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2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第四章第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式含答案

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第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. [小题体验]1．cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°的值为( ) A ．12B ．32 C ．3 D ．33答案：A2．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941B ．129C ．141D ．1答案：D3．若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.答案：54．(教材习题改编)已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.答案：7251．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围． [小题纠偏]1．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23解析：选C 因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．(2018·温州模拟)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cos π6cos x ＋sin π6sin x ＝32cos x ＋12sin x ＝12(sin x ＋3cos x )＝12×65＝35. 答案：35考点一 三角函数公式的基本应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B ．211C ．112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.2．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43 C.43 D.34解析：选D ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋33104．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解：(1)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.所以sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4＝7210×22＋210×22＝45.(2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35， sin 2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝－725×12＋2425×32＝243－750. [谨记通法]三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． 考点二 三角函数公式的逆用与变形应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·台州模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝( ) A.23 B.43 C.34D.32解析：选D 由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，∴0＜π4－θ＜π4，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝34. 2cos 2θ－1cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝cos 2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－θsin ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝32. 2．计算：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.3．计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.解析：∵tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴3－3tan 20°tan 40°＝tan 20°＋tan 40°， 即tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 3[由题悟法]1．三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．2．三角函数公式逆用和变形用应注意的问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[即时应用]1．(2019·金华十校联考)sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°的值是( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选D sin 5°cos 55°－cos 175°sin 55°＝sin 5°cos 55°＋cos 5°sin 55°＝sin 60°＝32. 2．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为____________． 解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0， 所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以tan α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋2(1＋cos 2α)2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×2×332＋1＋2×1－3232＋1＋22＝0. 答案：0考点三 角的变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)． 解：∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.[由题悟法]利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时：一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时：此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[即时应用]1．已知tan(α＋β)＝1，tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3的值为( ) A ．23B ．12C ．34D ．45解析：选B tan ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫α－π31＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－131＋1×13＝12.2．(2018·福建师大附中检测)若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝( ) A ．－78B ．－14C ．14D ．78解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－78.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·宁波模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．17B ．7C ．－17D ．－7解析：选A 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，所以tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．13C ．－23D ．23解析：选D 依题意得cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝12(cos α＋sin α)2＝12(1＋sin 2α)＝23. 3．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B ．23C ．－13D ．13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.4．(2019·衢州模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则tan xtan 2x的值为________． 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋11－tan x ＝2，解得tan x ＝13，所以tan x tan 2x ＝1－tan 2x 2＝49. 答案：495．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43B ．43C ．－43或0D ．43或0解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎨⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.2．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B ．118C ．－1718D ．1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝( ) A.33B ．－33C.539D ．－69解析：选C ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539. 4．(2018·“七彩阳光”联盟适应性考试)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，2)B ．[－3，3)C ．[3，2)D ．[0,2)解析：选C 令f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝0，则有m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以有2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[－3，2]．因为有两个不同的零点，结合图形可知，m ∈[3，2)． 5．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：选D ∵cos α＝13，2α∈()0，π，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，sin 2α＝1－cos 22α＝429， 又∵cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，∴cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.6．(2018·杭州二中模拟)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________；tan 2α＝________. 解析：由sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，故sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝52，即tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52，解得tan α＝3或tan α＝－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 答案：3或－13 －347．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：－18．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：15169．(2019·杭州七校联考)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.因为tan α＝2，所以cos 2α＝1－41＋4＝－35.(2)因为α∈(0，π)，tan α＝2， 所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.因为cos 2α＝－35，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin 2α＝45. 因为β∈(0，π)，cos β＝－7210， 所以sin β＝210且β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22. 因为2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 10．已知向量a ＝(sin ωx ，cos ωx )，b ＝(cos φ，sin φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，π3＜φ＜π，函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为2π，其图象经过点M ⎝⎛⎭⎫π6，32.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (2α－β)的值． 解：(1)依题意有f (x )＝a ·b ＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin(ωx ＋φ)．∵函数f (x )的最小正周期为2π，∴T ＝2πω＝2π，解得ω＝1.将点M ⎝⎛⎭⎫π6，32代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝32， ∴π6＋φ＝π3＋2k π，k ∈Z 或π6＋φ＝2π3＋2k π，k ∈Z . ∵π3＜φ＜π，∴π6＋φ＝2π3，∴φ＝π2. 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x . (2)依题意有cos α＝35，cos β＝1213，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin β＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， ∴sin 2α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝925－1625＝－725， ∴f (2α－β)＝cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝－725×1213＋2425×513＝36325. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面向量a ＝(sin 2x ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，－cos 2x )，f (x )＝a ·b ＋4cos 2x ＋23sin x cos x ，若存在m ∈R ，对任意的x ∈R ，f (x )≥f (m )，则f (m )＝( )A ．2＋2 3B ．3C ．0D ．2－2 3解析：选C 依题意得f (x )＝sin 4x －cos 4x ＋4cos 2x ＋3sin 2x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x＋3sin 2x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2，因此函数f (x )的最小值是－2＋2＝0，即有f (m )＝0. 2．设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )；⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是________(填序号)．解析：f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a ，因为对一切x ∈R ，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，故f (x )＝±a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.而f ⎝⎛⎭⎫11π12＝±a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12＋π6＝0，所以①正确；⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 47π30＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin 17π30，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；③明显正确；④错误；由函数f (x )＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可知(图略)，不存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交，故⑤错误．答案：①③3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin2α－cos2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

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(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函

