第二章导热基本定律和导热微分方程ppt课件-文档

0 δ
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
列出以下问题的的数学描述
例5：一块厚δ 的平板，平板内有均匀的内热源，热 源强度为 ，平板一侧绝热，平板另一侧与温度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。 t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
t 2 a t c
·
t 2 2 a t t 0
·
t0
2
知识回顾：
二、热扩散率（导温系数）
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
c
表征温度传递速度的快慢。
三、定解条件 ——几何、物理、时间、边界
能否求出tw1、tw2 ？
o
x
一、通过平壁的稳态导热
2、通过多层平壁的导热 多层平壁：由几层不同材料 组成的平壁。 例：房屋的墙壁 — 白灰
t1
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
t2 t3 t4
内层、水泥沙浆层、红砖
（青砖）主体层等组成。
t1 t2 t3 t4
长江大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering
例 1 ： q=1000W/m2 的 热 流 密 度 沿 x 方 向 通 过 厚 δ=20mm的平板。已知在x=0、10及20mm处的温 度分别为100℃、60℃及40℃。试据此数据确定 平板材料导热系数λ=λ0(1+bt)（t为平板温度）中 的λ0及b。 t 100℃ q=1000W/m2 60℃ 40℃

∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界

或：
V


( e)

q
qV
dV

0
去掉积分符号



(e) q qV
0
上式为导热能量方程的微分形式 differential form
ppt课件
22
导热微分方程 heat conduction differential equation
上式进一步将内能用温度表示，热量用温度梯度表示，则：
11 12 13
[] 21
22

23

31 32 33
1 0 0
[]


0
2
0

0 0 3
坐标轴(coordinate axis) Oξ1，Oξ2，Oξ3称为导热系数主轴 (principal axis)，λ1，λ2，λ3成为主导热系数。
ppt课件
7
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域，
不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大）
温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同
热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得
能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系
故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
ppt课件
8
热量实际的传播速度的确定
对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系 统内部（interior）或边界（boundary） 出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破 坏(destroy)
通过一段时间的热量传递，系统将达到一个 新的稳定状态

质各向同性，一维稳态无内热源。
对平壁1： 对平壁2： 对平壁3：
Q1
tw1 tw2 R1
R1
tw1 tw2 Q1
Q2
tw2 tw3 R 2
R 2
tw2 tw3 Q2
Q3
tw3 tw4 R 3
R 3
tw3 tw4 Q3
稳态无内热源： Q1 Q2 Q3 Q
R1
R 2
R 3
t w1
tw4 Q
Q
tw1 tw4
R1 R 2 R 3
Q
1
tw1 tw4
2
3
1 A 2 A 3 A
W
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
温度分布是由三段直线组成
斜率: Q A dt dt Q
dx dx A λ大，平缓；
λ小，陡
W /m2
2.3.3 通过圆筒壁的稳态导热
2.3.3.1 单层圆筒壁的稳态导热
稳态无内热源，外径r2，内径r1，内外壁 面温度保持tw1、tw2，λ为定值，材料均 质各向同性，圆筒长度为l，如果l>10r2 时，沿轴向导热可忽略不计。以圆筒轴 线建立圆柱坐标的Z（T）轴、半径方向 建立r坐标。由于所建立的坐标的对称 性，等温面是彼此同轴的圆柱面，则沿 周向(相同半径时)无热量传递，这样只 有沿径向存在热量传递。t=f(r)
2 x
t
2
2t y 2
2t z 2
qv
1 a
t
无内热源 qv 0
稳态
t 0
一维稳态无内热源
d 2t dx 2
0
2.2.2 圆柱坐标中的导热微分方程式 常用的一维稳态无内热源情况：
d 2t 1 dt 0