数学分析 (III)习题课程详细信息
课程号 00132313 学分 0
英文名称 Problem-Solving on Mathematical Analysis (III)
先修课程 数学分析(I)(II)
中文简介 本课程主要是数学分析(III)的配套课程， 提供多元函数的微分学与积分学的基本习题的解题方法与技巧。 使得学生对数学分析(III)的内容有深刻的认识与掌握。
英文简介 This course is mainly for the students to master the knowledge of
the course mathematical analysis (III).
It provide sufficient training for the students to solve problems
in the theory of diffrential and integral of functions of several
variables.
开课院系 数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育 否
平台课性质
平台课类型
授课语言 中文
教材 数学分析解题指南,林源渠，方企勤,北京大学出版社,2003年11月；
数学分析(III),伍胜健,北京大学出版社,2010年2月,
参考书
教学大纲 本课程主要是数学分析(III)的配套课程， 提供多元函数的微分学与积分学的基本习题的解题方法与技巧。 使得学生对数学分析(III)的内容有深刻的认识与掌握。
一 中的点集拓扑初步，连续函数
中的点集拓扑初步；多元函数的极限与连续性
二 多元函数微分学
偏导数； 全微分； 微分的几何意义； 高阶偏导数；隐函数求导；
方向导数与梯度；Taylor公式；向量函数求导
三 隐函数定理
隐函数定理； 逆变换定理
四 多元函数的极值问题
- 9 - 中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称 数学分析
Mathematical Analysis
课程代码 075102101201
075102101203
075102101205
课程属性 学科基础 课时/学分 96+96+64/6+6+4
课程性质 必修 实践学时
责任教师 张若军 张宁 魏常果
王学锋 王建 石岩月 课外学时 192+192+128
课程属性：学科基础
课程性质：必修
一、课程介绍
1.课程描述：
数学分析是以极限为工具研究函数的学科，是数学专业的一门重要基础课，共分三个学期讲授。数学分析针对数学类专业一、二年级学生开设，它一方面为后继课程提供所需的基础知识，同时又为培养学生利用数学工具进行独立工作的能力提供必需的训练。学生学好这门课程的基本内容和方法，对后继课程的学习具有关键性的作用。
通过本课程的学习，要求学生掌握一元函数微积分学、多元函数微积分学与级数理论中的基本概念、基本理论和基本运算，并培养学生对数学问题的思维能力、论证能力、运算技能和独立分析、解决问题的能力。
本课程主要内容包括：数学分析I——函数、极限和连续、实数基本定理、导数与微分、微分学基本定理及应用、不定积分。数学分析II——定积分、定积分的应用和近似计算、数项级数、广义积分、函数项级数、幂级数、Fourier级数和Fourier变换、多元函数的极限与连续。数学分析III——多元函数的偏导数和全微分，极值和条件极值，隐函数存在定理，含参量的积分和含参量的反常积分，多元函数各种积分的定义、性质和运算，场论初步。
2.设计思路：
本课程是专业基础课，为数学专业一二年级新生设置，教学历时3个学期，教学内
- 9 - 容为学生专业发展的后继学习奠定必要的理论基础。课程内容的选取基于该课程作为分析类课程的基础性地位。课程内容主要包括三大模块：单变量微积分学、多变量微积分学、级数理论；三大模块相互联系，体现了数学分析研究的基本内容和方法。
- 21 -2019年第9期（总第53期）教育信息化论坛Educational Informatization ForumNo.9.2019Serial No.53
