河北省保定市高阳中学、定兴三中2013-2014学年高二下学期6月联考(期末)数学(文)试题
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河北省保定市高阳中学、定兴三中2013-2014学年高二下学期6月联考（期末）数学（文）试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或02．设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =()g x =；③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有（ ）．A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④ 3．若(2),2()2,2xf x x f x x -+<⎧=⎨≥⎩，则f (－3)的值为( )A ．2B ．8 C.18 D.124．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．下列函数中，在[1，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝(x －2)2B ．y ＝|x －1|C ．y ＝1x ＋1D ．y ＝－(x ＋1)26．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 7．如果幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A ．12 B ．2 C.116 D. 16 8．设a ＝40.9，b ＝80.48，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则( )A ．c ＞a ＞bB ． b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b9．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．[0,2]D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)10．已知f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是A ．f (a 2－a ＋1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34B ．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34C ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34D ．f (a 2－a ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3411．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |－4≤x ≤4}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |0<x ≤2} 12．若奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则0()xf x <的解集为( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分，把最简答案填写在答题卡的横线上）13. 已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．14．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (21)＝___________________.15．函数212()log (231)f x x x =-+的增区间是____________．16．设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有1(3)()f x f x +=-，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，则f (113.5)的值是____________．三．解答题（本大题共６小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）．17．(本题满分10分) 已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ．（1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 18．(本题满分12分) 设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围； （2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围； （3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.19．(本题满分12分) 已知函数2(),()f x x a x R =+∈． （1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．20．(本题满分12分) 已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．21．(本题满分12分) 已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x 为正实数，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝log a x ＋bx －b(a >0，b >0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性；2013-2014学年第二学期6月考试高二文科数学答案2．D 在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．3． C f (－3)＝f (－1)＝f (1)＝f (3)＝2－3＝18.4． C 由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，∴函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，共3个．5． B 作出A 、B 、C 、D 中四个函数的图象进行判断．6． D f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称．7． A ∵幂函数y ＝x a的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴22＝2a ，解得a ＝－12，∴y ＝x ，故f (4)＝4－12＝12.8． D 因为a ＝40.9＝21.8，b ＝80.48＝21.44， c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＝21.5，所以由指数函数y ＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增知a ＞c ＞b .9． C 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.10． B ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.11．A 由题表知22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α，∴α＝12，∴f (x )＝x .∴(|x |)≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.12． B 根据条件画草图，由图象可知xf x ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，f x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，f x ＞0⇔－3＜x ＜0或0＜x ＜3.13. (0,1) 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出，若f (x )＝k 有两个不同的实根，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)．14．－1 令2x ＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，f (x )＝lg 2x －1(x >1)，f (21)＝－1. 15．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 ∵2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1.∵二次函数y ＝2x 2－3x ＋1的减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，34，∴f (x )的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.16．15. ∵f (－x )＝f (x )，f (x ＋6)＝f (x ＋3＋3)＝－1fx ＋＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (113.5)＝f (19×6－0.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)＝f (－2.5＋3)＝－1f－＝－1－＝15. 17．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．……5分（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭…10分 18．解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<． 综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．……4分（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或．综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞．……8分（3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．……12分 19．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．……6分 （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．……12分 20．解： (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0. ……4分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1， x ∈，，－2x 4x＋1， x ∈－1，，0， x ∈{－1，0，1}.……12分∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．……6分 (2)设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R.则f (x 2－x 1)＝f (x 2＋(－x 1))＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x )在R 上单调递减． ∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f(1)＝－12，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3. ……12分22．解：(1)令x＋bx－b>0，解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．……2分(2)因f(－x)＝log a －x＋b－x－b＝log a⎝⎛⎭⎪⎫x＋bx－b－1＝－log a x＋bx－b＝－f(x)，故f(x)是奇函数．……7分。