(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角、弧度制及任意角的三角函

象限;
②假设角θ是第二象限角,试判断sin(cos θ)的符号.
解:①因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,
sin > 0,
所以 sin θcos θ<0,2cos θ<0,即
cos < 0.
所以角 θ 为第二象限角.
π
②因为 2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z),所以-1<cos θ<0.
180

弧长公式
弧长 l= |α|r
扇形面积公式
S= lr= |α|r2
1
1
2
2
°≈57.3°
-6知识梳理
双击自测
3.任意角的三角函数
(1)三角函数定义:设P(x,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r>0),那



sin α= ,cos α= ,tan α=
么有
,它们都是以角为 自变量
,以
-20-
考点一
考点二
考点三
(3)由得,l+2R=20.
1
1
2
2
所以 S= lR= (20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,α=2.
方法总结1.在弧度制下,计算扇形的面积和弧长比在角度制下更
方便、简捷.
2.求扇形面积的最值应从扇形面积公式出发,在弧度制下使问题
.
π
,那么角
3
关闭
π
2
因为角 α 和角 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z).
π
部编版2020届高考数学一轮复习第四章第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式课后作业理

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【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后作业 理[全盘巩固]一、选择题1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．(2016·抚顺模拟)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.13B.23 C ．－23 D ．－13 3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos2π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－794．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α 5．(2016·成都模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4二、填空题6.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________．8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________.三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．10．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π24.[冲击名校]1．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝( )A.π3 B.π3或－2π3 C ．－π3或2π3 D ．－2π32．(2015·大连模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35 3．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________.4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．答 案 [全盘巩固]一、选择题1．解析：选D sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．解析：选B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin 2α2＝1＋132＝23.3．解析：选 D 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos2π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos π3－2α＝－79. 法二：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝29－1＝－79.4．解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝16，∴α>π4.又tan α＋tan β＋3tanαtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α.5．解析：选A 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4. 二、填空题6.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·2si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1.答案：17．解析：∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，∴最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．解析：∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.答案：2－156三、解答题9．解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310. 10．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 2π6＋sin π6cos π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋12×32＝3＋34.(2)因为f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ＝1＋cos 2x 2＋12sin 2x＝12＋12(sin 2x ＋cos 2x )＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π4＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α.因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π24＝12＋2212×35－32×45＝10＋32－4620. [冲击名校]1．解析：选D 由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α<0，tan β<0，又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－2π3. 2．解析：选C 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75 ①，由cos 2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝725②.由①②可得cosα＋sin α＝－15 ③，由①③可得sin α＝35，故选C.3．解析：∵0<α<π2，－π2<β<0，∴π4<π4＋α<3π4，π4<π4－β2<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－19＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝1－13＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos π4＋α－π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝539.答案：5394．解：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)由题设知，1013＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin α，65＝f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β，即sin α＝513，cos β＝35.又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.。

2020版数学新优化浙江大一轮课件：第四章 三角函数、解三角形4.3 .pdf

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知识梳理双击自测知识梳理双击自测3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质知识梳理双击自测知识梳理双击自测A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)为偶函数关闭关闭知识梳理双击自测关闭关闭知识梳理双击自测关闭关闭知识梳理双击自测关闭关闭知识梳理双击自测关闭关闭知识梳理双击自测自测点评2.求函数y=A sin(ωx+φ)的单调区间时,应注意ω的符号,只有当ω>0时,才能把(ωx+φ)看作一个整体,代入y=sin t的相应单调区间求解.3.求函数y=A sin(ωx+φ)的图象的对称轴和对称中心时,应把(ωx+φ)看作一个整体,代入函数y=sin t的图象的相应对称轴和对称中心中求出.考点一考点二考点三三角函数的定义域、值域(考点难度★★)关闭关闭考点一考点二考点三为 ;若其图象与一条平行于x轴的直线y=m有三个交点,则实数m的取值范围为 .关闭关闭考点一考点二考点三关闭关闭考点一考点二考点三方法总结1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组),解三角不等式常借助三角函数线或三角函数的图象.2.三角函数值域、最值的不同求法:(1)利用sin x和cos x的值域直接求.(2)形如y=a sin x+b cos x的三角函数化为y=A sin(ωx+φ)的形式求值域;形如y=a sin2x+b sin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t 的二次函数求值域(最值).(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域.考点一考点二考点三关闭关闭考点一考点二考点三关闭关闭考点一考点二考点三三角函数的单调性和周期性(考点难度★★)关闭关闭考点一考点二考点三(π,2π)单调递减,则ω的取值范围是( )关闭关闭考点一考点二考点三关闭关闭。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第四章第5讲三角函数的图象与性质含解析

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[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tan x |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D. 4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，23π上单调递减，在⎝⎛⎭⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，112∪⎣⎡⎦⎤14，23 B ．⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23 C ．⎣⎡⎦⎤14，23D ．⎣⎡⎦⎤13，23解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值， 所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，16∪⎣⎡⎦⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎡⎦⎤π12，7π12B ．⎣⎡⎦⎤－5π12，π12 C ．⎣⎡⎦⎤－π3，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤－π6，5π6 解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z 8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________．解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎡⎦⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝⎛⎭⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎝⎛⎦⎤－π3，π6， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈(－3，1]， 所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3. 答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x . (1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12， 由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z . (2)由题意f (x )＝⎝⎛⎭⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝⎛⎭⎫32cos φ－122＋⎝⎛⎭⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0， 又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间． 解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π， 由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z .由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z . [能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( ) A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B. 2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝⎛⎭⎫0，32，若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________． 解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个．答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝⎛⎭⎫B 2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx 2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 因为3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0⇒B ＝π3， 因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：(1)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． 所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1，所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。