浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练(无答案)：求不定方程整数解几种方法

第十七讲二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块分，铅笔每支角分，问角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了块橡皮，支铅笔，于是根据题意得方程．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个值，就可以得到一个值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支角分，所以角钱最多只能买到支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是，，，，支，即的取值只能是，，，，这五个．若，则，不是整数，不合题意；若，则，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，角钱刚好能买块橡皮与支铅笔，或者块橡皮与支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程的正整数解．解我们知道：，，，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果，是互质的正整数，是整数，且方程①有一组整数解，则此方程的一切整数解可以表示为其中，±，±，±，…．证因为，是方程①的整数解，当然满足，②因此()()．这表明，也是方程①的解．设＇，＇是方程①的任一整数解，则有＇＇. ③③②得(＇)＇(＇)．④由于(，)，所以｜＇，即＇，其中是整数．将＇代入④，即得＇．因此＇，＇可以表示成，的形式，所以，表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例求的整数解．解法将方程变形得因为是整数，所以应是的倍数．由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法先考察，通过观察易得×()×()，所以×(×)×(×)，可取，．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一形式．例求方程的非负整数解．解因为(，)，所以方程两边同除以得．①由观察知，，是方程②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由③，④得≤≤，所以只有，两种可能．当时，，；当时，，．所以原方程的非负整数解是例求方程的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程①的最小系数除方程①的各项，并移项得因为，是整数，故也是整数，于是．Ｔ儆*除此式的两边得．④由观察知，是方程④的一组解．将，代入③得．代入②得．于是方程①有一组解，，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取，．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例求方程的整数解．解×，×，×．为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得××××()××＝×(×)×＝×××()×．由此可知，是方程的一组整数解．于是×()，×是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？解设需枚分，枚分恰好支付分，于是. ①所以由于≤，所以≤，并且由上式知｜()．因为(，)，所以｜，从而，，，，①的非负整数解为所以，共有种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例求方程的整数解．解设，即，于是．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去，得大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买，，只，由题意列方程组①化简得．③③②得，即．解得于是的一个特解为由定理知的所有整数解为由题意知，＜，，＜，所以由于是整数，故只能取，，，而且，，还应满足．即可能有三种情况：只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡．练习十七．求下列不定方程的整数解：() ；()；()＝．．求下列不定方程的正整数解：()； ()．．求下列不定方程的整数解：()； ()．．求不定方程的整数解．．求不定方程组的正整数解.个人整理，仅供交流学习--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
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对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
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【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
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邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子

