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2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级(上)期末数学试卷-解析版

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2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是()A. (−2,−3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (2,3)2.用配方法解方程x2−2x−1=0，配方后所得方程为()A. (x+1)2=0B. (x−1)2=0C. (x+1)2=2D. (x−1)2=23.班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家估计出袋中白球的个数.数学科代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球.根据小明的方法估计袋中白球有()A. 200个B. 100个C. 50个D. 40个4.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD =BCDED. ABAD =ACAE5.如图所示几何体的左视图正确的是()A. B. C. D.6.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y37.已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是()A. 四边形ABCD是正方形B. 四边形ABCD是菱形C. 四边形ABCD是矩形D. S四边形ABCD =12AC⋅BD8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，BC=√7，AC=3，则sin∠ACD=()A. √74B. √73C. 34D. 439.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是()A. B.C. D.10.如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①DEAB =12；②CD+CE+DEAC+BC+AB=14；③CDCA=EFFA；④S△FDES△CDE =13.其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.一元二次方程x2=3x的解是：______．12.已知ab =2，则a+ba−b=______．13.直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为______ cm．14.某市推出名师网络课堂，据统计，第一批受益学生8000人次，第三批受益学生18000人次.如果第二批、第三批受益学生人次的平均增长率相同，则这个增长率为______ ．15.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为______ m.(结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)16.在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B 的长为______ ．17.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠ADC=120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1=120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2=120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）18.计算：6sin30°−43cos30°−2tan45°+2tan60∘．19.“一方有难，八方支援”2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，南海区某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉．(1)若随机选一位医生和一名护士，用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果；(2)求恰好选中医生丙和护士B的概率．20.如图，已知AB//CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF=∠C，若AF=6，FB=8，求EF．21.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．(x>0)的图象相交于点A(1,3) 22.如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx和B(m,1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值；(3)以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．23.如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=6，求菱形BEDF的边长．24.如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D，F分别是边AB，BC上的动点，点D不与点A，B重合，过点D作DE//BC，交AC于点E，连接DF，EF．(1)当DF⊥BC时，求证：△FBD∽△ABC；(2)在(1)的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长；(3)是否存在点F，使得△FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长．25.如图，已知二次函数y=ax2−5ax+2的图象交x轴于点A(1,0)和点B，交y轴于点C．(1)求该二次函数的解析式；(2)过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD的正切值；(3)在(2)的条件下，点E在直线x=1上，如果∠CBE=45°，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：二次函数y=(x+2)2+3的图象的顶点坐标为(−2,3)．故选：B．根据抛物线的顶点式即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：x2−2x=1，x2−2x+1=2，(x−1)2=2．故选：D．先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到(x−1)2= 2．本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3.【答案】D【解析】解：设估计袋中白球有x个，根据题意得：10 10+x =420，解得：x=40经检验x=40是原方程的解，答：估计袋中白球有40个．故选：D．设估计袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5.【答案】A【解析】解：该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．故选：A．直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，∴y1=−6−3=2，y2=−6−1=6，y3=−62=−3，∵−3<2<6，∴y3<y1<y2，故选：C．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y=−6x求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．7.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故选：A．求出AC=BD，根据正方形的判定定理得出即可．