工程光学习题解答(第1章)(1)(2) m/s(3) 光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1.51=1.99×108 m/s(4) 光在火石玻璃中的速度：v=3×108/1.65=1.82×108 m/s(5) 光在加拿大树胶中的速度：v=3×108/1.526=1.97×108 m/s(6) 光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1.24×108 m/s＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。
那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。
除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）。
3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm ，若将屏拉远50mm ，则像的大小变为70mm ，求屏到针孔的初始距离。
解： 706050=+l l ⇒ l =300mm 657l4．一厚度为200mm 的平行平板玻璃(设n=1.5)，下面放一直径为1mm 的金属片。
若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少? 解：本题是关于全反射条件的问题。
若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。
(1) 求α角：nsin α=n ’sin90 ⇒ 1.5sin α=1 α=41.81︒(2) 求厚度为h 、α=41.81︒所对应的宽度l ： l =htg α=200×tg41.81︒=179mm(3) 纸片最小直径：d min =d金属片＋2l=1+179×2=359mm5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时，发生全反射的可能性。
6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。
7．如图1-15所示，光线入射到一楔形光学元件上。
已知楔角为α，折射率为n ，求光线经过该楔形光学元件后的偏角δ。
α 90h解：αθn(1)求折射角θ：nsinα=n’sinθ若α、θ角度较小，则有：nα=n’θ⇒θ=nα(2)求偏转角δ：δ=θ－α=nα-α=(n-1) α8．如图1-6所示，光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2，光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径(即n0sinI1，其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角)。
9．有一直角棱镜如图1-16所示，其折射率为n。
问光线以多大的孔径角θ0入射时，正好能够经其斜面全反射后出射。
如果棱镜用冕牌玻璃K9（n=1.51630网上获得）制造，试计算θ0的值。
解：孔径光线中最上面的光线是临界点，所以只要该条光线能够全反射，则其它光线都可以满足。
（1） 求满足全反射条件的角α：nsin α=n ’sin90 ⇒ sin α=1/n（2） 求第一折射面的折射角θ1：θ1=180-α-(180-45)=45-α（3） 求第一折射面的入射角θ0：n ’sin θ0=nsin θ1sin θ0=nsin(45-α)（4）当棱镜用冕牌玻璃K9时，计算可得： sin α=1/n=1/1.5163 ⇒ α＝41.26︒θ1=180-α-(180-45)=45-α＝45－41.26=3.74︒ sin θ0=1.5163×sin3.74=0.1 ⇒ θ0=5.67︒10．由费马原理证明光的折射定律和反射定律。
11．根据完善成像条件，证明无限远点与有限远点的等光程反射面为抛物面。
12．导出对一对有限远共轭点成完善像的单个θn 9α折射面的面形方程。
13．证明光学系统的垂轴放大率公式(1-40)和式(1-41)。
14．一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从前表面看到此物点的像正好位于无穷远，试求该玻璃球的折射率n 。
解：即从玻璃球前看到的是平行光线。
(1)已知条件：n 为折射率，n ’=1，l =2r ，l ’=-∞，(2)利用近轴物像位置关系公式：r n n l n l n -=-''' 将已知条件代入： r n r n -=-12 ⇒ n=2（与书后答案不同，本答案正确，可参考16题）15．一直径为20mm 的玻璃球，其折射率为3，今有一光线以60︒入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况。
16．一束平行细光束入射到一半径为r=30mm 、折射率n=1.5的玻璃球上，求其会聚点的位置。
如果在凸面镀上反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜，则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处?反射光束经前表面折射后，会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。
