(新课程)高中数学《1.4 全称量词与存在量词》课件 新人教A版选修2-1

[小试身手]
1．下列命题中含有全称量词的是( ) A．至少有一个自然数是 2 的倍数 B．存在小于零的整数 C．方程 3x＝2 有实数根 D．无理数是小数
解析：D 中“无理数”指的是所有的无理数． 答案：D
2．下列语句是特称命题的是( ) A．整数 n 是 2 和 7 的倍数 B．存在整数 n0，使 n0 能被 11 整除 C．x>7 D．∀x∈M，p(x)成立
(2)对于特称命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或 a<f(x0))”为真的问题， 实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数 f(x)的最小值(或最 大值)，即 a>f(x)min(或 a<f(x)max)．
跟踪训练 3 本例条件变为：“存在实数 x，使不等式 sin x＋ cos x>m 有解”，求实数 m 的取值范围．
(2)当 x∈(0，＋∞)时，2x>1>12恒成立，所以命题 q 为真命题．
状元随笔 判断命题 p，q 的真假性．
类型三 含有量词的命题的应用 例 3 对于任意实数 x，不等式 sin x＋cos x>m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
解析：令 y＝sin x＋cos x，x∈R， 因为 y＝sin x＋cos x＝ 2sin(x＋π4)≥－ 2， 又因为∀x∈R，sin x＋cos x>m 恒成立． 所以只要 m<－ 2即可． 所以所求 m 的取值范围是(－∞，－ 2)．
因为当 x＝－1 时，2x＋1>0 不成立，故②为假命题；对于③，这是 特称命题，当 x0＝0 或 x0＝1 时，有 x20≤x0 成立，故③为真命题；对 于④，这是特称命题，当 x0＝1 时，x0 为 29 的约数成立，所以④为 真命题．

类型二 特称命题的否定
例2 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使 x20 －2x0－3＝0； 解答 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假). (2)p：有些素数是奇数； 解答 綈p：所有的素数都不是奇数(假). (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解答 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).
梳理
写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词； (2)将结论否定. 对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p： ∀x∈M，p(x)，它的否定綈p： ∃x0∈M，綈p(x0) . 全称命题的否定是特称 命题.
知识点二 特称命题的否定
思考
尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称 命题否定的方法. (1)有些实数的绝对值是正数； 答案
反思与感悟
对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出 存 在 符 合 条 件 的 元 素 . 一 般 地 ， 对 任 意 的 实 数 x ， a>f(x) 恒 成 立 ， 只 要 a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
跟踪训练3 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； 证明
反思与感悟
全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后 进行否定.
跟踪训练1 写出下列全称命题的否定： (1)p：每一个四边形的四个顶点共圆； 解答 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)p：所有自然数的平方都是正数； 解答 綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根； 解答 綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解答 綈p：存在实数x0，使得 x20 ＋1<0.

情景二 尝试对下述命题进行否定，你 发现有什么规律？
（1）存在有理数，使 x2 20；
（2）有些实数的绝对值是正数。
（ 1 ） 否 定 为 “ 并 非 存 在 有 理 数 x , 使 x 2 2 0 ” .
即 “ 对 所 有 的 有 理 数 x ,x 2 2 0 ” .
命 题 否 定 后 ， 存 在 量 词 变 为 全 称 量 词 ， “ 肯 定 ” 变 为 “ 否 定 ” 。
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不是奇
数；
（2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶点不
共圆；
（3）﹁p： x0∈Z，x02的个位数字等于3.
变式训练:写出下列全称命题的否定,并判断其真假.
1p:对所有的正实数x,都有 xx; 2q:xR,2x33x≥17; 3r:xR,sinxcosx≤2.
新课讲授
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p : xM,p(x)
它的否定 p : xM,p(x)
理论迁移
例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆
（3）p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
复习回顾
1. 全称量词与存在量词的含义及 其符号表示分别是什么？
全称量词：表示“全体”的量词，用符
号“ ”表示；
存在量词：表示“部分”的量词，用符
号“ ”表示.
复习回顾
2.全称命题与特称命题的含义及其一般 表示形式分别是什么？
含 义 一般表示形式
全称命题 特称命题
¬r为假命题.

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全称量词、存在量词【教学目标】1。

知识与技能：（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性．2。

过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力。

3。

情感态度价值观:（1)通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣；（2）用有现实意义的实例,激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想.培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想【教法指导】1.教学重点:理解全称量词与存在量词的意义2.教学难点：全称命题和特称命题真假的判定.【教学过程】☆情境引入☆生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口,都解决了温饱问题"“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加"等等．其中“都"“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？☆探索新知☆1．短语“__________”、“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________"表示，含有全称量词的命题,叫做__________．2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x）成立，可简记为：__________．3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意"、“一切”、“任给”、“全部”，表示__________的含义．4．短语“__________”、“_________”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“__________”表示，含有存在量词的命题，叫做__________．5．特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p（x0)成立，可简记为，______________．6．存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示______________的含义．题型一全称命题与特称命题的辨析例1 （1）下列命题:①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立;②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立;③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．其中是全称命题的个数为（)A．1 B．2C．3 D．4（2）下列命题为特称命题的是（)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3[答案] （1）B （2）D[解析] (1)中，只有②③含有全称量词，故选B。