本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，能熟记判定定理的内容是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√32+(√7)2=4，∠ACD+∠BCD=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B=ACAB =34，故选：C．先由勾股定理求出AB=4，再证出∠ACD=∠B，然后由锐角三角函数定义求解即可．本题考查了解直角三角形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：由二次函数的图象得a<0，c>0，所以反比例函数y=ax分布在第二、四象限，正比例函数y=cx经过第一、三象限，所以C选项正确．故选：C．利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=kx(k≠0)的图象为双曲线，当k>0，图象分布在第一、三象限；当k<0，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数和二次函数图象．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，DEAB =12，故①正确；∴△CDE∽△CAB，∴CDCA =DEAB=12，CD+CE+DEAC+BC+AB=DEAB=12，故②错误；∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF =DEBA=12，∴CDCA =EFFA，故③正确；∵CD=DA，EFAF =12，∴S△CDE=S△ADE，S△DEFS△ADE =13，∴S△FDES△CDE =13，故④正确；故选：C．根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：(1)x2=3x，x2−3x=0，x(x−3)=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．12.【答案】3【解析】解：∵ab=2，∴设a=2k，b=k，∴a+ba−b =2k+k2k−k=3．故答案为：3．首先由ab =2，可设a=2k，b=k，然后将其代入a+ba−b，即可求得答案．此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握由ab=2，设a=2k，b=k的解题方法．13.【答案】132【解析】解：∵直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，∴斜边长为：√52+122=13(cm)，∴斜边上的中线长为132cm，故答案为：132．根据勾股定理可以求得斜边的长，然后根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以求得斜边上的中线长．本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和直角三角形的知识解答．14.【答案】50%【解析】解：设增长率为x，根据题意，得8000(1+x)2=18000，解得x1=−2.5(舍去)，x2=0.5=50%．答：增长率为50%．故答案为：50%．设增长率为x，根据“第一批受益学生8000人次，第三批受益学生18000人次”可列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．15.【答案】11【解析】解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE=CD=8m，∵∠ADE=50°，∴AE=DE⋅tan50°≈8×1.19=9.52(m)，∵BE=CD=1.5m，∴AB=AE+BE=9.52+1.52=11.2≈11(m)，故答案为：11．根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.【答案】2【解析】解：由已知可得，矩形A的周长是(6+1)×2=14，面积是6×1=6，则矩形B的周长是7，面积是3，设矩形B的长为x，则宽为3.5−x，则x(3.5−x)=3，解得，x1=2，x2=1.5，当x=2时，3.5−x=1.5，此时长大于宽，符合实际；当x=1.5时，3.5−x=2，此时长小于宽，不符合实际；由上可得，矩形B的长为2，故答案为：2．根据题意，可以先求出矩形A的周长和面积，从而可以得到矩形B的周长和面积，然后设矩形B的长为x，然后根据矩形的面积=长×宽，即可得到相应的方程，从而可以得到矩形B的长．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．17.【答案】(√3)40432【解析】解：作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示，由已知可得，∠ABC=120°，BC=1，∠CAB=30°，∴∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴CE=√32，∴AC=√3，∴菱形ABCD的面积是1×√32=√32，∵ACAB =√31，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C2021D2021的面积为：√32×[(√31)2]2021=√32×(√3)4042=(√3)40432，故答案为：(√3)40432．根据题意，可以求得菱形ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积．本题考查图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．18.【答案】解：原式=6×12−43×√32−2×1+2√3=3−2√33−2+2√33=1．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算即可解答本题．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19.【答案】解：(1)画树状图如图：所有可能出现的结果由6个；(2)由树状图得：所有可能出现的结果由6个，恰好选中医生丙和护士B的结果有1个，∴恰好选中医生丙和护士B的概率为16．【解析】(1)画出树状图即可；(2)所有可能出现的结果由6个，恰好选中医生丙和护士B的结果有1个，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20.【答案】解：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∵∠EAF=∠C，∴∠B=∠EAF，∵∠AFE=∠BFA，∴△AFE∽△BFA，∴AFBF =EFAF，∵AF=6，FB=8，∴68=EF6，∴EF=92．【解析】根据题意和相似三角形的判定方法，可以得到△AFE∽△BFA，从而可以得到AF BF =EFAF，然后代入数据计算即可．本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：(1)将x=1代入方程x2+ax+a−2=0得，1+a+a−2=0，解得，a=12；方程为x 2+12x −32=0，即2x 2+x −3=0，设另一根为x 1，则1⋅x 1=−32，x 1=−32．(2)∵△=a 2−4(a −2)=a 2−4a +8=a 2−4a +4+4=(a −2)2+4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解析】(1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用． 22.【答案】解：(1)∵反比例函数y =kx (k ≠0)图象经过A(1,3)，∴k =1×3=3，∴反比例函数的表达式是y =3x ，∵反比例函数y =3x 的图象过点B(m,1)，∴m =3，∴B(3,1)．∵一次函数y =ax +b 图象相交于A(1,3)，B(3,1)．∴{a +b =33a +b =1， 解得{a =−1b =4， ∴一次函数的表达式是y =−x +4；(2)由图象知，当x <1或x >3时，反比例函数的值大于一次函数的值；(3)如图所示△OA′B′和△OA″B″即为所求．【解析】(1)由反比例函数图象过点A ，可求出反比例函数的表达式，再求出点B 的坐标，然后将A 点坐标代入y =−x +b ，可求一次函数的表达式；(2)根据图象即可得到结论；(3)根据题意画出图形即可．