凭祥市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
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凭祥市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图甲所示， 三棱锥P ABC - 的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠= ，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，，图乙的四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与 的变化关系，其中正确的是（ ）A ．B ． C. D ．1111]2． 函数g （x ）是偶函数，函数f （x ）=g （x ﹣m ），若存在φ∈（，），使f （sin φ）=f （cos φ），则实数m 的取值范围是（ ）A ．（）B ．（，]C ．（） D ．（]3． 若a=ln2，b=5，c=xdx ，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a ＜b ＜cB B ．b ＜a ＜cC C ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a4． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35． 在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．6． 已知函数f （x ）的定义域为[a ，b]，函数y=f （x ）的图象如下图所示，则函数f （|x|）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈MD ．0⊆M8． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（ ）111] A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(9． 利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f （x ）的定义域为A ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈I （I ⊆A ），有x+l ∈A ，且f （x+l ）≥f （x ），则称f （x ）为I 上的l 高调函数，如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=|x ﹣a 2|﹣a 2，且函数f （x ）为R 上的1高调函数，那么实数a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜1B ．﹣≤a ≤C ．﹣1≤a ≤1D ．﹣2≤a ≤211．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-12．已知直线 a 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）A ．a bB ．与异面C ．与相交D ．与无公共点二、填空题13．直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，则实数a 的值为 ． 14．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．15．（文科）与直线10x -=垂直的直线的倾斜角为___________． 16．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程为 ．17．已知函数f （x ）=，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写出你认为正确的所有结论的序号）①k=0时，F （x ）恰有一个零点．②k ＜0时，F （x ）恰有2个零点． ③k ＞0时，F （x ）恰有3个零点．④k ＞0时，F （x ）恰有4个零点．18．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．①若AC=BD ，则四边形EFGH 是 ； ②若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是 ．三、解答题19．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ; Ⅱ 若22256log ()1n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（1）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）当0a =时，是否存在实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然常数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21．已知函数f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小值m ；（Ⅱ）若正实数a ，b 足+=，求证： +≥m ．22．已知集合A={x|x 2+2x ＜0}，B={x|y=}（1）求（∁R A ）∩B ；（2）若集合C={x|a ＜x ＜2a+1}且C ⊆A ，求a 的取值范围．23．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．24．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（Ⅱ）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值．凭祥市一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】考点：几何体的体积与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的体积与函数的图象之间的关系，其中解答中涉及到三棱锥的体积公式、一元二次函数的图象与性质等知识点的考查，本题解答的关键是通过三棱锥的体积公式得出二次函数的解析式，利用二次函数的图象与性质得到函数的图象，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，是一道好题，题目新颖，属于中档试题.2．【答案】A【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（，），则sinφ＞cosφ，则由f（sinφ）=f（cosφ），则=m，即m==（sinφ×+cosαφ）=sin（φ+）当φ∈（，），则φ+∈（，），则＜sin（φ+）＜，则＜m＜，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．3．【答案】C【解析】解：∵a=ln2＜lne即，b=5=，c=xdx=，∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．故选：C．【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．4．【答案】C【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．5．【答案】C【解析】解：如图，设A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过B1作B1H⊥AO1于H，则易知AH的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在Rt△A1O1A中，A1O1=，1AO1=3，由A1O1•A1A=h•AO1，可得A1H=，故选：C．【点评】本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题．6．【答案】B【解析】解：∵y=f（|x|）是偶函数，∴y=f（|x|）的图象是由y=f（x）把x＞0的图象保留，x＜0部分的图象关于y轴对称而得到的．故选B．【点评】考查函数图象的对称变换和识图能力，注意区别函数y=f （x ）的图象和函数f （|x|）的图象之间的关系，函数y=f （x ）的图象和函数|f （x ）|的图象之间的关系；体现了数形结合和运动变化的思想，属基础题．7． 【答案】C【解析】解：对于A 、B ，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C ，0是集合中的一个元素，表述正确．