【数学理】北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理试题

顺义区2013届高三第一次统练

数学试卷(理工类)

一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.已知集合021,012xxxBxxARR,则BA

A.1, B.21,1 C.2,21 D.,2

2.在复平面内,复数ii221对应的点的坐标为

A.1,0 B.1,0 C.53,54 D.53,54

3.参数方程tytx21,2(为参数)与极坐标方程sin所表示的图形分别是

A.直线、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.圆、直线

4.已知向量kba,2,1,2,且baa2,则实数k

A.14 B.6 C.6 D.14

5.如图,ACAB,分别与圆O相切于点ADECB,,是⊙O的割线,连接CEBEBDCD,,,.则

A.DEADAB2

B.CEACDECD

C.CEBDCDBE

D.CDBDAEAD

6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为

A.36 B.30

C.24 D.12

7.设不等式组01,0,4xxyyx表示的平面区域为D.若圆22211:ryxC 0r不经过区域D上的点,则r的取值范围是

A.52,22 B.23,22

C.52,23

D.,5222,0

8.已知函数xxf2sin,其中为实数,若6fxf对Rx恒成立,且ff2.则下列结论正确的是

A.11211f B.5107ff

C.xf是奇函数 D.xf的单调递增区间是Zkkk6,3 DAOBCE二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)

9.执行如图所示的程序框图,输出的s值为 .

10.在ABC中,若815sin,41cos,4ABb,则a ,c .

11.下图是根据50个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是5.26,5.20,样本数据的分组为5.21,5.20, 5.22,5.21,5.23,5.22,5.24,5.23,5.25,5.24,5.26,5.25.由图中数据可知a

;样本中平均气温不低于23.5℃的城市个数为

.

12.已知定义域为R的偶函数xf在0,上是减函数,且221f,则不等式22xf的解集为 .

13.在平面直角坐标系xOy中,设抛物线xy42的焦点为F,准线为Pl,为抛物线上一点,lPA,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120,那么PF .

14.函数xf的定义域为A,若Axx21,且21xfxf时总有21xx,则称xf为单函数.例如,函数Rxxxf1是单函数.下列命题:

①函数Rxxxxf22是单函数;

②函数2,2,2,log2xxxxxf是单函数;

③若xf为单函数,Axx21,且21xx,则21xfxf;

④函数xf在定义域内某个区间D上具有单调性,则xf一定是单函数.

其中的真命题是 (写出所有真命题的编号). 开始

3,1si

4i 11sss

1ii

输出s

结束 否 是

20.5 21.5 22.5 23.5 24.5 25.5 26.5 平均气温/℃ 频率/组距

0.26

0.22

a

0.12 0.10

O 三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知函数0,,sin2162cos62cos2Rxxxxxf的最小正周期为.

(I)求的值;

(II)求函数xf在区间3,4上的最大值和最小值.

16.(本小题满分13分)

已知na为等差数列,且8,152aa.

(I)求数列na的前n项和;

(II)求数列nna2的前n项和.

17.(本小题满分13分)

现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为43,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为32,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中两次的概率;

(II)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX;

(III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.

18.(本小题满分14分)

设函数12,03123bbxxgaaxxxf.

(I)若曲线xfy与曲线xgy在它们的交点c,1处具有公共切线,求ba,的值;

(II)当ba21时,若函数xgxf在区间0,2内恰有两个零点,求a的取值范围;

(III)当121ba时,求函数xgxf在区间3,tt上的最大值.

19.(本小题满分14分)

已知椭圆11:222ayaxC的上顶点为A,左焦点为F,直线AF与圆0726:22yxyxM相切.过点21,0的直线与椭圆C交于QP,两点.

(I)求椭圆C的方程;

(II)当APQ的面积达到最大时,求直线的方程.

20.(本小题满分13分)

已知数列na的前n项和为nS,且点nSn,在函数221xy的图像上.

(I)求数列na的通项公式;

(II)设数列nb满足:*,011Nnabbbnnn,求数列nb的前n项和公式;

(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的*Nn不等式1nnbb恒成立,求实数的取值范围.

顺义区2013届高三第一次统练

数学试卷(理工类)参考答案

一、BABD CCDD

二、9.2 10.3,2 11.0.18,33

12.,1 13.4 14.③

三、

15.解:(I)

xxxxxxf2cos6sin2sin6cos2cos6sin2sin6cos2cos

xx2cos2sin

42sin2x.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

因为xf是最小正周期为,

所以22,

因此1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

(II)由(I)可知,42sin2xxf,

因为34x,

所以1211424x.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分

于是当242x,即8x时,xf取得最大值2;„„„„„„„11分

当442x,即4x时,xf取得最小值1.„„„„„13分

16.解:(I)设等差数列na的公差为d,

因为8,152aa,

所以84,111dada

解得3,41da,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

所以73134nnan,„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 因此3,73,2,1,7373nnnnnan„„„„„„„„„„„„„„„4分

记数列na的前n项和为nS,

当1n时,411aS,

当2n时,5212aaS,

当3n时,nnaaaSS432

737437335n

=10211232732252nnnn,

又当2n时满足此式,

综上,2,1021123,1,42nnnnSn„„„„„„„„„„„„„„„„8分

(II)记数列nna2的前n项和为nT.

则nnnaaaaT222233221,

nnnnnaaaaaT11342312222222,

所以nnnnadaT132122222.

由(I)可知,73,3,41nadan,

所以1112103202732121438nnnnnnT,

故1210320nnnT.„„„„„„„„„„„„„„„„„„13分

17.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件A,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C,“该射手射击乙靶命中”为事件D.

由题意知,32,43DPCPBP,

所以CDBPDCBPDBCPAP

DPCPBPDPCPBPDPCPBP