本题考查了反比例函数综合题，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．23.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；(2)如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF//AB，∴∠ABC=∠DFC=60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH=30°，∴FH=12DF，DH=√3FH=√32DF，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠HDC=45°，∴DC=√2DH=√62DF=6，∴DF=2√6，∴菱形BEDF的边长为2√6．【解析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形；(2)过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．24.【答案】证明：(1)∵DF⊥BC，∴∠BFD=90°=∠A，又∵∠B=∠B，∴△DBF∽△CBA；(2)∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+AC2=√36+64=10，∵△DBF∽△CBA，∴BFBA =BDBC，∴BFBD =610=35，∴BF=35BD，∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，又∵∠A=∠DFB=90°，∴△ADE∽△FBD，∴ADDE =BFBD，∴(6−BD)⋅BD=BF2=925BD2，∴BD=0(舍去)，BD=7517，∴BF=35×7517=4517；(3)如图2，当∠EDF=90°，DE=DF时，∵DE//BC，∴∠EDF=∠DFB=90°，∵△DBF∽△CBA，∴DFAC =BFAB=BDBC，∴DF8=BF6=BD10，∴设BF=3x，DF=4k，BD=5k，∴DE=4k，AD=6−5k，∵cos∠ADE=cosB=ADDE =ABBC，∴6−5k4k =610，∴k=3037，∴DE=12037；当∠DEF′=90°，DE=EF′时，又∵∠EDF=∠DFF′=90°，∴四边形DEF′F是矩形，∴DF=EF′=12037，∴DE=12037；当∠DF′′E=90°，DF′′=EF′′时，过点A作AH⊥BC于H，过点F′′作F′′N⊥DE于N，∵S△ABC=12×AB×AC=12BC×AH，∴6×8=10AH，∴AH=4.8，∵∠DF′′E=90°，DF′′=EF′′，F′′N⊥DE，∴DN=NE=NF′′=12DE，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC =AH−NF″AH，∴DE10=4.8−12DE4.8，∴DE =24049，综上所述：DE 的长为12037或24049．【解析】(1)由相似三角形的判定可得结论；(2)由勾股定理可求BC 的长，由相似三角形的性质可求BF =35BD ，通过证明△ADE∽△FBD ，可得AD DE =BF BD ，可求BD 的长，即可求解；(3)分三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，可求解．本题是相似三角形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25.【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2−5ax +2的图象交x 轴于点A(1,0)， ∴0=a −5a +2，∴a =12，∴二次函数的解析式y =12x 2−52x +2；(2)∵二次函数y =12x 2−52x +2的图象交x 轴于点A(1,0)和点B ，交y 轴于点C ． ∴点C(0,2)，点B(4,0)，∵点D(1,3)，∴CD =√(1−0)2+(3−2)2=√2，DB =√(4−1)2+(3−0)2=3√2，BC =√16+4=2√5，∵CD 2+DB 2=20，BC 2=20，∴CD 2+DB 2=BC 2，∴∠CDB =90°，∴tan∠CBD =CD DB =√23√2=13； (3)如图，当点E 在x 轴上方时，在AB 上截取AH =AF ，连接HF∵点C(0,2)，点B(4,0)，∴直线BC解析式为y=−12x+2，当x=1时，y=32，∴点H(1,32)，∴AH=32，∴AH=AF=32，HF=3√22，∴∠AFH=45°，BF=32，∴∠BFH=135°，∵点A(1,0)，点B(4,0)，点D(1,3)，∴AD=3=AB，DB=3√2，∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE，∴∠ABC=∠EBD，∠BDE=∠HFB=135°，∴△BFH∽△BDE，∴BDBF =DEHF，∴3√232=32√2，∴DE=6，∴点E(1,9)；当点E′在x轴下方时，∵∠E′BC=45°=∠EBC，∴∠EBE′=90°，∴∠BEE′+∠EE′B=90°=∠BEE′+∠ABE=∠BE′E+∠ABE′，∴∠BEE′=∠ABE′，∠EBA=∠AE′B，∴△ABE∽△AE′B，∴ABAE =AE′AB，∴9=9×AE′，∴AE′=1，∴点E′(1,−1)，综上所述：点E(1,9)或(1,−1)．【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)先求出点C，点B，点D坐标，由两点距离公式可求CD，BD，BC的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB=90°，即可求解；(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。

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2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级(下)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级(下)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）23．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠04．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞05．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．127．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．269．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为．14．分式方程的解是．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝cm．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．故选：D．3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠0解：∵分式有意义，∴x﹣2≠0，∴x≠2，故选：B．4．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞0解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．5．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b解：+＝+＝故+的运算结果正确的是．故选：C．6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．12解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．7．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°解：正方形的内角为90°，正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，故选：D．