求不定方程整数解的方法浅析摘要:第一章：引言所谓不定方程，是指未知数的个数多于独立方程式的个数的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解抑或是其全部整数解都是相当困难的，有时甚至是不可能的或不现实的.然而，在现实生活中，特别是一些具体的生活实例中，它的应用又是非常的广泛的；另外，不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分体现，每年世界各地的数学竞赛中，不定方程问题都占有一席之地；它也是培养和考查学生数学思维的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求选手对初等数论的一般理论、方法要有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决相关问题.数千年来，不定方程问题一直是一些数学家甚至草根阶级的数学爱好者研究的热点问题，仿佛它是一块资源丰富的土地，每个人都能有希望在这占有自己的一席之地.也正是由于它具有这样一个特点，不定方程的类型，以及解各类不定方程的各种方法层出不穷，求解各类不定方程也几乎毫无固定章法可循，而本文，只针对于不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义；并且着重针对中学数学竞赛中的不定方程整数解问题进行分析，研究其方法，思想，具有一定的教学意义；另外，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.第二章：解决某些不规则类不定方程的常规思想方法1、不等式分析法其一般操作步骤：想办法通过构造不等式求出其中某个（某些）变量的范围；根据该变量的范围求出该变量的整数解；分情况讨论该变量分别取某个整数解时其他变量的取值.常见的构造不等式的技巧：注意题中的隐含条件，常见的如：1）若给出的是对称形式的不定方程，解题是可增加一个“不妨设x _ y _ z _上”的条件.2）若题目要求是正整数解，则有“ x_1,y_1,z_1,上”若要求是相异的正整数，则有“ x_1,y _2,z_3,上” 利用基本不等式求变元范围，常见的如“x • y 2 _4xy ”分离变量：可将某个变量分离出来，并通过该变量的范围求其他变量的范围.④可利用二次方程有整数解的条件，即“也＞0 ”，或更强点的“，为完全平方数”.常规应用：一般在某些对称式中能用到此方法进行放缩估值；在具体的限制某个（或某些）变量的范围时，可分离变量利用此方法对其他变量进行估值；对于方程“ UX2 vx w=O （其中u,v,w是常数或者是含其他变量的式子）”可利用关于x的方程有整数根的条件，即“厶_ 0 ”,或更强点的“厶为完全平方数”对其他变量进行估值；④具体能通过变形转化为关于某些整体的表达式，再利用常规不等式进行估值，比如”转化为关于x+y与xy的表达式，用（x +y 律4xy等“例1求不定方程（x + yf=x3+y3的正整数解.解：方法1：由于此不定方程是对称的，这里不妨设x_y_1，则x3+ y3 =（x + y j M（2x 予二x2（4-x）Ky3y3二 4 - x K —> 0x:、x = 1,2,3.1）当x=1 时,1 乞y 乞x2（4 一x） = 1y= 1经检验：x, y = 1,1不满足方程；2）当x=2 时，1空y x2（4 — x） = 2y = 1,2.经检验：x,y二2,1满足方程，2"二2,2满足方程；1 < x2(4 — x) =3y = 1,2,3.经检验：X, y二3,1不满足方程，x, y i=】3,2不满足方程，x, y = 3,3不满足方程；二综上所述：取消不妨设，由对称性知：不定方程的正整数解为(x, y )= (2,1)，1,2 )，2,2 ). 方法2：已知方程化为(x+ y)2 =(x + y Xx2-xy+y2)◎ x 0, y 0, x y = x2- xy y2令x t，贝St = x2 _ xy + y2 = (x + y )2 - 3xy (即t2 _ 3xy = t)t2-1二xy = -------- .3即「x + y = t< (t启2且为整数)t2 -1 1 “丄八I xy = --------- = —t(t -1)3 3利用不等式：(x+yf兰4xy 贝y：21t- 4 11 - 11)当t=2时,3- 2 4, 又t为工2的正整数.2 ,3 ,4 .1)当t=2时,r x 十y = 22l xy = _3此方程无正整数解;2) 当t=3时，「x + y = 3〔xy=2* 1 *2!=> \ {[y=2 , [ y=13) 当t=4时，I x y = 4xy = 4『x = 2.y = 2 .二综上所述：不定方程的正整数解为x,y二2,1 ,1,2 ,2,2 .例2:求不定方程yx2-6yx • 2x • 9y-1 = 0的整数解.解：方法1：已知方程可化为:yx2-2(3y-1)x 9y-1 =0,则此方程可看成关于x的一元二次方程有整数解的情况=4 (1-5y)/. : =4(3y T)2-4y(9y T)ii）若x 0,由X为整数则有X—1,则（*）式化为:ii ）若x 0,由X 为整数则有X —1,则（*）式化为:则飞必是一个完全平方数，这里不妨设: 令（1-5k ） = m 2（m _ 2且m N ） 2 • i 1 -m ..k = 5 5 m 1c 5 L X 2 = 3 + ------ m-1 故方程要有整数根，当且仅当m T = 5或m —1=1,5 经检验：m =4或m =6符合题意 14 当 m=4 时，捲=2 , X 2 工一 ,y - -3 3 当 m=6 时，捲=弓,X 2=4 , y--7 •••综上所述：原方程的整数解为（x, y ） =（2,一3）,（4,一7）方法2：i ）若x 乞0, 则有: 1-2x _ x 2 -6x 9 (x-2)2r0 无解(x-4)16 由求根公式：「X i =3 已知方程化为: y(x —3)2 =1 —2x 分离y ： 1 -2x y =(^37 事实上当y=0时，x=!,不合题意，则有: 2 y -1，即上卑-1 （x -3） • 1 -2x (*)/. x = 2 ,4,5 ,6.当x=2时，y=-3；当x=4时，y=-7；当x =5时，5不合题意舍去；当x=6时，11y 二不合题意舍去;•••综上所述：原方程的整数解为（x,y） =（2,一3）,（4,一7）2、同余分析法其一般操作步骤：方程两边同时取特殊数的模，消去部分未知数，将等式化为同余式；由同余式来估计剩下未知数的取值范围（或特征），从而达到解不定方程的目的.注意：实现这一过程的关键在于取什么数作为模，这需要较强的观察力！常规的取模原则：能消去某些未知数时，取它的系数（或底数）作模；由费马小定理有“ x3二x（mod 3）”频率较高者有模3,模4,模8.常规应用：事实上，同余理论在证明一个不定方程无整数解时有广泛而方便的应用；一般对于某些指数不定方程，或某些系数较大的方程应用 同余理论能起到一个很好的简化作用；具体的：它能解决“ Ax+By 二C"型整数解问题.例1:求不定方程7x+19y=213的正整数解.解：方程两边同时mod7得：-2y 三 3(mod 7)两边同时乘以3： -6y = 2(mod7)二 y 三 2(mod 7)7k 2, 代入原方程得：7x 19(7k 2) = 213/. x = 25 - 19ky = 7k 2,■- x=25-19k（其中k 为整数） 令 x>0,y>0,得 7k 2 0,25-19k 0 ,-2* 25719••• k=0 ,1.•••方程的正整数解为x,y二25,2 , 6,9.例2：证明：4 4 4X1 X2 X1厂无整数解.1599(*) 证明：1599 =1600-1 三-1 三15(mod16)设x1,x2,x3^ ,x14是方程的整数解，1)若X i=2n，贝y x：=!6n4=0(mod16),2)若X j=2 n 1，贝S X i 三1(mod8)，故x：=8k • 1 , 从而x4 (8k 1)2=64k216k 1 三1(mod16),二X；+x：+A +x；4'1( mod16)与(* )式矛盾该方程无整数解.例3：求不定方程12X-5^7的全部正整数解.解：i)若12X-5、7，则方程两边模4得：1 = 3( mod 4)，矛盾；ii)若12X-5—7，则方程两边模3,得:-(-1)二1( mod 3),二y为奇数若x>1,方程两边模8得：-5y三-1( mod 8)即5y- 1( mod8)，又52三1(mod8)二2y，这与y为奇数矛盾二x = 1，从而y = 1综上所述：原方程有唯一的整数解x,^ 1,1 .3、约数倍数分析法：此方法经常结合整除理论，是解决不定方程整数解十分有效的方法，在数学竞赛中也是出现频率高，实用性强的一类方法常规的次方法分为两类:因式分解法：1）将含未知数的代数式置于方程一边作因式分解；2）将方程另一边化为常数，并对其做质因数分解；3）考虑各因数的取值，分解成若干方程（组）来求解. 分离未知量法：1）将方程的某个（或某些）未知量分离出来，目的是将其他未知量转化到某个常数的分母位置；2）将处于分子位置的常数作质因数分解；3）考虑分母的取值，分解成若干方程（组）来求解部分未知量.常规应用：多半是解决某些能进行因式分解（或部分因式分解）的整数不定方程问题，并且，有时要求学生因式分解功底十分扎实；具体的：它能解决“ Axy Bx Cy ^0 （A = 0）”型不定方程.例1：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上，已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少俩汽车？有多少个旅客？解：设起初有m俩汽车；开走一辆后，平均每辆汽车的人数为n根据人数相等可列方程:22m 1 = (m _1) n (m _ 2, n _32)；整理为：mn-n-22m-1=0 (m _ 2, n 乞32)；分析：属于类型Axy Bx Cy ^0 (A = 0)思路一(部分因式分解)：Axy Bx Cy D = 0 (A = 0)B C D 门xy x y 0A A ABC(xA7(Ax C)(Ay B) =BC _ AD这就化成了例1 :求不定方程2 x y = xy 7的整数解解：分离变量:x4=2y 一2° x,y为整数二(y-2)3二此方程的解为 (-1,3 ), (5,1 ), (1,5 ), (3, -1 )。

