探究：利用单位圆当中的三角函数线研究正弦函数的图象 PPT

09三角函数在单位圆的表示方法

1

在理解任意角三角函数定义的基础上，理解三角函数在单位圆上的表示方法，理解正弦线、余弦线，并能由图象讲出三角函数的值域和已知三角函数值作出对应的角。

三角函数(正弦、余弦)在单位圆的表示

已知三角函数值作出对应的角。

讲授与讨论相结合 三角函数在单位圆的表示方法

课本P14 图4-12

MPyyry1sin -1≤sinα≤1 -1≤cosα≤1 例 题

OMxxrx1cos

例 题

P20 第2 题

x y

o TA x y

o T

A

T -1- 一、三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”,三角函数的定义已经明确告诉角的终边上取点具有任意性，如果我们在角的终边上取适当的点，使比值中的分母为1，那末三角函数就可以用相应的一个坐标表示，这样讨论三角函数就比较方便。

二、单位圆的定义

在直角坐标系中，以原点为圆心，以1为半径的圆。

三、角α的正弦、余弦在单位上的表示

1．作图：（课本P14 图4-12 ）

此处略 …… …… ……… …… ……

设任意角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于P 过P(x,y)作PMx轴于M，

简单介绍“向量”（带有“方向”的量—用正负号表示），“有向线段”（带有方向的线段），方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段OM，OP 长度分别为yx,

当OM=x时 若0x OM看作与x轴同向 OM具有正值x

若0x OM看作与x轴反向 OM具有负值x

2．MPyyry1sin

OMxxrx1cos

圆中的三角函数线

三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的表达．它的重要作用除了准确画图，刻画三角函数的性质，直观表示三角函数的值和符号，总结三角函数值的变化规律外，还可以用来比拟三角函数值的大小，证明三角不等式，解三角不等式等，并且简便易行．

一、比拟三角函数值的大小

三角函数线是一个角的三角函数值的表达，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此，比拟两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线．

例1 比拟大小：①sin1和sin1.5；②4cosπ7和5cosπ7．

解：①π011.52，由正弦线可知：sin1sin1.5；

②45πππ77，由余弦线可知：45cosπcosπ77〔此时余弦线方向向左〕．

二、证明三角不等式

数形结合的“形〞不仅仅是指三角函数图象，三角函数线有时比图象能更好的解决问题．

例2 设为锐角，求证：π1sincos2．

解：如图1，在直角坐标系中作出圆，设角的

终边为OP，过P作PQOx于Q，PROy于R，那么sinQP，cosOQ．

为锐角，在OPQ△中，QPOQOP，

sincos1． ①

而11cos22OPBSOBRP△·，

11sin22OAPSOAQP△·，1ππ1224OABS扇形．

又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，

OPBOAPOABSSS扇形△△，即πsincos2． ②

由①，②得π1sincos2．

三、解三角不等式

例3 解不等式1sin2x．

解：如图2，作出正弦值等于12的角x的终边，那么

正弦值大于12的角x的终边与圆的交点在劣弧12PP上，所以所求角x的取值范围是

π5|2π2π66xkxkkZ，．

1.5.1从单位圆看正弦函数的性质

1.5.2正弦函数的图象

一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过单位圆初步理解正弦函数的性质；

（2）了解正弦函数图像的画法；

（3）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。

2、过程与方法

理解如何利用单位圆的独特性，研究正弦函数的图像及性质。

3、情态与价值

（1）在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；

（2）通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；

（3）培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点：正弦函数图像的画法。

三、教学难点：利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。

四、学情分析：

五、学法指导：探究、讨论

六、教学方法：探究交流、讲练结合。

七、教学过程：

新课引入

学生阅读课本，并思考一下问题

1、 从单位圆观察到，正弦函数sinyx有以下性质：

（1）定义域是 ；

（2）最大值是 ，最小值是 ，值域是 ；

（3）它是周期函数，周期是 ；

（4）在0,2上的单调性为：在 上是增加的；在

上是减少的；在3,2上是 ；在3,22上是 。

创设情境，揭示课题

三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？

1 课题：7.5.1 正弦函数的图象和性质

（第一课时）

教学目标：

1. 知识目标：了解“几何法”作图的原理和过程，熟练掌握“五点法”作图。

2. 能力目标：通过设置问题情景，培养学生的动手、观察、归纳和分析能力。

3. 情感目标：

（1） 通过自主探究，激发学生学习数学的兴趣；

（2） 通过分组讨论，培养学生的合作意识；

（3） 通过对数学问题的讨论，培养学生严谨的科学态度。

教学重点：

熟练掌握“五点法”作图的原理和方法。

教学难点：

运用几何法画正弦函数的图象。

教学方法：

本节课采用观察、归纳、讲解、练习、启发探究相结合的教学方法，并运用多媒体进行教学活动。

教学过程：

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

2 （一）复习引入 1.复习 1.教师提问：正弦线的定义是什么？学生回答，教师做出图形。（课件演示） 1.为作正弦函数的图象作准备。

2.引入

教师提出猜想内容 2.教师提出猜想：遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识，是研究函数的基本方法。在研究三角函数的图象和性质时，我们通常用弧度制来度量角，用x表示自变量，用y表示函数值，从而，正弦函数可表示为y=sinx，那么，如何画出正弦函数的图象？学生用描点法作图，得到一个不精确的图象。教师利用投影仪展示学生作品，并指明这样做出来的图象不精确，能否利用正弦线画出正弦函数的图象？学生积极思考 2.提出猜想，激发学生的求知欲望，同时，建立单位圆中的三角函数线与三角函数图象之间的联系，引出利用正弦线作正弦函数图象的方法。

（二）呈现新课1.几何法作图 （1）利用单位圆中的正弦线作出正弦函数在[0，2]上的图象 （1）教师讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法，引导学生思考如何得

到图象上的一个点，即对于自度量x，如何利用正弦线确定它所对应的y值。学生

在教师的指导下，思考如何利用正弦线描出一些图象上有代表性的点，并分析图象上的点（x，y）与单位圆中的圆心角x及其对应的正弦线y之间的关系。 （1）进一步明确如何利用单位圆中的正弦线画正弦函数的图象