2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）(时间120分钟 满分150分) 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数21i-等于( ) A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --2.下列命题中的假命题是( )A.∃∈x R ,lg 0=xB. ∃∈x R ,tan 1=xC.∀∈x R ,30>xD. ∀∈x R ,20>x3.某商品销售量y （件）与销售价格x （元/件）负相关，则其回归方程可能是 ( )A.ˆ10200=-+yx B.ˆ10200=+y x C.ˆ10200=--yx D.ˆ10200=-y x 4.极坐标方程cos ρθ=和参数方程1,2=--⎧⎨=+⎩x t y t （t 为参数）所表示的图形分别是 ( )A ．直线、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D ．圆、直线5.设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线的焦点的距离是 ( )A.4 B. 6 C. 8 D. 126．若非零向量a ，b 满足||||a b =，(2)0a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为 ( )A.30︒B.60︒C.30︒D. 30︒7.在ABC ∆中，角,,A B C 的所对的边长分别为,,a b c ，若120,2∠=︒=C c a ，则( )A.a >bB.a <bC.a =bD.a 与b 的大小关系不能确定8.函数2=+y ax bx 与log (0,||||)=≠≠b ay x ab a b 在同一直角坐标系中的图象可能是（）( )第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在题中横线上.9 .已知集合{}1,2,3=A ,{}2,,4=B m ，A ∩B ={}2,3，则m = .10.已知一种材料的最佳入量在100g 到200g 之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g.11.在区间[-1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为 . 12.图1是求实数x 的绝对值的算法程序框图，则判断框①中可填 .刑罚还远未使天下信服化学教案应当继续消灭残余的化学教案巩固应该保护的化学教案广泛树立声威大略试卷试题鲜卑紧邻我13.图2中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h = cm ．日月匆匆化学教案唯有各自勉励来慰藉这索居的苦寒试卷试题10. （1）（4分）环境烘托（侧、14. 若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ,b ) ，(3-b ,3-a ),则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为_________；圆22(2)(3)1-+-=x y 关于直线l 对称的圆的方程为____________.15.若规定1210{,,,}=E a a a 的子集12{,,,}m t t t a a a 为E 的第k 个子集，其中112-=+t k 21122--++m t t ，则（1）13{,}a a 是E 的第___________个子集; （2）E 的第211个子集是____________.开始① 是 否输出-x结束输入x输出x图1正视图侧视图俯视图图2单位：cmh56CD三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数2()sin 22sin =-f x x x ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.17.（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A 、B 、C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.（I ）求x ,y ；（II ）若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C 的概率.18.（本小题满分12分）如图3所示，在长方体1-ABCD A 1B 1C 1D 中，AB =AD ＝１, AA 1=２, M 是棱1CC 的中点.（Ⅰ）求异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值;（Ⅱ）证明：平面ABM 平面A 1B 1M.19．（本小题满分13分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的,A B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过,A B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系（图4）.考察范围为到,A B 两点的距离之和不超过10km 的区域.（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅱ）如图4所示，设线段P 1P 2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2倍.问：经过多长时间，点A 恰好在冰川边界线上?20 （本小题满分13分） 给出下面的数表序列：图3其中表n (n =1,2,3,)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n -1，从第二行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和. （Ⅰ）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）某个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，，记此数列为{b n }，求和：32412231(+++++∈n n n b b b n b b b b b b N*)21.（本小题满分13分） 已知函数()(1)ln 15=++-+af x x a x a x, 其中0,<a 且1≠-a . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数322(23646),1,()(),1⎧-++--≤=⎨⋅>⎩x x ax ax a a e x g x e f x x （e 是自然对数的底数），是否存在a ，使g (x )在[a ,-a ]上是减函数？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题题号 12 3 4 5 6 7 8 答案A C A DBC A D二、填空题9. 3 10. 161.8或138.211. 3112.x >0或x >0?