高考数学新一轮复习 专题三 三角函数、解三角形(文、理) (1)

专题三 三角函数、解三角形1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3C. 3D.322.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )3.要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4.在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332C.3＋62D.3＋394 5.若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.436.已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)，若a ＝f (lg 5)，b ＝f (lg 15)，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝17.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 8.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.329.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________． 10.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c ＝3a sin C －c cos A .(Ⅰ) 求A；(Ⅱ) 若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，c＝2，cos A＝－24.(Ⅰ)求sin C和b的值；(Ⅱ)求cos⎝⎛⎭⎪⎫2A＋π3的值．12.已知函数f(x)＝A cos⎝⎛x4⎭⎪⎫＋π6，x∈R，且f⎝⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝－3017，f⎝⎛⎭⎪⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值．13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B. (Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，0<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的单调递增区间．15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．16.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(Ⅰ)求f (x )的解析式；(Ⅱ)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f （x ＋π6）的值域．专题三三角函数、解三角形1.B 根据正弦定理，BCsin A＝ACsin B，则AC＝BC·sin Bsin A＝32×2232＝2 3.2.A y＝cos2x＋1⇒y＝cos x＋1⇒y＝cos(x＋1)＋1⇒y＝cos x＋1，故选A.3.C y＝cos2x向左平移12个单位得y＝cos(2x＋1)或y＝cos(2x＋1)＝cos2(x＋12)．4.B由余弦定理得12＝4＋AB2－72×2AB，解得AB＝3，∴BC边上的高h＝AB·sin60°＝332.5.B 由已知：2sin α＋2cos α＝sin α－cos α.∴sin α＝－3cos α.tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2sin αcos α1－sin2αcos2α＝2×（－3）1－9＝34.6.C f(x)＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x＋π42＝1－cos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x2＝1＋sin 2x2.∴f(lg 5)＋f⎝⎛⎭⎪⎫lg15＝12[1＋sin(2lg 5)]＋12[1＋sin(－2lg 5)]＝1.7.D 由题意知c＝b－1，a＝b＋1.由3b＝20a·cos A，得3b＝20a·b2＋c2－a22bc，化简得7b2－27b－40＝0，解得b＝5，则a＝6，c＝4.8.C 原式＝sin（30°＋17°）－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝12.9.17250根据cos(α＋π6)＝45，cos(2α＋π3)＝2cos2(α＋π6)－1＝2×1625－1＝725，因为cos(2α＋π3)>0，所以sin(2α＋π3)＝1－（725）2＝2425，因为sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cos π4－cos(2α＋π3)sin π4＝17250. 10.解：(Ⅰ)由c ＝3a sin C －c cos A 及正弦定理得 3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(Ⅱ)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.11.解：(Ⅰ)在△ABC 中，由cos A ＝－24，可得sin A ＝144.又由a sin A ＝c sin C 及a ＝2，c ＝2，可得sin C ＝74.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋b －2＝0， 因为b >0，故解得b ＝1.所以sin C ＝74，b ＝1.(Ⅱ)由cos A ＝－24，sin A ＝144， 得cos2A ＝2cos 2A －1＝－34，sin2A ＝2sin A cos A ＝－74. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝cos2A cos π3－sin2A sin π3＝－3＋218. 12.解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2， 解得A ＝2.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋43π＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝－2 sin α＝－3017，即sin α＝1517，f ⎝⎛⎭⎪⎫4β－23π＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2 cos β＝85，即cos β＝45.因为α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.13.解：(Ⅰ)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝ bsin B ，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(Ⅱ)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.14.解：(Ⅰ)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin (2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0，1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2 (12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .15.解：(Ⅰ)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(Ⅱ)法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac ，解得a ＝c ，所以B ＝A ＝C ＝60°，故sin A sin C＝34. 16.解：(Ⅰ)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2.从而sin (2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π<φ≤π得φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(Ⅱ)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin （2x ＋π2）＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝（2cos 2x －1）（3cos 2x ＋2）2（2cos 2x －1） ＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．。