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第三章 刚体得定轴转动
教学要求
一.理解定轴转动刚体运动得角速度与角加速度得概念,理解角量与线量得关系。
二.理解刚体定轴转动定律,能解简单得定轴转动问题。
三.了解力矩得功与转动动能得概念。
四.了解刚体对定轴得角动量定理及角动量守恒定律。
五.理解转动惯量得概念,能用平行轴定理与转动惯量得可加性计算刚体对定轴得转动惯量。
基本内容
本章得重点就是刚体定轴转动得力矩、转动惯量、角动量等物理量得概念与转动定律,难点就是刚体绕定轴转动得角动量守恒定律及其应用。
一.角量与线量得关系
2rararvrsnt
二.描述刚体定轴转动得物理量与运动规律与描述质点直线运动得物理量与运动规律有类比关系,有关得数学方程完全相同, 为便于比较与记忆,列表如下。只要将我们熟习得质点直线运动得公式中得x、v、a与m、F换成、、与I、M, 就成为刚体定轴转动得公式。
表3—1
质点得直线运动 刚体定轴转动
位置 x 角位置
位移 x 角位移
速度 txvdd 角速度 td d
加速度 22ddddtxtva 角加速度 2ttdddd2 匀速直线运动 vtxx0 匀角速转动 t 0
20021attvxx 20021 tt++ =
北理珠09-10（2）大学物理B 第三章 刚体定轴转动定律（自测题） 第1页
一、判断题
1. 刚体是质点与质点之间的相对位置保持不变的质点系。 ………………………………[ ]
2. 刚体中任意质点都遵循质点力学规律。 …………………………………………………[ ]
3. 定轴转动的刚体上的每一个质点都在作圆周运动，都具有相同的角速度。 …………[ ]
4. 刚体对轴的转动惯量越大，改变其对轴的运动状态就越困难。 ………………………[ ]
5. 刚体质量一定，其转动惯量也就一定。 …………………………………………………[ ]
6. 当作用在刚体上的两个力合力矩为零时，则它们的合力也一定为零。 ………………[ ]
7. 当作用在刚体上的两个力合力为零时，则它们的合力矩也一定为零。 ………………[ ]
8. 平行于转轴的力对刚体定轴转动没有贡献。 ……………………………………………[ ]
9. 刚体所受合外力矩为零时，刚体总角动量守恒。 ………………………………………[ ]
10. 刚体对某一轴的角动量守恒，刚体的所受合外力矩为零。 ……………………………[ ]
二、填空题
11. 质量为m的质点沿半径为r的圆周以速率v运动，质点对过圆心的中心轴转动惯量J ，角动量L ；质量为m的质点沿着直线以速率v运动，它相对于直线外距离为d的一点的角动量为L 。
12. 长度为l的均匀细棒放在Oxy平面内，其一端固定在坐标原点O位置，另一端可在平面内自由转动，当其转动到与x轴正方向重合时，在细棒的自由端受到了一个34Fij牛顿的力，则此力对转轴的力矩M__________。
13. 在Oxy平面内有一个由3个质点组成的质点系，其质量分别为1m、2m、3m，坐标分别为11,xy、22,xy、33,xy，则此质点系对z轴的转动惯量J__________。
第3章 刚体的定轴转动
刚体定轴转动所遵从的力学规律，实际上是质点运动的基本概念和原理在刚体中的应用。重要的概念有转动惯量和力矩。刚体的动能和角动量都有其特殊的表达式，但守恒定律同样适用于包括刚体的系统。
§1 刚体的运动
一 刚体
刚体是固体物件的理想化模型。实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时，这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当做刚体处理。这就是说，刚体是受力时不改变形状和体积的物体。
刚体可以看成由许多质点组成，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚体这个质点系的特点是，在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。既然是一个质点系。所以关于质点系的基本定律就都可以应用。当然，由于刚体这一质点系有其特点，所以这些基本定律就表现为更适合于研究刚体运动的特殊形式。
二 刚体的运动形式
刚体的运动可以是平动、转动或二者的结合。
如果刚体在运动中，连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行，这样的运动就叫平动。在平动时，刚体内各质元的运动轨迹都一样，而且在同一时刻的速度和加速度都相等。因此在描述刚体的平动时，就可以用一点的运动来代表，通常就用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。平动是刚体的基本运动形式之一。
转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动：随基点（可任选）的平动，绕通过基点的瞬时轴的定点转动。
三 刚体定轴转动的运动学描述
刚体的定轴转动是最简单的转动情况。在这种运动中各质元均做圆周运动，而且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上，这条直线叫转轴。
刚体绕某一固定转轴转动时，各质元作圆周运动的轨道半径不同，所以各质元的线速度、加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变，所以描述各质元运动的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一样的。因此描述刚体整体的运动时，用角量最为方便。
第三章刚体定点转动
第三章刚体定点转动
§3.1定点转动运动学
一、什么是定点转动？
刚体转动时，如果刚体内只有一点始终保持不动，这种运动叫刚体的定点转动。由于做定点转动时刚体上有一点固定不动，一般以定点为基点。陀螺、回转罗盘（用于航空和航海方面）等，都是刚体绕定点转动的实例。它们都只有一点不动。如图3.1.1所示的常平架中的圆盘可绕对称轴z O ′转动，对称轴固结在内悬架上，内悬架可绕固结于外悬架的
图3.1.1
此，ON 轴转动而外悬架又可绕固定轴
Oz 转动，此三轴的交点O 则是始终不动的，所以这种运动和定轴转动的情形不同。 二、定点转动和定轴转动的联系与区别 1．联系：定点转动可以看成绕瞬时轴的定轴转动。把某一瞬时角速度ω的取向，亦即在该瞬时的转动轴叫转动瞬轴。跟转动瞬心相仿，转动瞬轴在空间和刚体内各描绘一个定点在O 的锥面，前者叫空间极面，后者则叫本体极面。刚体绕固定点的转动，也可看作时本体极面在空间极面上作无滑动的滚动，如图3.1.2所示。
2．区别：
（1）关于转轴：定点转动的轴恒通过一定点，但其在空间的取向随着时间的改变而改变，定轴转动的转轴在空间的取向不变。
（2）关于角速度：定点转动矢量的量值和方向都是时间的函数。而定轴转动的角速度方向恒沿着固定的转动轴，量值可以是时间的函数。
ω
三、定点转动时刚体上任一点的速度
r dt r d v v v
v ×==ωυ （3.1.1） P
图3.1.3
如图3.1.3所示,刚体上任一点P 的运动可以看成是绕瞬时轴的转动,所以其速度在圆周的切线方向,大小为R ωυ=.
四、定点转动时刚体上任一点的加速度
由加速度的定义知
r r r dt
d r r dt d r dt d dt d a v
v v v v v
v v v v v v v v v v v
2)()(ωωωωωωωυωωυ??+×=××+×=×+×==
而 R r r v v v v v 2