8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．26解：∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10，由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10+6＝16．故选：A．9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次与第1次的图案相同．故选：A．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵P在AD上运动，∴t≤15÷1＝15，即t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣15＝15﹣t，解得：t＝6；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，解得：t＝10；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣45＝15﹣t，解得：t＝12；综上所述，t的值为6或10或12，故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣1，1）．解：点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为19或20．解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0，解得x＝6，y＝7，①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19．②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20．故答案为19或20．14．分式方程的解是x＝3．解：去分母得：x＝3（x﹣2），去括号得：x＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝100°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°．故答案是：100°．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝ 4.5cm．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝1.5cm，∴BC＝2BD＝3cm，AB＝2BC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4.5cm．故答案是：4.5．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是①②④．解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E，∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CDB＝∠E＝45°，故①正确；∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝AB2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示：在△ACE和△FCD中，，∴△ACE≌△FCD（SAS），∴AC＝FC，当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确；故答案为：①②④．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．解：解①得：x＞2，解②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是x＞2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．解：（﹣1）÷＝•＝＝﹣，当x＝2021时，原式＝﹣＝﹣．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为（﹣2，﹣2）．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为（4，6）．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为（1，2）．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（4，6）．故答案为：（4，6）．（3）旋转中心P的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形．（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，∵∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝DB＝2，∴DH＝＝，∵CF＝CB＝4，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，依题意得：，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴x+150＝400+150＝550（元）．答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元．（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，依题意得：400（40﹣y）+550y≤18000，解得：y≤，又∵y为正整数，∴y的最大值为13．答：最多可以购买B种垃圾桶13组．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）∵当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2，∴点B的横坐标为2，当x＝2时，y2＝×2＝3，∴直线l1，l2的交点坐标为B（2，3），∵当y1＜0时，x＜﹣4，∴直线l1与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直线l1的表达式为y1＝x+2；（2）联立，解得：，∴直线l2，l3的交点坐标为C（﹣1，﹣），∴S△ABC＝＝9；（3）存在，∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，∴设E点坐标为（x，x+2），D点坐标为（m，0），又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，①当AC，DE为平行四边形的对角线时，，解得，∴此时D点坐标为（2，0），②当AD，CE为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（2，0），③当AE，CD为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（﹣10，0），综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是6+3．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．【解答】（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△CEF是等边三角形．（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，∵△ECF是等边三角形，∴EF＝CE，∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE＝AC•sin60°＝3，∴△AEF的周长的最小值为6+3，故答案为：6+3．（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD ∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°∵BE＝3，AB＝AC＝6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∴AO＝AB＝3，∴BO＝，∴BD＝6，∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，∴BM＝2EM，∴∴BM＝2，同理可得DN＝2，∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2∴BM＝MN＝DN．。

