高中数学学案人教版选修2-2《4.2.1 微积分基本定理(一)》

2 1
＝ln
4 3.
[类题通法] 用微积分基本定理求定积分，实质上是导数的逆运算，即求导 数等于被积函数的一个函数，求解时需要注意以下两点：(1)熟练 掌握基本函数的导数及导数的运算法则，学会逆运算；(2)当被积 函数较为复杂，不容易找到原函数时，可适当变形后再求解．特别 地，需要弄清楚积分变量，精确定位积分区间，分清积分上限与积 分下限．

xdx

＝12x－12sin
x
π 2
＝π4－12＝π－4 2.
0
(4)∵f(x)＝xx1＋1＝1x－x＋1 1，
且[ln x－ln(x＋1)]′＝1x－x＋1 1，
∴21xx1＋1dx＝121x－x＋1 1dx＝[ln
x－ln(x＋1)]
＝－34.
(2)∵12x2＋sin

x′＝x＋cos

x，
2π
∴ 0
(x＋cos
x)dx＝12x2＋sin
x
π 2
＝π82＋1.
0
(3)sin2x2＝1－c2os x，而12x－12sin x′＝12－12cos x，
∴20πsin2x2dx＝20π12－12cos
②如何利用 y＝y(t)表示物体在 t∈[a，b]上的位移 s?
提示：s＝y(b)－y(a)．
③若 v(t)表示物体在任意时刻 t 的速度，如何用 v(t)求物体在 t∈[a，
b]上的位移 s?
b
提示：s＝av(t)dt.
b
b
④由①②③能否得出结论 s＝av(t)dt＝ay′(t)dt＝y(b)－y(a)成立？
[典例精析] 计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0

2
＝－cosπ2＋sinπ2＋cos－π2－sin－π2
＝0＋1＋0＋1＝2.
(6)1(x2－x)dx＝(13x3－12x2)|10＝－16. 0
(7)
π 2 0
(3x＋sinx)dx＝(32x2－cosx) |
＝38π2＋1.
(8)3 (3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24. －1
＝sin1－23.
典例剖析
忽视积分变量致误
1(t2＋t)dx＝________________.
0
[错解]
5 6
1(t2＋t)dx＝(13t3＋12t2)|10＝56.
0
[辨析] 对于积分变量x来说，被积函数表达式f(x)＝t2＋t
为常数，它与f(x)＝x2＋x是不同的．
[正解] 填t2＋t 1(t2＋t)dx＝(t2＋t)x|10＝t2＋t. 0
1．微积分基本定理 如果F(x)是区间[a，b]上的__连__续____函数，并且F ′(x)＝ ___f(_x_) ___，那么bf(x)dx＝__F_(b_)_－__F_(a_)__．
a
2．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x) ＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数的__原__函_数___，利用求导运算 与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公 式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
(9)2x12dx＝________________. 1
(10)e
1xdx＝________________.
1
[答案]
1 (1)2
(2)1
2 (3)ln2
(4)0
(5)2
(6)－16
(7)38π2＋1

n→∞ i=1 n n
y a
= lim y' ti-1 Δ t
n→∞ i=1




b
a
v t dt
S
b
a
y ' t dt

b
y ' t d t y b y a
a
人民教育出版社 高二年级 | 选修2-2
微积分基本定理： 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么
2
5 2
4、
0
3
9 x 2 dx＝？
9 4
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问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规律S＝S(t)。由导数的概念可以知道， 它在任意时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内的位移为S， 你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？
n 0 i 1
被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量
n
[a, b] 积分区间
积分下限
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复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么： 定积分

b
a
f ( x ) dx
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
0 1 2 1 2 3 2008
2007
f ( x)dx
2、已知， dx 3,
0
3
3
0
3 9 3 2 81 3 xdx , x dx 9, x dx 0 2 0 4

并且F’(x)=f(x),则
b a

b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键： a
a a
b
b
复习回顾： 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b

a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
y
y f ( x)
O
a
c1 c2 a c1
Ｃ
b x
b c2

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
1 1 ( ) 2 x x
1 3 1 1 76 3 3 =x | | 1 (3 1 ) ( ) x 3 1 3
3 3 1
练习：
(1) (-3t + 2)dt ______ 1
2 0
1
1 2 23/6 (2) (x + ) dx = ______ 1 x
2
9 (3) (3x + 2x -1) dx = ______
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn

ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1