，或x ≥0 或x ≥0？ 13. 4 14. 1-；x 2+(y -1)2=1 15. 5；12578{,,,,}a a a a a 三、解答题16.解：（Ⅰ） 因为()sin 2(1cos 2)2sin 214π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭f x x x x ，所以函数()f x 的最小正周期22ππ==T . （II ）由（Ⅰ）知，当2242πππ+=+x k ，即(8ππ=+∈x k k Z ）时，()f x 取最大值12-. 因此函数()f x 取最大值时x 的集合为{|,8ππ=+∈x x k k Z }.17.解: （I ）由题意可得2183654==x y，所以x =1,y =3. （II ）记从高校B 抽取的2人为b 1,b 2, 从高校C 抽取的3人为c 1,c 2,c 3,则从高校B ，C 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有：（b 1,b 2）,（b 1,c 1）, (b 1,c 2）, （b 1,c 3）, （b 2,c 1）, （b 2,c 2）, （b 2,c 3）,( c 1,c 2), ( c 1,c 3), ( c 2,c 3)，共10种.设选中的2人都来自高校C 的事件为X ,则X 包含的基本事件有( c 1,c 2), ( c 1,c 3), ( c 2,c 3),共3种.因此3()10=P X . 故选中的2人都来自高校C 的概率为103. 18.解 （Ⅰ）如图，因为1111//C D B A ，所以11∠MA B 异面 直线1A M 和1C 1D 所成的角，因为1A 1B ⊥平面11BCC B ， 所以1190∠=︒A B M ，而1A 1B =1，2211112=+=B M B C MC ，故11111tan 2∠==B MMA B A B . 即异面直线1A Ｍ和1C 1D 所成的角的正切值为2（Ⅱ）由1A 1B ⊥平面11BCC B ，BM ⊂⊥平面11BCC B ，得1A 1B ⊥ BM. ①由（Ⅰ）知，12=B M ,222=+=BM BC CM ，12=B B ，所以21+B M 221=BM B B . 从而BM ⊥B 1M. ②又1111=A B B M B , 再由① ②得BM ⊥平面A 1B 1M ，而BM ⊂平面ABM ，因此平面ABM ⊥平面A 1B 1M .19. 解:（Ⅰ）设边界曲线上点的坐标为P （x ,y ），则由|P A |+|PB |=10知，点P 在以A 、B 为焦点，长轴长为2a =10的椭圆上，此时短半轴长22543=-=b .所以考察区域边界曲线（如图）的方程为221259+=x y .（Ⅱ）易知过点P 1，P 2的直线方程为4x -3y +47=0， 因此点A 到直线P 1P 2的距离为22|1647|3154(3)-+==+-d . 设经过n 年，点A 恰好在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得531121220=--)(.n ，解得 n =5. 即经过5年，点A 恰好在冰川边界线上.20. 解：（Ⅰ）表4为它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32. 它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将结这一论推广到表n （n ≥3），即表n 各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列.（Ⅱ）表n 第1行是1,3,5，…，2n -1，其平均数是135(21)++++-=n n n.由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列（从而它的第k 行中的数的平均数是12-⋅k n ），于是表n 中最后一行的唯一一个数为12-⋅n n .因此12121(2)222(1)2(1)2++--++⋅+==⋅⋅+⋅+⋅k k k k k k k b k k b b k k k k 2322(1)11(1)22(1)2---+-==-+⋅⋅+⋅k k k k k k k k k(k =1,2,3, …,n ).所以32421103212231111111122222322(1)2+-----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n b b b b b b b b b n n 214(1)2n n -=-+⨯21.（Ⅰ）()f x 的定义域为),(+∞0，221()(1)()1-+-'=-++=a a x a x f x x x x. 若-1<a <0,则当0<x <-a 时，()0'>f x ；当-a <x <1时，()0'<f x ；当x >1时，()0'>f x .故()f x 分别在(0,),(1,)-+∞a 上单调递增，在(,1)-a 上单调递减.若a <-1,仿（1）可得()f x 分别在(0,1),(,)-+∞a 上单调递增，在(1,)-a 上单调递减. （Ⅱ）存在a ，使g (x )在[a ,-a ]上是减函数.事实上，设322()(23646)(=-++--∈xh x x ax ax a a e x R )， 则322()[23(2)124]'=-+-+-xh x x a x ax a e ，再设322()23(2)124(=-+-+-∈m x x a x ax a x R )，则当g (x )在[a ,-a ]上单调递减时，h (x )必在[a ,0]上单调递,所以()0'≤h a ，由于0>xe ，因此()0≤m a ，而2()(2)=+m a a a ，所以2≤-a ，此时，显然有g (x )在[a ,-a ]上为减函数，当且仅当()f x 在[1,-a ]上为减函数，h (x )在[a ,1上为减函数,且(1)(1)≥⋅h e f ,由（Ⅰ）知，当a <-2时,()f x 在(1,)-a 上为减函数. ①又21(1)(1)4133034≥⋅⇔++≤⇔-≤≤-h e f a a a , ②不难知道，[,1],()0[,1],()0'∀∈≤⇔∀∈≤x a h x x a m x .因为2()66(2)126(2)()'=-+-+=-+-m x x a x a x x a ，令()0'=m x ，则x =a 或x =-2,而2≤-a .于是 （1）当a <-2时，若a <x <-2,则()0'>m x ，若-2 <x <1,则()0'<m x ,因而()m x 分别在(,2)-a 上单调递增，在),(12-上单调递减；（2）当a ＝-2时，()0'≤m x ,()m x 在),(12-上单调递减.综合（1）（2）知，当2-≤a 时，()m x 在[,1]a 上的最大值为2(2)4128-=---m a a ，所以，2[,1],()0(2)0412802∀∈≤⇔-≤⇔---≤⇔≤-x a m x m a a a . ③又对[,1],()0∈=x a m x ，只有当a =-2时在x =-2取得，亦即()0'=h x 只有当a =-2时在x =-2取得.因此，当2≤-a 时，h (x )在[a ,1上为减函数，从而由①②③知 32-≤≤-a综上所述，存在a ，使g(x)在[a ,-a ]上是减函数，且a 的取值范围为[3,2]--.。