2020-2021学年广东省广州五中九年级(上)开学数学试卷 word版含解析

2020-2021学年广东省广州五中九年级(上)开学数学试卷 word版含解析

2020-2021学年广东省广州五中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =13xB ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x +12．（3分）下列各式计算正确的是（ ） A ．√2+√3=√5B ．√(−3)2=−3C ．(√3−√2)2=1D ．√18−√8√2=1 3．（3分）在体育中考跳绳项目中，某小组的9位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176、180，这组数据的众数为（ ） A ．176B ．175和176C ．178D ．176和1804．（3分）方程x 2﹣5x ﹣8＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．（3分）如图，矩形ABCD 的长和宽分别为6和4，E 、F 、G 、H 依次是矩形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 的周长等于（ ）A ．20B ．10C ．4√13D ．2√136．（3分）一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜4时，y 1＜y 2；④b ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.48．（3分）设681×2019﹣681×2018＝a ，2015×2016﹣2013×2018＝b ，√6782+1358+690+678=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．4310．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +k 与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，将线段AB 沿某个方向平移，点A 、B 对应的点M 、N 恰好在直线y ＝2x ﹣2和直线x ＝2上，则当四边形AMNB 为菱形时N 点坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（2，2）C ．（2，3）D ．（2，4）二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）二次根式√x −5有意义，则x 的取值范围是 ．12．（3分）在一场比赛中，甲、乙两名射击手的5次射击成绩统计如图所示，分别记甲、乙两人这场比赛成绩的方差为S 甲2，S 乙2，则S 甲2 S 乙2（填“＞”或“＜”）．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=√5，则BC的长为．14．（3分）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n ＝8，则直线AB的表达式为．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为．16．（3分）如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，则BD+BE的最小值是．三、解答题17．计算：（1）√20+√12×√10．（2）（1﹣2√3）2√3（√17+√8）0． 18．解方程：（1）x 2+4x +2＝0． （2）x 2﹣x +1＝0．19．如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点F ，∠E ＝90°，ED ＝EC ．求证：四边形DFCE 是正方形．20．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 15 20 人数11431（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 次，众数是 次，平均数是 次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 21．点P （x ，y ）是第一象限内一个动点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M ，N ，已知矩形PMON 的周长为8．（1）求y 关于x 的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围；（2）直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ），与x 轴交于点B （﹣1，0）． ①求直线l 的解析式；②已知点P 不与点A 重合，且△ABP 的面积为54，直接写出P 点的坐标．22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．23．如图，已知x轴上有点A（﹣3，0）和点B（1，0），点P是直线y＝x上的动点．（1）当直线y＝x平分∠APB时，求点P的坐标．（2）若点B关于直线AP的对称点B'恰好在线段AB的垂直平分线上时，求点P的坐标．（3）若点Q为（0，4），请直接写出到直线AQ与到直线AB距离相等的点P的坐标．24．如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，已知点B（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP、AG．（1）求∠P AG的度数．（2）当∠OAG＝∠CPG时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°．①∠GBC+∠DEF＝．②猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当EF与AB相交时，且∠DCB＝60°，当AE＝2时，请用线段EG的长表示△AGB的面积．2020-2021学年广东省广州五中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =13xB ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x +1【解答】解：A ．y =13x 是正比例函数，故符合题意； B ．y ＝2x ﹣1是一次函数，故不符合题意； C ．y ＝2x 2是二次函数，故不符合题意； D ．y ＝2x +1是一次函数，故不符合题意； 故选：A ．2．（3分）下列各式计算正确的是（ ） A ．√2+√3=√5B ．√(−3)2=−3C ．(√3−√2)2=1D ．√18−√8√2=1 【解答】解：A ． √2与√3不能合并，所以A 选项不符合题意； B ．原式＝3，所以B 选项不符合题意；C ．原式＝3﹣2√6+2＝5﹣2√6，所以C 选项不符合题意；D ．原式=√182−√82=3﹣2＝1，所以D 项符合题意． 故选：D ．3．（3分）在体育中考跳绳项目中，某小组的9位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176、180，这组数据的众数为（ ） A ．176B ．175和176C ．178D ．176和180【解答】解：这组数据中176和180都出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数为176和180， 故选：D ．4．（3分）方程x 2﹣5x ﹣8＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：∵x 2﹣5x ﹣8＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣8）＝57＞0，∴方程x2﹣3x﹣5＝0有两个不相等的实数根，故选：B．5．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（）A．