圆知识点概念公式大全一．圆定义1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O．2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小．二．同圆、同心圆、等圆1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆；2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆；3．半径相等圆叫做等圆．三．弦与弧1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍．2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距．5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形．四．与圆有关角及相关定理1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等．2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等．推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径．〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角．圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．4．顶点在圆外，两边与圆相交角叫圆外角．圆外角定理：圆外角度数等于圆外角所对长弧度数与短弧度数差一半．5．圆内接四边形对角互补，一个外角等于其内对角．6．如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形．7．圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦相等，所对弦弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量分别相等．五．垂径定理1．垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧．平分弦〔不是直径〕直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；2．其它正确结论：⑴弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；⑵平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧．⑶圆两条平行弦所夹弧相等．3．知二推三：⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分弦非直径．4．常见辅助线做法：⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；⑵有弧中点，连中点与圆心，得垂直平分．相关题目：1．平面内有一点到圆上最大距离是6，最小距离是2，求该圆半径2．〔08郴州〕在Or=，AB CD⊙中，半径5，是两条平行弦，且，，那么弦AC长为__________．．==AB CD86六．点与圆位置关系1．点与圆位置有三种：⑴点在圆外⇔d r>；⑵点在圆上⇔d r=；⑶点在圆内⇔d r<.如下表所示：2．过点作圆⑴经过点A圆：以点A以外任意一点O为圆心，以OA长为半径，即可作出过点A圆，这样圆有无数个．⑵经过两点A B、圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以、圆，这样圆也有无数个．OA长为半径，即可作出过点A B⑶过三点圆：假设这三点A B C、、共线时，过三点圆不存在；假设、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC中垂线交点，而这A B C个交点O是唯一存在，这样圆有唯一一个．⑷过n()4n≥个点圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定圆圆心．3．定理：不在同一直线上三点确定一个圆．注意：⑴“不在同一直线上〞这个条件不可无视，换句话说，在同一直线上三点不能作圆；⑵“确定〞一词含义是“有且只有〞，即“唯一存在〞．4．三角形外接圆⑴经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆，外接圆圆心是三角形三条边垂直平分线交点，叫做三角形外心，这个三角形叫做这个圆内接三角形．⑵三角形外心性质：①三角形外心是指外接圆圆心，它是三角形三边垂直平分线交点，它到三角形各顶点距离相等；②三角形外接圆有且只有一个，即对于给定三角形，其外心是唯一，但一个圆内接三角形却有无数个，这些三角形外心重合.⑶锐角三角形外接圆圆心在它内部〔如图1〕；直角三角形外接圆圆心在斜边中点处〔即直角三角形外接圆半径等于斜边一半，如图2〕；钝角三角形外接圆圆心在它外部〔如图3〕.五．直线与圆位置关系定义、性质及判定设O⊙半径为r，圆心O到直线l距离为d，那么直线与圆位置关系如下表：从另一个角度，直线与圆位置关系还可以如下表示：四．切线性质及判定1. 切线性质：定理：圆切线垂直于过切点半径．推论1：经过圆心且垂直于切线直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线直线必经过圆心．2. 切线判定定义法：与圆只有一个公共点直线是圆切线；距离法：与圆心距离等于半径直线是圆切线；定理：经过半径外端并且垂直于这条半径直线是圆切线．3. 切线长与切线长定理：⑴在经过圆外一点圆切线上，这点与切点之间线段长，叫做这点到圆切线长．⑵从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等，圆心与这一点连线平分两条切线夹角．五．三角形内切圆1. 定义：与三角形各边都相切圆叫做三角形内切圆，内切圆圆心叫做三角形内心，这个三角形叫做圆外切三角形．2. 多边形内切圆：与多边形各边都相切圆叫做多边形内切圆，该多边形叫做圆外切多边形．六．圆与圆位置关系定义、性质及判定设12O O 、⊙⊙半径分别为R r 、〔其中R r >〕，两圆圆心距为d ，那么两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义性质及判定 外离两个圆没有公共点，并且每个圆上点都在另一个圆外部．d R r >+⇔两圆外离外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上点都在另一个圆外部． d R r =+⇔两圆外切相交 两个圆有两个公共点． R r d R r -<<+⇔两圆相交内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上点都在另一个圆内部． d R r =-⇔两圆内切内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上点都在另0d R r ≤<-⇔两圆内含相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．七．正多边形与圆1. 正多边形定义：各条边相等，并且各个内角也都相等多边形叫做正多边形．2. 