工程光学第一章第四节
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( l ) ( l ) ( l ) ( l ) ( l ) l
l
( l )
( l )
( l ) 为正值
l
l4
同理，由ΔMO′P′得：
n
M
n
l'
P
l' l'
l'
l'
2
ls
O
h
r
P
d O
l ' s
l '2
2 )2 d( r s s' l ' ) d ( r l ls' 1 ... 2 4 2 4 s 2s l ' l ' s 、ls'、 r 由傍轴条件：d l
B A
-lB
OB
n’
n -lA
lB
r
n n n n l' l r
C B’ A’
O l’A
（2）做直线BC，该线可视为过B点的副光轴，在此副光轴上，B点 的物距为：
lB
lA r
2
AB
2
r
60 20 10
2
2
20 60.62mm
n n n n l l r
ndl ndl 2 2 0 l l
dl nl 2 2 dl nl
★ 讨论： 1) 0 2)
n 2 n
，物、像沿轴同向移动； ，空间物体成像会发生变形。
5、角放大率
傍轴条件下：
l l'
y nl ' y nl
y与y’同号 像正立
可说明物像大小的比例及 成像的虚实、倒立等性质。
0 0
l与l’同号 物像虚实相反
y与y’异号 像倒立
l与l’异号 物像虚实相同
l 0, y 0 正立实物 0 l 0, y 0 正立虚物 0 l 0, y 0 正立实物 0
h f
例3：空气中有一个半径为r的玻璃球，折射率为n，若以平行光入 射，当玻璃的折射率为多少时，会聚点恰好落在玻璃球的后表面上？ 解：以平行光入射，即物距为 n 无穷大； 会聚点恰好落在玻璃球的后表 面上， 即玻璃球前表面的像方焦点在 l’=f’=2r 后表面上， 即像距等于像方焦距等于玻璃 球直径。 像方焦距 ： f s l 'ss
由费马定理的 等光程性知：
dd r l)' d ( r ls ) (r s n' ' 1 [ PMP ] n( s ] n sl[1 ] l )[1 2 22 2 l' s s l
n( s l [ PMP ] [ POP ] n ) n n'ls'
x x ff
--牛顿公式
焦物距 x 从 F 算起
P
O F x f
C
F'
P'
f
ls
x
焦像距 x’从 F′ 算起 焦距 f ，f′仍从顶点算起
ls'
B A
-lB
OB
n’
n -lA
lB
r
O l’A
C B’
A’
lB ' l A '
垂轴物面上物点离光轴越远，像距越小； 垂轴物体AB经单球面折射成的像A’B’不是垂轴的，即不在过A’ 点的垂轴平面内，AB越大，越弯向球心。 垂直光轴的物平面以细光束入射到单球面后成的像不是平面。
u ——反映折射球面将光束变宽或变细的能力 u
h ul ul '
n
M
n
C
n n
P
——取决于共轭点位置。 u l x f u l ' f x ns s , ns s 由
O O s
u
h
u
P
s
给定介质，垂轴放大率 与角放大率成反比
y Q
y f y x
y f y x
ny ny l l'
y nl ' 或 y nl
表明：在球面系统一定的情况下，垂轴放大率仅仅决定于像距与 物距的比值——决定于物平面和像平面这对共轭面的位置 ——在同一对共轭面上，垂轴放大率为常数。
对于单折射球面，
对于单球面折射，只有傍轴小物体用细光束成像时，才能获得 理想的像，完善的像。
Q
傍轴小物 PQ 高 y，其共轭像P’Q’高 y’
y
i O
i'
C
P
P
F
i
N
y Q
y --像高物高之比（垂轴放大率） y
Q
PQF NOF
i O
相似
y
i'
C
P
P
F
i
N
x 应用牛顿公式 f y y tan i ; tan i 从入射线QO到折射线OQ’，有： l l' tan i sin i n 当物像高都很小时， tan i sin i n
解： （1）由单球面折射成像公式： n r
l’A
n n n l' l r
n n 1.5163 1 n n 1.5163 1 lA ' lA lA ' 60 r 20 1.5163 1 1.5163 1 lA ' 60 20
l A ' 165.75mm
n 1 n
l u , l' u
y nl ' y nl
nyu nyu J
——拉格朗日—赫姆霍兹不变量 推广到多个球面系统 nyu nyu nyu ... J
拉-赫不变量
J nuy nuy
意义：
在物方参数乘积nuy一定的条件下，像高y’的增大，比如伴随 着像方孔径角u’的减小。 任何一种光学系统，对拉赫不变量都有一定限制，超过这一 限制，不完善成像的程度会加剧，而且难以校正。 ——在拉赫不变量的限制范围内，增大视场（y）将以牺牲孔 径（u）为代价。 补充：阿贝正弦条件 6、三者之间关系
3、傍轴小平面物体的细光束成像
M
u
O
垂轴放大率(横向放大率)
P′ 是 P 的像
Q1
S －物方球面元 S －像方球面元
Q2
s
s
P
Q2
s l
r
' ls'
C
u
Q1
P
在傍轴条件下，∆S′ 是∆S的像， ∆S′ 与∆S共轭。 s , s 可视为垂直于主轴的平面元。
n S F n´ F´ S´
解: 已知
n 1, n ' 1.5, r 20mm , l 80mm , y 1mm
n' 1.5 像方焦距为： f ' r 20 60mm n ' n 0.5 n 1 物方焦距为： f r 20 40mm n ' n 0.5