20B．10C．4√13D．2√13【解答】解：如图，连接BD，AC．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，则由勾股定理易求得BD＝AC＝2√13．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC=√13，EF∥AC，又GH为△BCD的中位线，∴GH=12AC=√13，GH∥AC，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．同理可得：FG=12BD=√13，EH=12BD=√13，∴EF＝GH＝FG＝EH=√13，∴四边形EFGH是菱形．∴四边形EFGH的周长是：4EF＝4√13，故选：C．6．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：根据图象y1＝kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故①正确，④错误；∵y2＝x+a与y轴负半轴相交，∴a＜0，故②错误；当x＜4时图象y1在y2的上方，所以y1＞y2，故③错误．所以正确的有①共1个．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．2.4【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=√32+42=5，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴PM=12AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样PM 也最短， ∴当AP ⊥BC 时，AP =3×45=2.4， ∴AP 最短时，AP ＝2.4，∴当PM 最短时，PM =12AP ＝1.2． 故选：A ．8．（3分）设681×2019﹣681×2018＝a ，2015×2016﹣2013×2018＝b ，√6782+1358+690+678=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【解答】解：a ＝681×（2019﹣2018）＝681， b ＝2015×（2015+1）﹣（2015﹣2）×（2015+3） ＝20152+2015﹣（20152+2015﹣6） ＝6，c =√6782+2×678+12+690+679 =√(678+1)2+679×2+1+10 =√(679+1)2+10 =√6802+10， ∵6＜√6802+10＜681， ∴b ＜c ＜a ， 故选：B ．9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE=12∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=√2AD=√2，由第二次折叠知，CD＝DE=√2，∴AB=√2．故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+k与x轴，y轴分别交于点B、A，将线段AB沿某个方向平移，点A、B对应的点M、N恰好在直线y＝2x﹣2和直线x＝2上，则当四边形AMNB为菱形时N点坐标为（）A．（2，1）B．（2，2）C．（2，3）D．（2，4）【解答】解：∵直线y＝kx+k与x轴，y轴分别交于点B、A，∴B（﹣1，0），A（0，k），设N（2，a），∵四边形AMNB为菱形，∴M（3，a+k），∵点M在直线y＝2x﹣2上，∴M（3，4），即a+k＝4，∵四边形AMNB为菱形，∴AB＝BN，∴k2+1＝a2+32，∴a＝1，k＝3，∴N（2，1）．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是x≥5．【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5．12．（3分）在一场比赛中，甲、乙两名射击手的5次射击成绩统计如图所示，分别记甲、乙两人这场比赛成绩的方差为S甲2，S乙2，则S甲2＜S乙2（填“＞”或“＜”）．【解答】解：从统计图中可以直观得出，射击手甲的成绩比较稳定，离散程度较小，而射击手乙的成绩离散程度较大，不稳定，所有甲的方差小于乙的方差，故答案为：＜．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=√5，则BC的长为√5+1．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA=√5，在Rt△ADC中，DC=√AD2−AC2=√(√5)2−22=1，∴BC=√5+1．故答案为：√5+1．14．（3分）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n ＝8，则直线AB的表达式为y＝﹣2x+8．【解答】解：设直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+b，把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，解得b＝2m+n，∵2m+n＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+8．故故答案是：y＝﹣2x+8．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为32或3．【解答】解：如图1中，当A，B′，C共线时，∠EB′C＝90°．四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，∴AC =√AB 2+BC 2=√32+42=5， ∵AB ＝AB ′＝3，∴CB ′＝5﹣3＝2，设BE ＝EB ′＝x ，则EC ＝4﹣x ， 在Rt △CEB ′中，∵CE 2＝B ′E 2+B ′C 2， ∴（4﹣x ）2＝22+x 2， ∴x =32，如图2中，当点B ′落在AD 上时，∠CEB ′＝90°，此时四边形ABEB ′是正方形， ∴BE ＝AB ＝3，综上所述，满足条件的BE 的值为32或3．16．（3分）如图，在等边△ABC 和等边△DEF 中，FD 在直线AC 上，BC ＝3DE ＝3，连接BD ，BE ，则BD +BE 的最小值是 √37 ．【解答】解：如图，延长CB到T，使得BT＝DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC＝3DE＝3，∴BC＝AB＝3，DE＝1，∠ACB＝∠EDF＝60°，∴DE∥TC，∵DE＝BT＝1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE＝DT，∴BD+BE＝BD+DT，∵B，W关于直线AC对称，∴CB＝CW＝3，∠ACW＝∠ACB＝60°，DB＝DW，∴∠WCK＝60°，∵WK⊥CK，∴∠K＝90°，∠CWK＝30°，∴CK=12CW=32，WK=√3CK=3√32，∴TK＝1+3+32=112，∴TW=√TK2+WK2=(112)2+(3√32)2=√37，∴DB+BE＝DB+DT＝DW+DT≥TW，∴BD+BE≥√37，∴BD+BE的最小值为√37．故答案为√37．三、解答题17．计算：（1）√20+√12×√10．（2）（1﹣2√3）212√3（√17+√8）0．【解答】解：（1）原式＝2√5+√12×10＝2√5+√5＝3√5；（2）原式＝1﹣4√3+12√3√3×√31＝13﹣4√3+4√3−1＝12．18．解方程：（1）x2+4x+2＝0．（2）x2﹣x+1＝0．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝﹣2，配方得：x2+4x+4＝2，即（x+2）2＝2，开方得：x+2＝±√2，解得：x1＝﹣2+√2，x2＝﹣2−√2；（2）这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，∵b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴此方程无解．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠FDC ＝∠DCF ＝45°， ∵∠E ＝90°，ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠ECD ＝45°， ∴∠FCE ＝∠FDE ＝∠E ＝90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∵DE ＝CE ，∴四边形DFCE 是正方形．