正多边形相关概念：⑴正多边形中心：正多边形外接圆圆心叫做这个正多边形中心．⑵正多边形半径：正多边形外接圆半径叫做正多边形半径．⑶正多边形中心角：正多边形每一边所对圆心角叫做正多边形中心角．⑷正多边形边心距：中心到正多边形一边距离叫做正多边形边心距．3. 正多边形性质：⑴正n边形半径与边心距把正n边形分成2n个全等直角三角形；⑵正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心对称轴；⑶偶数条边正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．八、圆中计算相关公式第 11 页 设O ⊙半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ，1. 弧长公式：π180n R l = 2. 扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形 3. 圆柱体外表积公式：22π2πS R Rh =+4. 圆锥体外表积公式：2ππS R Rl =+〔l 为母线〕 常见组合图形周长、面积几种常见方法：① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法。
初二数学知识点归纳：确定圆的条件初二数学知识点归纳：确定圆的条件学习重点:1．定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．定理中“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有” ．2．通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．学习难点:分析作圆的方法，实质是设法找圆心．过已知点作圆的问题，就是对圆心和半径的探讨．学习方法:教师指导学生自主探索交流法.学习过程:一、举例：【例1】下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【例2】在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．【例3】如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．【例4】阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．如图3-4-5中的三角形被一个圆所覆盖，图3-4-6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是 cm．（3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的图所覆盖，r的最小值是 cm，这两个圆的圆心距是 cm．【例5】已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．【例6】如图，有一个圆形铁片，用圆规和直尺将它分成面积相等的两部分．二、随堂练习一、填空题1．经过平面上一点可以画个圆；经过平面上两点A、B可以作个圆，这些圆的圆心在．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作个圆． 3．锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在．二、选择题4．下列说法正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形5．下列命题中的假命题是（）A．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心6．下列图形一定有外接圆的是（）A．三角形B．平行四边形C．梯形D．菱形三、课后练习1．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在2．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（）A．a=15，b=12，c=1B．a=5，b=12，c=12C．a=5，b=12，c=13D．a=5，b=12，．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（）A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（）A．5cmB．6cmC．7cmD．．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（）倍．A． B． C． D．6．已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（）A．2B．6C．12D．77．三角形的外心具有的性质是（）A．到三边距离相等B．到三个顶点距离相等C．外心在三角形外D．外心在三角形内8．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它与三角形三个顶点的连线平分三内角C．它到任一顶点的距离等于这三角形的外接圆半径 D．以它为圆心，它到三角形一顶点的距离为半径作圆，必通过另外两个顶点9．下列说法错误的是（）A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆 B．任意一个圆都有无数个内接三角形C．任意一个三角形都有无数个外接圆D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上10．在一个圆中任意引两条直径，顺次连接它们的四个端点组成一个四边形，则这个四边形一定是（） A．菱形B．等腰梯形C．矩形D．正方形11．若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有个．12．直角三角形三个顶点都在以为圆心，以为半径的圆上，直角三角形的外心是．13．若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．14．△ABC的三边3，2，，设其三条高的交点为H，外心为O，则OH= ．15．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，则其外心与垂心的距离为．16．外心不在三角形的外部，这三角形的形状是．17．锐角△ABC中，当∠A逐渐增大时，其外心向边移动，∠A=90°，外心位置是．18．△ABC的外心是它的两条中线交点，则△ABC的形状为．19．如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心． 20．求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．21．已知线段a、b、c．求作：（1）△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c；（2）⊙O使它经过点B、C，且圆心O在AB 上．（作⊙O不要求写作法，但要保留作图痕迹）22．已知点P在圆周上的点的最小距离为5cm，最大距离为15cm，求该圆的半径．23．如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观．为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎样找到圆心半径？。