P
O
C
P'
解： 傍轴条件下：
u h 10 0.1 l 100
h ul ul '
h n ' u ' nu n ' n r
（1-25）
h 10 n ' u ' n ' n nu 0.1 1 2 1 0.4 r 20 0.4 u' 0.2 2
故成实像于棒内离顶点12厘米处。
y nl ' 垂轴放大率： y nl
nl ' 1 120 y y 1 1 nl 1.5 80
——成等大倒立的像。
y' y 0
1
故成等大倒立的实像于棒内离顶点12厘米处。
例5：如图所示，一轴上小物体发出傍 轴光束，l= -100mm, h=10mm, r=20mm, n=1,n’=2，求u,u’,l’,β。
h 10 l' 50mm u ' 0.2
nl ' nl
1 50 0.25 2 100
成像与顶点右侧50mm处，是缩小倒立的实像。
成像规律图 以 l 为横坐标, 以 l 为纵坐标, 根据高斯公式作物距和像距关系 曲线。 一条以 l = f， l = ƒ 两直线为渐近线的双曲线，曲线上每一点 都对应光轴上一对共轭点。
由高斯公式： f f 1
l'
l
60 40 1 l ' 120mm 0 l ' 80
或者利用物像距公 式求解像距：
n n n n l' l r
l ' 120mm
1.5 1 1.5 1 l ' 80 20
l 0, l ' 0
物像位于顶点两侧，所以成实像。
§ 1.4 球面光学成像系统
——近轴物体经过单球面折射成像的物像关系 一、单个折射面的成像
n
M
n
P
u
O
h
O
u
C
P
l
r
l'
1、由费马原理导出物像距公式 P到P’的光程:
n
M
h
n
[ PMP ] nPM n MP
由ΔMO′C得：
P
r
O C
O
P
l
d
l'
由ΔPMO′ 得：
像空间 n’
n < n→ < 0
l
( l )
( l )
( l ) 为正值
l
l4
同理，由ΔMO′P′得：
n
M
n
l'
P
l' l'
l'
l'
2
ls
O
h
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P
d O
l ' s
l '2
2 )2 d( r s s' l ' ) d ( r l ls' 1 ... 2 4 2 4 s 2s l ' l ' s 、ls'、 r 由傍轴条件：d l
B A
-lB
OB
n’
n -lA
lB
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n n n n l' l r
C B’ A’
O l’A
（2）做直线BC，该线可视为过B点的副光轴，在此副光轴上，B点 的物距为：
lB
lA r
2
AB
2
r
60 20 10
2
2
20 60.62mm
n n n n l l r
ndl ndl 2 2 0 l l
dl nl 2 2 dl nl
★ 讨论： 1) 0 2)
n 2 n
，物、像沿轴同向移动； ，空间物体成像会发生变形。
5、角放大率
傍轴条件下：
l l'
y nl ' y nl
y与y’同号 像正立
可说明物像大小的比例及 成像的虚实、倒立等性质。
0 0
l与l’同号 物像虚实相反
y与y’异号 像倒立
l与l’异号 物像虚实相同
l 0, y 0 正立实物 0 l 0, y 0 正立虚物 0 l 0, y 0 正立实物 0
h f
例3：空气中有一个半径为r的玻璃球，折射率为n，若以平行光入 射，当玻璃的折射率为多少时，会聚点恰好落在玻璃球的后表面上？ 解：以平行光入射，即物距为 n 无穷大； 会聚点恰好落在玻璃球的后表 面上， 即玻璃球前表面的像方焦点在 l’=f’=2r 后表面上， 即像距等于像方焦距等于玻璃 球直径。 像方焦距 ： f s l 'ss
由费马定理的 等光程性知：
dd r l)' d ( r ls ) (r s n' ' 1 [ PMP ] n( s ] n sl[1 ] l )[1 2 22 2 l' s s l
n( s l [ PMP ] [ POP ] n ) n n'ls'
x x ff
--牛顿公式
焦物距 x 从 F 算起
P
O F x f
C
F'
P'
f
ls
x
焦像距 x’从 F′ 算起 焦距 f ，f′仍从顶点算起
ls'
B A
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OB
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r
O l’A
C B’
A’
lB ' l A '
垂轴物面上物点离光轴越远，像距越小； 垂轴物体AB经单球面折射成的像A’B’不是垂轴的，即不在过A’ 点的垂轴平面内，AB越大，越弯向球心。 垂直光轴的物平面以细光束入射到单球面后成的像不是平面。
u ——反映折射球面将光束变宽或变细的能力 u
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n
M
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C
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P
——取决于共轭点位置。 u l x f u l ' f x ns s , ns s 由
O O s
u