20．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 15 20 人数11431（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 10 次，众数是 10 次，平均数是 11 次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 中位数和众数 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 【解答】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是10+102=10（次），众数为10次， 平均数为0×1+5×1+10×4+15×3+20×110=11（次），故答案为：10、10、11；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，故答案为：中位数和众数．（3）估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为200×11＝2200次．21．点P （x ，y ）是第一象限内一个动点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M ，N ，已知矩形PMON 的周长为8．（1）求y 关于x 的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围；（2）直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ），与x 轴交于点B （﹣1，0）． ①求直线l 的解析式；②已知点P 不与点A 重合，且△ABP 的面积为54，直接写出P 点的坐标．【解答】解：（1）由题意可知，2（x +y ）＝8， ∴y ＝4﹣x （0＜x ＜4）．（2）∵直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ）， ∴a ＝4﹣1＝3 ∴A （1，3），①设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，把A （1，3），B （﹣1，0）代入得{k +b =3−k +b =0，解得{k =32b =32， ∴直线l 的解析式为y =32x +32；②如图，∵P （x ，y ）的横坐标和纵坐标的关系式为y ＝4﹣x ， ∴图象与坐标轴的交点E （4，0），F （0，4）， ∴OE ＝OF ＝4， ∴∠AEB ＝45°， 作BD ⊥EF 于D ， ∵BE ＝5， ∴BD =5√22， ∵△ABP 的面积为54，∴12P A •BD =54，即12×5√22•P A =54，∴P A =√22，∴P （12，72）或（32，52）．22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x ≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1650元，求a 的最小值．【解答】解：（1）当0≤x ≤50时，设y ＝k 1x ，根据题意得50k 1＝1500， 解得k 1＝30； ∴y ＝30x ；当x ＞50时，设y ＝k 2x +b ，根据题意得，{50k 2+b =150070k 2+b =1980，解得{k 2=24b =300， ∴y ＝24x +300．∴y ={30x(0≤x ≤50)24x +300(x ＞50)，（2）设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果（100﹣a ）千克，∴40≤a ≤60，当40≤a ≤50时，w 1＝30a +25（100﹣a ）＝5a +2500．当a ＝40 时．w min ＝2700 元，当50＜a ≤60时，w 2＝24a +300+25（100﹣a ）＝﹣a +2800．当a ＝60时，w min ＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a ＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w （元）最少．（3）由题意可设甲种水果为25a 千克，乙种水果为35a 千克 当0≤25a ≤50时，即0≤a ≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×25a +（36﹣25）×35a ≥1650，解得a ≥825053＞125， 与0≤a ≤125矛盾，故舍去；当25a ＞50时，即a ＞125， 则甲种水果的进货总成本是（9.6a +300）元，25a ×40−(25a ×24+300)+35a ×(36−25)≥1650，解得a ≥150，∴a 的最小值为150．23．如图，已知x 轴上有点A （﹣3，0）和点B （1，0），点P 是直线y ＝x 上的动点．（1）当直线y ＝x 平分∠APB 时，求点P 的坐标．（2）若点B 关于直线AP 的对称点B '恰好在线段AB 的垂直平分线上时，求点P 的坐标．（3）若点Q 为（0，4），请直接写出到直线AQ 与到直线AB 距离相等的点P 的坐标．【解答】解：（1）连接AP ，BP ，设AP 与y 轴的交点为点C ，∵直线y ＝x 是一、三象限的角平分线，∴∠COP ＝∠BOP ，∵直线y ＝x 平分∠APB ，∴∠CPO ＝∠BPO ，又∵OP ＝OP ，∴△CPO ≌△BPO （ASA ），∴CO ＝BO ＝1，∴C （0，1），由点A （﹣3，0），C （0，1）得直线AP 的解析式为，y =13x +1，由{y =13x +1y =x ，得：{x =32y =32， ∴P （32，32）． （2）由点A （﹣3，0），点B （1，0）知线段AB 的中垂线为直线x ＝﹣1，设线段AB 的中点为点C ，则C （﹣1，0），∴AC ＝BC ＝2，OC ＝1，OA ＝3，①当点P 在x 轴上方时，如图1，连接AB '，设直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点B 和点B '关于直线AP 对称，∴∠B 'AP ＝∠BAP ，AB '＝AB ＝4，∵AC ＝2，∴AB '＝2AC ，∴∠AB 'C ＝30°，∠B 'AC ＝60°，∴∠B 'AP ＝∠BAP ＝30°，∵OA ＝3，∴OD =√3，∴D （0，√3），设直线AP 解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则{b =√3−3k +b =0，解得：{k =√33b =√3， ∴AP ：y =√33x +√3，由{y =xy =√33x +√3，得：x ＝y =3+3√32， ∴P （3+3√32，3+3√32）； ②当点P 在x 轴下方时，如图2，连接AB '，设直线AP 与y 轴的交点为点D ，由①可知，OD =−√3，∴D （0，−√3），∴AP ：y =−√33x −√3， 由{y =xy =−√33x −√3，得：x ＝y =3−3√32， ∴P （3−3√32，3−3√32）， ∴综上所述，点P 的坐标为（3+3√32，3+3√32）或（3−3√32，3−3√32）． （3）①当点P 在x 轴上方时，记直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点P 到直线AQ 和直线AB 的距离相等，∴AP 是∠QAB 的角平分线，过点D 作DH ⊥AQ 于点H ，则AH ＝AO ＝3，HD ＝OD ，∵AO ＝3，OQ ＝4，∴AQ ＝5，∴HQ ＝AQ ﹣AH ＝5﹣3＝2，设OD ＝HD ＝a ，则QD ＝4﹣a ，∵HD 2+HQ 2＝QD 2，∴a 2+22＝（4﹣a ）2，解得：a =32，∴OD =32，D （0，32）， 此时，直线AP 的解析式为：y =12x +32，由{y =xy =12x +32，得：x ＝y ＝3，∴P （3，3）；②当点P 在x 轴下方时，记直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点P 到直线AQ 和直线AB 的距离相等，∴AP 是∠QAB 的角平分线，过点D 作DH ⊥AQ 于点H ，则AH ＝AO ＝3，HD ＝OD ，∵AO ＝3，OQ ＝4，∴AQ ＝5，∴HQ ＝HA +AQ ＝3+5＝8，设OD ＝HD ＝a ，则QD ＝4+a ，∵HD 2+HQ 2＝QD 2，∴a 2+82＝（4+a ）2，解得：a ＝6，∴OD ＝6，D （0，﹣6），此时，直线AP 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣6，由{y =x y =−2x −6，得：x ＝y ＝﹣2，∴P （﹣2，﹣2）；综上所述：P 点的坐标为（3，3），（﹣2，﹣2）．