高中数学推理与证明专题

跟踪练习
(2014～2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程：
已知正实数 a、b 满足 a＋b＝1，求 2a＋1＋ 2b＋1的最
大值．
解：∵
2a＋1· 2≤
2a＋12＋ 2
22＝a＋32，
2b＋1· 2
≤
2b＋12＋ 2
22＝b＋32，
相 加 得 2a＋1 · 2 ＋ 2b＋1 · 2 ＝ 2 ( 2a＋1 ＋ 2b＋1)≤a＋b＋3＝4.
综合法： ∵a、b、c∈R＋，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， ∴2(a2＋b2＋c2)≥(ab＋bc＋ac)， ∴3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， ∴ a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点，熟练应用分析法与综合法证明 命题．
重点难点
• 重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点． • 难点：综合法和分析法的应用．
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1．定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；
• (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的证明 ，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明，常用分析法；
• (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式；

a
成
k ON
b a
k OM，
3 b 4. 4a 3
的弦M［N3 ,上4］，其中M(3,4),N(4,3)，而 表示点P与原点的斜率，
43
所以
即
热点六 基本不等式的应用
1.(2013·郑州模拟)已知角α的终边上有一点 P(t, t2 1)t 0，
4
则tan α的最小值为( )
(A) 1
(B)1
【解析】设首项为a1,公比为q,则由a1·a2·…·a10=32可得
a110q1+2+…+9=32,即a110q45=32.而a110>0，因此q45>0，从
而q>0，
a1 2,q 1
即③正确.其余命题均错误，如当
时满足题a1意，2,q 1
但数列{an}的各项全为负数，故①和④均错；当
时满足题意，故②错误.
平面区 是考查线性规划问题，多为线性目标函数，还会涉及距离、
域与线 斜率等非线性模型，有时还可与平面向量联系
性规划
2.该考点试题主要是选择题、填空题，以考查基础知识为主，
问题
难度为中低档
1.通常有两种考查形式：一是与命题真假判断、充分必要条 热点六： 件判断等交汇在一起，考查对基本不等式成立条件的理解； 基本不 二是考查用基本不等式求最值，求取值范围，求解恒成立问 等式的 题等 应用 2.试题多以选择题、填空题形式出现，主要考查学生灵活运
热点五 平面区域与线性规划问题
x 2,
1.(2013·浙江模拟)已知变量x,y满足约束条件 x y 4,
则z=3x+y的最小值为( )
x y 1,
(A)12
(B)11
(C)8

2016-2017学年高中数学第三章推理与证明 1 归纳与类比 1.1 归纳推理课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．如图所示是一串黑白相间排列的珠子，按这种规律往下排列，那么第36颗珠子的颜色是( )A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大解析：由图可知，三白二黑周而复始相继排列．因为36÷5＝7余1，所以第36颗珠子的颜色与第一颗珠子的颜色相同，即为白色．答案： A2．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( ) A．a k＋a k＋1＋…＋a2k B．a k－1＋a k＋…＋a2k－1C．a k－1＋a k＋…＋a2k D．a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：利用归纳推理可知，第k项中第一个数为a k－1，且第k项中有k项，且次数连续，故第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.答案： D3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝19 531 25,510＝9 765 625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)．∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125，故选D.答案： D4．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)等于( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2解析：凸n＋1边形的对角线条数f(n＋1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n＋1个顶点出发的n－2条对角线和凸n边形的一条边之和，即f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f (n )＋n －1.答案： C 二、填空题 5．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝____________，b ＝________. 解析： 由三个等式知，左边被开方式中整数和分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测6＋a b ＝6a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35. 答案： 6 356．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析： 观察图形的增长规律可得：图(2)从中心点向两边各增长1个点，图(3)从中心点向三边各增长2个点，图(4)从中心点向四边各增长3个点，如此，第n 个图从中心点向n 边各增长(n －1)个点，易得答案：1＋n ·(n －1)＝n 2－n ＋1.本题若从图形的数值变化方面入手也可归纳出结果，但没有从图形的结构方面入手直接．答案： n 2－n ＋1 三、解答题7．观察下表，填表后再解答问题： (1)完成下列表格：解析： (1)16,9；(2)设第n 个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等．观察图形可知8n ＝n 2，解得n ＝8或n ＝0(舍去)．所以第8个图形中“◎”的个数和“☆”的个数相等． 8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2(n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜测a 5及数列{a n }的通项公式．解析： (1)a 2＝2a 1a 1＋2＝23，a 3＝2×2323＋2＝12＝24，a 4＝2×1212＋2＝25.(2)猜想a 5＝26＝13，由(1)猜想a n 的通项公式为a n ＝2n ＋1.9．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则在第n 个图形中共有顶点多少个？解析： 第1个图形中共有顶点12个，第2个图形中共有顶点20个，第3个图形中共有顶点30个．这几个图形中顶点个数的特征是12＝3×4,20＝4×5,30＝5×6，因此猜测第n 个图形中共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个．。

2.2.2反证法[教材研读]，思考以下问题预习课本P42～431．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？2．“反证法”的关键是得出矛盾，那么矛盾可以是哪些矛盾？[要点梳理]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设定义矛盾，或与公理、定理、事实矛盾等．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．反证法属于间接证明问题的方法．()2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．()[答案] 1.√ 2.× 3.√题型一用反证法证明“否定性”命题思考：根据反证法的定义如何证明一个命题？提示：反证法证明可考虑以下步骤：①反设；②归谬；③存真．已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负实根．[思路导引] 此题从正面证明无所适从，可考虑用反证法，即设方程f (x )＝0存在负实根．[证明] 假设方程f (x )＝0有负实根x 0，则x 0<0且x 0≠－1且a x 0＝－x 0－2x 0＋1， 由0<a x 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1， 解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负实根．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．[跟踪训练]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．[证明]假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数，又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．题型二用反证法证明“至多”、“至少”型问题思考：什么样的命题证明可用反证法？提示：直接证明情况比较多，不易证明从词语上看含有“至多”“至少”等词语．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c )a 不能都大于14.[思路导引] 从量词角度分析，该命题的否定只含一种情况．[证明] 假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为a ，b ，c ∈(0,1)，所以1－a >0,1－b >0,1－c >0.所以(1－a )＋b 2>(1－a )b >14＝12.同理(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 三式相加得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>32， 即32>32，矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明时常见的“结论词”与“反设词”[跟踪训练]已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．[证明]假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1<x2，则(x1)＝f(x2)＝0.因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2∈(a，b)且x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假设不成立，故原命题正确．题型三用反证法证明“唯一性”命题已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[思路导引]用反证法，假设存在另一条直线．[证明]根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．①如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC ⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．②如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB，AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.在平面β内经过点A 有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．证明“唯一性”问题的方法“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证明往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证明，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．提醒：证明“有且只有”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[跟踪训练]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．1.反证法的证题步骤：(1)反设；(2)推理归谬；(3)存真，即假设不成立，原命题成立．2．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除[解析]用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．[答案] B2．“a<b”的反面应是()A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[解析]“a<b”的反面即否定，为“a≥b”．[答案] D3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交[解析]在同一平面a与b平行的否定为a与b相交．[答案] D4．否定“等差数列{b n}中任意不同的三项不可能为等比数列”时，正确的反设是：________________________________________.[答案]假设等差数列{b n}中存在不同的三项成等比数列5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．[证明](反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．。