h
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P
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给定介质，垂轴放大率 与角放大率成反比
y Q
y f y x
y f y x
ny ny l l'
y nl ' 或 y nl
表明：在球面系统一定的情况下，垂轴放大率仅仅决定于像距与 物距的比值——决定于物平面和像平面这对共轭面的位置 ——在同一对共轭面上，垂轴放大率为常数。
对于单折射球面，
对于单球面折射，只有傍轴小物体用细光束成像时，才能获得 理想的像，完善的像。
Q
傍轴小物 PQ 高 y，其共轭像P’Q’高 y’
y
i O
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C
P
P
F
i
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y Q
y --像高物高之比（垂轴放大率） y
Q
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相似
y
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x 应用牛顿公式 f y y tan i ; tan i 从入射线QO到折射线OQ’，有： l l' tan i sin i n 当物像高都很小时， tan i sin i n
解： （1）由单球面折射成像公式： n r
l’A
n n n l' l r
n n 1.5163 1 n n 1.5163 1 lA ' lA lA ' 60 r 20 1.5163 1 1.5163 1 lA ' 60 20
l A ' 165.75mm
n 1 n
l u , l' u
y nl ' y nl
nyu nyu J
——拉格朗日—赫姆霍兹不变量 推广到多个球面系统 nyu nyu nyu ... J
拉-赫不变量
J nuy nuy
意义：
在物方参数乘积nuy一定的条件下，像高y’的增大，比如伴随 着像方孔径角u’的减小。 任何一种光学系统，对拉赫不变量都有一定限制，超过这一 限制，不完善成像的程度会加剧，而且难以校正。 ——在拉赫不变量的限制范围内，增大视场（y）将以牺牲孔 径（u）为代价。 补充：阿贝正弦条件 6、三者之间关系
3、傍轴小平面物体的细光束成像
M
u
O
垂轴放大率(横向放大率)
P′ 是 P 的像
Q1
S －物方球面元 S －像方球面元
Q2
s
s
P
Q2
s l
r
' ls'
C
u
Q1
P
在傍轴条件下，∆S′ 是∆S的像， ∆S′ 与∆S共轭。 s , s 可视为垂直于主轴的平面元。
n S F n´ F´ S´
解: 已知
n 1, n ' 1.5, r 20mm , l 80mm , y 1mm
n' 1.5 像方焦距为： f ' r 20 60mm n ' n 0.5 n 1 物方焦距为： f r 20 40mm n ' n 0.5
P
O
C
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解： 傍轴条件下：
u h 10 0.1 l 100
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（1-25）
h 10 n ' u ' n ' n nu 0.1 1 2 1 0.4 r 20 0.4 u' 0.2 2
故成实像于棒内离顶点12厘米处。
y nl ' 垂轴放大率： y nl
nl ' 1 120 y y 1 1 nl 1.5 80
——成等大倒立的像。
y' y 0
1
故成等大倒立的实像于棒内离顶点12厘米处。
例5：如图所示，一轴上小物体发出傍 轴光束，l= -100mm, h=10mm, r=20mm, n=1,n’=2，求u,u’,l’,β。
h 10 l' 50mm u ' 0.2
nl ' nl
1 50 0.25 2 100
成像与顶点右侧50mm处，是缩小倒立的实像。
成像规律图 以 l 为横坐标, 以 l 为纵坐标, 根据高斯公式作物距和像距关系 曲线。 一条以 l = f， l = ƒ 两直线为渐近线的双曲线，曲线上每一点 都对应光轴上一对共轭点。
由高斯公式： f f 1
l'
l
60 40 1 l ' 120mm 0 l ' 80
或者利用物像距公 式求解像距：
n n n n l' l r
l ' 120mm
1.5 1 1.5 1 l ' 80 20
l 0, l ' 0
物像位于顶点两侧，所以成实像。
§ 1.4 球面光学成像系统
——近轴物体经过单球面折射成像的物像关系 一、单个折射面的成像
n
M
n
P
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P
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1、由费马原理导出物像距公式 P到P’的光程:
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P
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像空间 n’
n < n→ < 0