对于D ，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用8． 【答案】B 【解析】试题分析：()()1)2(f x f x f -=+ ，令1-=x ，则()()()111f f f --=，()x f 是定义在R 上的偶函数,()01=∴f ()()2+=∴x f x f ．则函数()x f 是定义在R 上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x 时，()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨⎧-><<23log 10aa ，解得：330<<a 故选A ．考点：根的存在性及根的个数判断.【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.9．【答案】C【解析】解：由ln（3a﹣1）＜0得＜a＜，则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a﹣1）＜0成立的概率是P=，故选：C．10．【答案】B【解析】解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴1≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣≤a≤故选B【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．11．【答案】C【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ． 12．【答案】D 【解析】试题分析：因为直线 a 平面α，直线b ⊆平面α，所以//a b 或与异面，故选D. 考点：平面的基本性质及推论.二、填空题13．【答案】1【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a 的值． 【解答】解：直线ax ﹣2y+2=0与直线x+（a ﹣3）y+1=0平行，∴，解得 a=1．故答案为 1．14．【答案】 ．【解析】解：∵sin α+cos α=，＜α＜，∴sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=，∴2sin αcos α=﹣1=，且sin α＞cos α，∴sin α﹣cos α===．故答案为：．15．【答案】3π 【解析】3π. 考点：直线方程与倾斜角．16．【答案】（±，0）y=±2x．【解析】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．【答案】②④【解析】解：①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，此时有无穷多个零点，故①错误；②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，令f（f（x））=0，可得：，满足；（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=＞1，满足；综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．故答案为：②④．【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．18．【答案】菱形；矩形．【解析】解：如图所示：①∵EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC=BD∴EF=FG∴四边形EFGH是菱形．②由①知四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形．故答案为：菱形，矩形【点评】本题主要考查棱锥的结构特征，主要涉及了线段的中点，中位线定理，构成平面图形，研究平面图形的形状，是常考类型，属基础题．三、解答题19．【答案】【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1．Ⅱ 由882222222562log ()log log 28212n n n n b n a -====-- N *n ∈法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=；当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，1243==S S .法二：可利用等差数列的求和公式求解20．【答案】【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．（2）当0a =时，()ln f x bx x =-．假设存在实数b ，使()(]()ln 0,e g x bx x x =-∈有最小值3，11()bx f x b x x-'=-=．………7分 ①当0b ≤时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e 13,f x f be b e==-==（舍去）．………8分 ②当10e b <<时，()f x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e b ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ∴2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，满足条件．……………………………10分③当1e b ≥时，()f x 在(]0,e 上单调递减，()min 4()e e 13,ef xg b b ==-==（舍去），………11分综上，存在实数2e b =，使得当(]0,e x ∈时，函数()f x 最小值是3．……………………………12分21．【答案】【解析】（Ⅰ）解：∵f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|≥|x ﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x ∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分）（Ⅱ）证明：∵（ +）[]≥（）2=3，∴（+）×≥（）2，∴+≥2．…（7分）【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．22．【答案】【解析】解：（1）A={x|x 2+2x ＜0}={x|﹣2＜x ＜0}，B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}，∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}， ∴（∁R A ）∩B={x|x ≥0}；…（2）当a ≥2a+1时，C=∅，此时a ≤﹣1满足题意； 当a ＜2a+1时，C ≠∅，应满足，解得﹣1＜a ≤﹣；综上，a的取值范围是．…23．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，∴平面AEC⊥平面PDB．（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，∴O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，，又∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，在Rt△AOE中，，∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．24．【答案】【解析】【专题】计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可得到曲线C1的直角坐标方程，再由代入法，即可化简曲线C2的参数方程为普通方程；（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．再由点到直线的距离公式和勾股定理，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，可化为直角坐标方程x2+y2﹣2x+4y+4=0，即圆（x﹣1）2+（y+2）2=1；曲线C2的参数方程为（t为参数），可化为普通方程为：3x+4y﹣15=0．（Ⅱ）可经过圆心（1，﹣2）作直线3x+4y﹣15=0的垂线，此时切线长最小．则由点到直线的距离公式可得d==4，则切线长为=．故这条切线长的最小值为．【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和直角坐标方程、普通方程的互化，考查直线与圆相切的切线长问题，考查运算能力，属于中档题．。
