欧拉方程求解线性非齐次高阶方程特解待定系数法

1 / 5 4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法

(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to

find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)

[教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.

[教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中f(t)的形式合适选择特解的形式.

[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3

[考核目标]

1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式 2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组; 3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.

1. 认识欧拉方程.

(1) 称形如0qypxy''y'x2为欧拉等量纲方程（Euler’s equi-dimensional equation），其中p和q都是常数.

(2) 解法：令自变量替换tex将原方程化为常系数方程：

dtdye(dx/dt)1dtdydxdtdtdydxdyt； dtdydtdyxedxdyxt；

)dxdtdtyd(edtdy)dxdte()dtdy(edxddxyd22ttt22；

2222t2t2222dtyddtdy-)dxdtdtyd(exdtdy)dxdte(xdxydx；

因此，原方程化为0qydtdy1)(pdtyd22，这是一个常系数线性微分方程.

令)x(yeyλλt代入方程得到，方程为0q)1)λ(p(λe2t（或0qpλ1)λ(λ），称0qpλ1)λ(λ为欧拉方程的特征方程.

由此得到新方程的基本解组为tλtλ21e,e或tλtλ11 te,e，或)sin(),cos(tetett.

返回原变量得到欧拉方程的基本解组为21λλx,x或11λλx|x|ln ,x，或|)|lnsin(|),|lncos(xxxx. 2 / 5

例52. 求解微分方程0ydxdy xdxdx222y.

解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令λtλexy，得到欧拉方程的特征方程为

01λ1)-λ(λ，解得01)(λ2. 于是1λ为二重根.

于是得到欧拉方程的基本解组为tt te,e，返回原变量为11x|x|ln ,x，因此原欧拉方程的通解为Rc,c |,x|xlncxcy2121.

例53 Find the general solution of the following equation: (1) 010y3xy''y' x2;

Solution (1) Let λλtxey，then the associated characteristic equation of Euler equation is

0103λ1)λ(λ. By solving the algebraic equation, we get 3i12i62λ1,2.

Then two dependent solutions to the new equation is sin(3t)e cos(3t),ett, and fundamental

solutions to Euler equation is |)x|sin(3ln x|),x|cos(3lnx11.

Therefore, the general solution is given by |)x|sin(3lnxc|)x|cos(3lnxcy1211,

21c,care two independent variables.

作业47. Find the general solution of each of the following equation: (1) 012y2xy''y'x2;

(2) 04y3xy''y'x2; (3) 05ydxdy3xdxydx222.

2. 非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients’ method)

（1）非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程f(t)q(t)dtdxp(t)dtxd22. 若(t) x(t),x21为0q(t)dtdxp(t)dtxd22的基本解组且(t)x*为原非齐次方程的一个特解，则原 非齐次线性方程的通解为(t)x(t)xc(t)xcx(t)*2211

其中Rc,c21. (一般地结论参见教材P127定理7)

（2）待定系数方法求解非齐次方程的特解

例54. 求解二阶非齐次方程(1) 2t6xdtdxdtxd22; (2)2tdtxd22的一个特解. 3 / 5 解：(1) 方程的特征方程为062，得到2λ 3,λ21. 猜想：原方程具有如下形式特解：BAt(t)x*（原因是2 tC经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为1，方程两边比较得到C=0），代入方程得到2t6B6AtA，比较系数得到06BA26A，得到181B ,31A。因此所求原方程的一个特解为181t31-(t)x*.

(2) 由题意可设特解形式为23*BtAt(t)x，2B6At dtxd 2Bt,3Atdtdx2*22*（原因是2Ct经过两次求导是常数，不可能等于2t），代入原方程并比较t的系数得到，2t6At，得到0B ,31A. 因此，所求特解为3*t31(t)x.

小结：考察f(t)q(t)dtdxp(t)dtxd22，cbtatf(t)2，（1）若0不是相应齐次方程特征方程的特征根，则可设特解形式为CBtAt(t)x2*；(2)若0是微分方程的特征方程的k重特征根，则可设特解形式为 C)Bt(Att(t)x2k*.

作业48 求方程13t3ydtdy2dtyd22的通解.

例55. 求解二阶非齐次方程(1) t22e2t 6xdtdxdtxd; (2)3t22e2t 6xdtdxdtxd的通解.

解：(1) 方程的特征方程为06λλ2，特征根为1λ 3,λ21. 令yext，则原方程可化为2tyq~dtdyp~dtyd22. 由上例分析知，新方程具有如下形式特解BAty*，于是原方程具有形式特解B)(Atext*，A eB)(Atedtdxtt*，

A,e2B)(Ate tdxdtt2*2代入原方程得到，06BAB2AB26AAA，得到181B 1/3,A. 所求特解为)181t31(-ext*. 因此，原方程的通解为)181t31(-eececxt2t-23t1*，Rc,c21. 4 / 5 (2) 方程的特征方程为06λλ2，特征根为1λ 3,λ21. 令yext，则原方程可化为2tyq~dtdyp~dtyd22. 由前面齐次线性方程知识和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重数为k=1，于是新方程具有如下形式特解B)t(Aty*，于是原方程具有形式特解Bt)(At eB) t(Atex23t3t*，B)2AtBt3(3Atedtdx23t*，

2A),6B12A)t9B((9Ate)A23B(6Ate3B)6At9Bt(9Ate tdxd23t3t23t2*2代入原方程得到，0B2A6B26BA2B3A219B 06A3A-9A，得到252B 1/5,A.

所求特解为)251t51(ex3t*.

作业49 求方程(1) 3tey3y''2y'; (2) 1)(3te3ydtdy2dtydt22的通解.

例55. 求解二阶非齐次方程(1) cos(2t)4xdtdx4dtxd22;

(2) cos(2t)e4xdtdx4dtxd2t22 的通解.

解：(1) 方程的特征方程为0442，得到二重根22,1，于是相应的齐次方程的基本解组为2t2t te,e. 改写)Re(ecos(2t)f(t)i2t .

考察新方程 t2i22e4xdtdx4dtxd，注意到i2不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i*Aez，于是 t2i22*2 t2i*Ae2i)( tdzd,2iAedtdz，

代入方程得到，14A8Ai4A，于是i818i1A，因此特解为cos(2t)81sin(2t)81z*i. 5 / 5 注意到)Re(zx**为方程)Re(ecos(2t)4xdtdx4dtxd2it22的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)81x*. 因此，原方程的通解为sin(2t)81tececx2t22t1，Rc,c21.

(2) 方程的特征方程为0442，得到二重根22,1，于是相应的齐次方程的基本解组为2t2t te,e. 改写)Re(ecos(2t)ef(t)i 2t)(22t.

考察新方程)t 2i(222e4xdtdx4dtxd，注意到2i2不是相应齐次方程特征方程的特征根，因此，由上例可设新方程的形式特解为 t2i)(2*Aez，于是 t2i22*2 t2i*Ae2i)2( tdzd,2i)Ae2(dtdz，

代入方程得到，14A8iA8A8Ai，于是40016i-12i)61(121A，因此特解为cos(2t))]251sin(2t)1003i(sin(2t)251cos(2t)1003[ez2t*.

注意到)Re(zx**为方程)Re(ecos(2t)e4xdtdx4dtxd2i)t(22t22的解，因此，所求方程的一个特解为sin(2t)]251cos(2t)1003[ex2t*. 因此，原方程的通解为sin(2t)]251cos(2t)1003[etececx2t2t22t1，Rc,c21.

作业50 求方程(1) tcosey32y''y't的通解.