24．如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，已知点B（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP、AG．（1）求∠P AG的度数．（2）当∠OAG＝∠CPG时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图，在Rt△AOG和Rt△ADG中，{AO=ADAG=AG，∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL），∴∠1＝∠DAG．同理，可证Rt△ABP≌Rt△ADP，∴∠BAP＝∠DAP．∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，∴2∠DAG+2∠DAP＝90°，∴∠P AG＝∠DAG+∠DAP＝45°．（2）∵Rt △AOG ≌Rt △ADG ，∴∠AGO ＝∠AGD ．∵∠1+∠AGO ＝90°，∠2+∠PGC ＝90°，∠1＝∠2，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ．又∵∠AGO +∠AGD +∠PGC ＝180°，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．在Rt △AOG 中，AO ＝3，AG ＝2OG ，AG 2＝AO 2+OG 2，∴OG =√3，∴CG ＝3−√3．在Rt △PCG 中，PG ＝2CG ＝2（3−√3），CG ＝3−√3，∴PC =√PG 2−CG 2=√(6−2√3)2−(3−√3)2=3√3−3，∴点P 的坐标为（3，3√3−3）．（3）存在两个M 点，如图所示．①延长GE 交y 轴于点M 1，∵∠AGO ＝∠PGC ，∠PGC ＝∠M 1GO ，∴∠AGO ＝∠M 1GO ．在△AOG 和△M 1OG 中，{∠AOG =∠M 1OGOG =OG ∠AGO =∠M 1GO，∴△AOG ≌△M 1OG （ASA ），∴AG ＝M 1G ，∴△AGM 1为等腰三角形．∵A （0，3），∴点M 1的坐标为（0，﹣3）；②延长GP 与AB 的延长线交于点M 2，作GF ⊥AB 于点F ．∵∠M 2AG ＝∠AGM 2＝60°，∴△AGM 2为等边三角形，∴GF垂直平分线AM2．∵A（0，3），G（√3，0），∴AF＝M2F=√3，∴点M2的坐标为（2√3，3）．综上所述：点M的坐标为（0，﹣3）或（2√3，3）．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°．①∠GBC+∠DEF＝90°．②猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当EF与AB相交时，且∠DCB＝60°，当AE＝2时，请用线段EG的长表示△AGB的面积．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠EAB＝∠EGB＝90°，∴∠AEG+∠ABG＝180°，∵∠AEG+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠ABG，∵∠GBC+∠ABG＝90°，∴∠GBC+∠DEF＝90°，故答案为：90°．②即可：EG=√2AG﹣BG．理由：如图1中，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．∴∠GAB＝∠HAE．∵∠EGB＝∠EAB＝90°，∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．∴∠ABG＝∠AEH．∵又AB＝AE，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴√2AG＝HG．∴EG =√2AG ﹣BG ．（2）如图2中，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 于点H ，过点B 作BT ⊥AG 交AG 的延长线于T ．∴∠GAB ＝∠HAE ．∵∠EAB ＝∠EGB ，∠APE ＝∠BPG ，∴∠ABG ＝∠AEH ．在△ABG 和△AEH 中，{∠GAB =∠HAE AB =AE ∠ABG =∠AEH，∴△ABG ≌△AEH （ASA ）．∴BG ＝EH ，AG ＝AH ．∵∠GAH ＝∠EAB ＝60°，∴△AGH 是等边三角形．设BG ＝EH ＝x ，则BH ＝AH ＝AG ＝EG ﹣x ，GT =12x ，BT =√32x在Rt △ABT 中，则有（√32x ）2+（EG −12x ）2＝4， ∴EG 2﹣EG •x +x 2＝4，∴﹣x 2+EG •x ＝EG 2﹣4，∴S △ABG =12•AG •BT =12•（EG ﹣x ）•√32x =√34（﹣x 2+EG •x ）=√34•EG 2−√3．。

广东省深圳市福田区2020-2021学年九上期末数学试题(原卷版)

广东省深圳市福田区2020-2021学年九上期末数学试题(原卷版)

（3）如图2，在（2）条件下，连接AP交CO于点D，过点Q作QE⊥AB于E，连接BQ，DE，是否存在点P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5.如图，l1 l2 l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
15.如图，直线y＝ x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线 于C点，且BC交x轴于M点，BM＝2CM，则k＝_____．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18、19、20题各8分．第21、22题各10分，共55分）
16.计算： ﹣（﹣2020）0﹣4cos45°．
A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.已知2x＝3y，那么 的值为_____．
12.一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同．每次摸出1个球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率约为________．
A.3cm2B.4cm2C.5cm2D.6cm2
7.下列说法正确的是（ ）
A.对角线垂直的平行四边形是矩形
B.方程x2+4x+16＝0有两个相等的实数根
C.抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为（1，4）
D.函数 ，y随x的增大而增大
8.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
2020-2021佛山市九年级数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021佛山市九年级数学上期中一模试卷(含答案)

25．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．
14．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为_____．
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为_____．
三、解答题
21．已知关于 的方程 .
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一根．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．

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