对一个恒成立不等式的变式探究

含参不等式恒成立的问题阳泉十五中 尹建青 （2010-3-25）一、教学目标理解含参不等式恒成立的问题的特征。

能充分利用化归、数形结合，函数和分类讨论等数学思想解决含参不等式恒成立的问题。

培养学生解决综合问题的能力。

二、教学方法：启发、探究三、教学过程通过含参不等式恒成立问题的求解，通过变式、启发、引导学生探究解题策略，培养学生利用化归、数形结合、函数和分类讨论等数学思想进行解题的意识。

例1：已知不等式0208122≤+−−−x x x mx ，若对于所有的实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

变式1：已知不等式012≤−−x x a ma ，若对于所有的实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

变式2：已知函数x x mx x f −−=232131)(在),0(+∞上为减函数，求m 的取值范围。

思考：已知不等式012≤−−x mx ，若对于[]2,2−∈m 不等式恒成立，求实数x 的取值范围。

练习1：已知函数)(31)(23R m m mx x mx x f ∈++−=在),0(+∞上为增函数，求m 的取值范围。

练习2：对于满足2≤m 的所有实数m ，求使不等式)1(122−>−x m x 恒成立的x 的取值范围。

小结：引导学生归纳含参不等式恒成立问题的解题策略和数学思想方法。

作业：一、教材分析1、教材的地位和作用近年来,不等式恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考的一个热点,它涉及常见函数（一次函数，二次函数等）的性质､图像,渗透着分类讨论､化归与转化､数形结合､函数与方程等数学思想与方法,能充分考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性､创造性等方面起到了积极的作用。

2、学情分析所针对的学生大部分数学基础较薄，理解能力及归纳能力也相对较弱，对数学这门抽象的学科兴趣不浓厚，单纯地讲授是行不通的，我运用课件，借助先进的多媒体手段，吸引学生的目光，激发他们的学习兴趣，让学生在自主思考、积极参与下体验学习的乐趣和成功的喜悦。

数学恒成立问题解法小结函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点.函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用.恒成立问题，在高中数学中较为常见.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种策略：①赋值型；②一次函数型；③二次函数型；④变量分离型；⑤数形结合型.题型一、赋值型——利用特殊值求解例1．如果函数y =f (x )=sin2x +a cos2x 的图象关于直线x =8π- 对称，那么a =（ ）. A .1 B .-1 C .2 D . -2.题型二、一次函数型——利用单调性求解给定一次函数y=f (x )=ax+b (a ≠0),若y=f (x )在[m ,n ]内恒有f (x )>0，则根据函数的图象（线段）（如下图） 可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a ，或 ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f (x )<0，则有⎩⎨⎧<(0)(n f m f例2．对于满足|a|≤2的所有实数a ,求使不等式x 2+ax +1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.题型三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解对于二次函数f (x )=ax 2+bx+c =0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f (x )>0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆>00a ；f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧<∆<0a . 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.例4.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.题型四、变量分离型——分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f (x )>g (a )恒成立，则g (a )<f (x )min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f (x )<g (a )恒成立，则g (a )>f (x )max .(其中f (x )max 和f (x )min 分别为f (x )的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .题型五、数形结合——直观求解例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.例8：如果对任意实数x ，不等式kx x ≥+1恒成立，则实数k 的取值范围是__________小试牛刀:1.求使不等式x a x a x cos 1cos sin 22+≥++对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围。