解：（1）已知条件：n ＝1，n ’=1.5，r=30，l =-∞，l ’=?r n n l n l n -=-''' 代入有： 3015.15.1'-=l l ’=90mm 实像（没有考虑第二个折射面）（2）已知条件：n ＝1，n ’=－1，r=30，l =-∞，l ’=?r l l 211'=+ 代入有： 3021'=l l ’=15mm 虚像（3）在第（1）步的基础上进行计算，已知条件：n ＝1.5，n ’=－1.5，r=－30，l =90-60＝30，l ’=?r l l 211'=+ 代入有： 3023011'-=+l l ’=-10mm 实像（4）在第（3）步的基础上进行计算，已知条件：n ＝1.5，n ’=1，r=30，l =60-10＝50，l ’=?r n n l n l n -=-''' 代入有： 305.11505.11'-=-ll ’=75mm 虚像17．一折射球面r ＝150mm ，n ＝1，n ’=1.5，问当物距分别为-∞、-1000mm 、-100mm 、0、100mm 、150mm 和200mm 时，垂轴放大率各为多少?18．一直径为400mm ，折射率为1.5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处。
沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处?如果在水中观察，看到的气泡又在何处?（水的折射率为1.33，网上查询） 解：（1）在空气中：①从左向右看：• 对于1号气泡： 已知条件：n ＝1.5，n ’=1，r=200，l =100，l ’=?r n n l n l n -=-''' 代入有： 2005.111005.11'-=-l l ’=80mm• 对于2号气泡： 已知条件：n ＝1.5，n ’=1，1 2r=200，l =200，l ’=? 代入有：2005.112005.11'-=-l l ’=200mm∴看上去气泡在80mm 处，看到的是1号球的像。
②从右向左看：• 对于1号气泡： 已知条件：n ＝1.5，n ’=1，r=－200，l =－300，l ’=? 代入有：2005.113005.11'--=--l l ’=－400mm• 对于2号气泡： 已知条件：n ＝1.5，n ’=1，r=－200，l =－200，l ’=? 代入有：2005.112005.11'--=--l l ’=－200mm∴看上去气泡在-200mm 处，看到的是2号球的像。
19．有一平凸透镜r 1=100mm ，r 2=∞，d ＝300mm ，n=1.5，当物体在-∞时，求高斯像的位置。
在第二面上刻一十字丝，问其通过球面的共轭像在何处？当人射高度h=10mm 时，实际光线的像方截距为多少？与高斯像面的距离为多少？这一偏离说明什么？ 解：（1）已知条件：n ＝1，n ’=1.5，r=100，l =-∞，l ’=?r nn ln l n -=-''' 代入有：10015.15.1'-=l l ’=300mm（2）通过第（1）步可知：在第二面上刻一十字丝，其通过球面的高斯像在－∞，根据光路可逆。
（3）入射角I sinI=h/r=10/100=0.1 根据折射定律： nsinI=n ’sinI ’ ⇒ 0.1=1.5sinI ’ ⇒ sinI ’=1/15根据正弦定理：)sin(sin''I I r IL-=⇒ L=199.332实际光线的像方截距为：L ＋r=299.332mm 与高斯像面的距离为：300－299.332＝0.668mm说明该成像系统有像差。
20．一球面镜半径r=-100mm ，求β=0、-0.1×、-0.2×、-1×、1×、5×、10×、∞时的物距和像距。
21．一物体位于半径为r 的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像、放大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？L解： rl l 211'=+（1）4'-=-=ll β ⇒ l ’=4l 代入上式，可得：l =5r/8 （2）4'=-=ll β ⇒ l ’=－4l 代入上式，可得：l =3r/8 （3）41'-=-=l l β ⇒ l ’=l /4 代入上式，可得：l =5r/2 （4）41'=-=ll β ⇒ l ’=－l /4 代入上式，可得：l =-3r/222．有一半径为r 的透明玻璃球，如果在其后半球面镀上反射膜，问此球的折射率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？ 解：（1）经过第一折射面时，n=1，l =-∞，n ’=n x ，r=rr nn l n ln -=-'''⇒ r n l n x x1'-= ⇒ 1'-=xxn r n l （2）经过第二反射面时，n=n x ，n ’=-n x ，r=-r ，12-+-=xx n rn r l 代入公式：rl l 211'=+ ⇒()32'--=x x n n r l（3）经过第三折射面时，n=n x ，n ’=1，r=-r ，3)2(2--+-=xxn n r r l ， l ’=-∞代入公式：r n n l n ln -=-''' ⇒ n=2。