初中数学竞赛精品标准教程及练习54整数解整数解是指方程或不等式中的未知数能够取整数值使得方程或不等式成立。

整数解问题在数学竞赛中是一种常见的题型，下面我们将介绍一些解决整数解问题的方法和技巧。

首先，我们来看一些整数解问题的基本概念和性质。

1.整数解的定义：对于一个方程或不等式，如果它的未知数取整数值时方程或不等式成立，那么这个整数就是该方程或不等式的整数解。

2.整数解的判断：对于方程或不等式，我们可以通过列举的方法来判断是否存在整数解。

首先，我们可以先尝试取一些整数值代入方程或不等式，验证是否成立。

如果存在整数值使得方程或不等式成立，那么我们就可以得出方程或不等式存在整数解的结论。

反之，如果无论如何都无法找到整数值使得方程或不等式成立，那么我们就可以得出方程或不等式不存在整数解的结论。

3.整数解的性质：对于方程或不等式，如果存在整数解，那么它还具有以下性质：(1)方程或不等式的整数解是无穷多的。

例如，对于方程x+y=3，其中x和y是未知数，我们可以通过列举整数值来得到无穷多的整数解，如(0,3)，(1,2)，(2,1)等。

(2)方程或不等式的整数解具有一定的规律性。

例如，对于方程2x+3y=4，我们可以通过观察发现，当x取整数值时，y取整数值也具有一定的规律性，即y=(4-2x)/3、根据这个规律，我们可以列举出一些整数解，如(0,4)，(1,2)，(2,0)等。

接下来，我们来介绍一些解决整数解问题的常见方法和技巧。

1.列举法：对于一些简单的方程或不等式，我们可以通过列举整数值来判断是否存在整数解。

这种方法适用于方程或不等式的未知数个数较少的情况。

2.规律法：对于一些方程，我们可以通过观察方程的规律来得到整数解。

例如，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以观察到方程的根为-2和-3，即x=-2和x=-3是方程的整数解。

3.整除法：对于带有整除关系的方程或不等式，我们可以通过整除法来求解整数解。

例如，对于方程3x+7y=40，我们可以观察到方程左边的两个系数3和7之间存在整除关系，即3整除7、根据整除法的原理，我们可以得出方程的一个整数解为x=-3，y=13、通过这个整数解，我们可以得到方程的所有整数解。