明：在中，根据余弦定理，代入得，因为，所以 ，所以，故.11.【河北省保定市2017届高三二模】设的内角，，所对的边分别为，，，且，，则面积的最大值为（ ）A. 8B. 9C. 16D. 21 【答案】B【解析】由三角形的面积公式：，当且仅当时等号成立.则面积的最大值为9.本题选择B 选项.12. 【2017届陕西省渭南市高三二质检】已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能 【答案】C【解析】圆心到直线的距离,所以222c a b >+，在ABC ∆中，，所以C ∠为钝角。