最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》预习导航2

2.3

数学归纳法

学 习 目 标 核 心 素 养

1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点) 1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.

2.通过数学归纳法的应用，培养学生的逻辑推理的核心素养.

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；

(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

[提示] 不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.

2．数学归纳法的框图表示

1．下面四个判断中，正确的是( )

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1

B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k

C．式子1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13

D．设f (n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋13n＋1(n∈N*)，则f (k＋1)＝f (k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4

C [A中，n＝1时，式子＝1＋k；

B中，n＝1时，式子＝1；

C中，n＝1时，式子＝1＋12＋13；

D中，f (k＋1)＝f (k)＋13k＋2＋13k＋3＋13k＋4－1k＋1.故正确的是C.]

2．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n＝________成立．

[答案] 2

3.已知Sn＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n－12n＋1，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想Sn＝________.

湖北省松滋市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法导学案 新人教A版选修2-2

1 湖北省松滋市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法导学案 新人教A版选修2-2

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2 数学归纳法

【学习目标】

了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

【重点难点】

重点：理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。

难点：运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系.

【使用说明与学法指导】

1。课前用20分钟预习课本P92-95内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2.独立思考，认真限时完成，规范书写.课上小组合作探究，答疑解惑。

【问题导学】

1。什么是数学归纳法?

一般的,当要证明一个命题对于不小于某正整数0n的所有正整数n都成立时，可以用以下两个不骤：

（1）证明当0nn时命题成立;

（2）假设当n=k(0,kNkn且)时命题成立，证明1nk时命题也成立。

在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对不小于0n的所有正整数都成立。这种证明方法成为数学归纳法. 2.数学归纳法是用来证明 与正整数有关

预习导航

请沿着以下脉络预习：

1．反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾或与假设矛盾或与定义、定理、公理、事实矛盾等．

3．用反证法证明命题“若p则q”时，┐q假，q即为真吗？

提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，┐q是q的反面，若┐q为假，则q必为真．

4．怎样理解反证法的概念？

提示：(1)反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．

(2)反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．

5．反证法解题的实质是什么？

提示：用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；要注意用反证法解题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾．

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )．

①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．

A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③

答案：C

解析：由反证法的定义知，应选C.

2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )．

A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数

高中数学课程

1 2.3数学归纳法

在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．

问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？

提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．

问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？

提示：一些与正整数n有关的问题．

1．数学归纳法

一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

2．数学归纳法的框图表示

1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．

2．应用数学归纳法时应注意：

(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可；

(2)在证明n＝k＋1命题成立时，必须使用归纳假设的结论，否则就不是数学归纳法．

[对应学生用书P44]

[对应学生用书P45] 高中数学课程

2 用数学归纳法证明等式

[例1] 用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n22n－12n＋1＝nn＋122n＋1.

[思路点拨] 证明n＝1时成立→假设n＝k时成立→证明n＝k＋1时成立→结论得证

[精解详析] (1)当n＝1时121×3＝1×22×3成立．

(2)假设当n＝k时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，

则121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝kk＋122k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，

即当n＝k＋1时等式也成立．

由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立．