等差数列的定义与通项公式

a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
a 由此可知，等差数列 n 的通项公式为 当d≠0时，这是
an a1 (n 1)d
关于n的一个一 次函数。
10等差数列的图象1
●
9 （1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
8
●
7
6
●
5
4
●
3
2
●
1
●
0 1234
5 6 7 8 9 10
2.2.1等差数列的概念 及通项公式
学习目标： 1.通过实例，理解等差数列的概念. 2.探索并掌握等差数列的通项公式. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问
题. 4.体会等差数列与一次函数的关系.
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
●
等差数列的图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
等差数列的图象3
10 9 （1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8
7 6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差中项
(3) 7x， 3x，-x，-5x，-9x，… 公差 d= -4x
(4) 2，0，-2，-4，-6，…
公差 d= -2 递减数列
(5) 5，5，5，5，5，5，… 公差 d=0 非零常数列

16.在等比数列 {an }中,a3a4a5 3,a6a7a8 24, 则 a9a10a11 D
A. 48 B. 72 C. 144
D. 192
17.在等比数列{an } 中,2a4 a6 a5
则公比q等于: C
A. 1或2 B. -1或-2 C. 1或-2 D. -1或2
课堂小结 （1）等比数列的定义 （2）等比数列的通项公式及推导方法
3、在等比数列{an}中, a2 2, a5 54 ,求a8.
练习：
4、若等比数列{an}, a4=1, a7=8,则a6与a10的等比中项是 __±__1_6_.
5、若等比数列{an}中, ⑴⑵若若已已知 知aa23=a44a,a55==8,求12,a求2aa6n的; 值.
练习：
6、有三个数成等比数列，若它们的积
3、a1 .an
.p..,aqa22.a.Na1仍n ,且 为1 m等a比3n.a数np列2其q,.则公.. a比m 为anq1
a
p

a
q
4、等比数列所有奇数项符号相同；所有偶数项 符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法: an1 q(是与n无关的数或式子 ,且q 0）
N=N+1 A=A*(1/2)
N5？
结束
例3．在4与 1 之间插入3个数，使这5个数成等 4
比数列，求插入的3个数。
解：依题意，a1=4，a5

1 4
由等比数列通项公式得 1
q4

a5 a1

1 16
所以 q 2
1
因此插入的3个数依次是2，1 1
，
2
或－2，1，－ 2

实际应用：等差数列在实际生活中也有很 多应用，如等差数列求和在实际计算中的 应用，等差数列在统计学中的应用等。
在物理中的应用
弹簧振子的周期公式：等差数列通项公式在弹簧振子的周期计算中的应用。 放射性元素的衰变：等差数列通项公式在放射性元素的衰变计算中的应用。 音阶和乐谱：等差数列通项公式在音阶和乐谱计算中的应用。 光的干涉和衍射：等差数列通项公式在光的干涉和衍射计算中的应用。
an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式
为an=a1*q^(n1)，其中q表示公
比。
添加标题
性质不同：等差数 列具有对称性，即 从第一项开始每隔 两项取一项，数列 中剩下的项仍然是 一个等差数列；而 等比数列具有周期 性，即从第一项开 始每隔若干项取一 项，数列中剩下的 项仍然是一个等比
数列。
添加标题
通项公式不同：等 差数列的通项公式 为an=a1+(n-1)d， 其中d表示公差；等 比数列的通项公式 为an=a1*Hale Waihona Puke ^(n1)，其中q表示公比。
添加标题
应用上的联系
等差数列与等比数列在金融领域的应用 等差数列与等比数列在计算机科学中的应用 等差数列与等比数列在物理学中的应用 等差数列与等比数列在数学教育中的应用
06
等差数列与等比数 列的区别与联系
定义上的区别
等差数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的差等于同一个常数
等比数列：从第二项开始，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数
性质上的区别
定义不同：等差数 列是指相邻两项的 差相等的数列，而 等比数列是指相邻 两项的比值相等的
数列。
添加标题
符号不同：等差数 列的通项公式为

等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。