基金项目： 西南石油大学2018年本科课程教学改革研究项目“数学分析教学内容和教学方法的研究与实践”；教育部人文社科规划基金“基于决策者偏好视角的中智数多属性决策方法研究”（项目编号：17YJA630115）作者简介：何志雄，男，四川资中人，西南石油大学理学院，教授，研究方向：微分方程研究。运用高斯公式计算第二型曲面积分的条件何志雄，王绘莉，徐东胜（西南石油大学理学院，四川 成都 610500）摘 要：“数学分析”是数学专业的一门重要基础理论必修课，第二型曲面积分的计算是数学分析多元函数积分学中的一项重要内容，最重要的方法是高斯公式。文章对运用高斯公式计算第二型曲面积分的条件进行了归纳和总结，通过典型题目，使之更容易接受和理解，为教学提供参考。关键词：高斯公式；曲面积分；封闭曲面“数学分析”是数学专业的一门重要基础理论必修课，是现代数学的基础。第二型曲面积分的计算是数学分析多元函数积分学中的一项重要内容，对学生而言又是一个比较难的知识点。计算第二型曲面积分最重要的方法是高斯公式，因为高斯公式建立了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的关系，利用高斯公式可以简化第二型曲面积分的计算。不少学生学完以后，不清楚运用高斯公式计算第二型曲面积分的条件。文章对高斯公式计算第二型曲面积分的条件进行了归纳和总结，通过典型题目，使之更容易接受和理解。一、高斯公式[1]设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成，若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则∭V（∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z） dxdydz=∯SPdydz+Qdzdx+Rdxdy其中S取外侧。二、运用高斯公式计算第二型曲面积分的条件高斯公式建立了沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间的关系，主要用于第二型曲面积分的计算，应注意的条件：①积分曲面S为封闭曲面；②积分曲面S的侧为外侧；③被积函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数。三、运用高斯公式计算第二型曲面积分的典型题目为了让学生对高斯公式计算第二型曲面积分的条件有深刻的理解，本文通过典型题目进行说明。例1 计算I=∯S x(y-z)dydz+(x-y)dxdy，其中S是柱面x2+y2=1及平面z=0，z=3所围立体界面外侧[2]。分析：积分曲面S为封闭曲面，外侧，被积函数P=x(y-z)，Q=0，R=x-y在V上连续，有一阶连续偏导数,满足高斯公式的条件，可以直接使用高斯公式计算。解：根据高斯公式得I=∭V（y-z） dV=∫02πdθ ∫01dr∫03（r·
第１５卷第１期 ２０１２年１月 高等数学研究 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．１５，ＮＯ．１ Ｊａｎ．。２０１２ 直接化第二类曲面积分为二重积分 熊明 ，熊鉴 （１．四川爱华学院数学系，四川成都６１０２００； ２．观美中学，浙江温州３２５８００） 摘要 利用通量元素（曲面单位法向量和向量值函数的内积），建立两类曲面积分和曲面方程三者关系式， 进而建立第二类曲面积分和坐标面上二重积分以及曲面方程三者关系式．使用这些关系式可以方便地求解第二类 曲面积分． 关键词 第二类曲面积分；法向量；通量元素 中图分类号０１７２；Ｇ６４２ 文献标识码 Ａ 现行高等数学和数学分析教材对第二类曲面积 分给出两种解法，即用曲面元素化为二重积分，或补 充为封闭曲面用高斯公式化为三重积分，但有时消 除奇点非常繁杂． 一些较特殊的多元积分可用元素法直接化为单 积分 引，同样基于元素法思想，以曲面的单位法向 量与向量值函数的数量积作为通量元素，建立曲面 方程，两类曲面积分和坐标面上二重积分之间关系 公式．这些新公式有非常广泛的适用性和计算上的 简洁性，通常不必求面积元素，可避开补充曲面用高 斯公式以及消除奇点的繁琐，有必要进入数学分析 和高等数学教材中． 公式１ 两类曲面积分与曲面三元方程关系式 设有定向光滑有界曲面 ∑： Ｆ（ｚ，Ｙ，ｚ）一０， （１） 三元函数Ｐ，Ｑ，Ｒ及 ， ， 在曲面∑上连续，则 ｒｒ Ｉ一¨Ｐｄｙｄｚ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒｄｘｄｙ— Ｚ ±ｆ『 些ｄＳ， ＪＪ ｚ ＋Ｆ：＋Ｆ 其中曲面的侧与（Ｆ。，Ｆ ，Ｆ ）同向则上式取正号，反 之取负号． 证明 曲面∑上点Ｍ（ｘ， ，ｚ）处法向量为［３］ Ｎ一±（ ，Ｆ ，Ｆ ）， 故单位法向量为 ｎ一 垦 ． 、／／ ＋Ｆ；＋ 因而有向曲面元可表示为 收稿日期：２００９—１２—２１；修改日期：２０１１—０２—２４ 作者简介：熊明（１９６７－－），男，重庆忠县人，讲师，从事大学数学教学 与研究．Ｅｍａｉｌ：ｘ５９９５９９＠１２６．ｃｏｍ 熊鉴（１９７４－－），男，重庆忠县人，中学一级教师，从事物理 学教学与研究．Ｅｍａｉｌ：４０８９６３２１１＠ｑｑ．ＣＯｒｌｌ 文章编号 １００８—１３９９（２０１２）０１—００７３—０３ 圭 ｄＳ． √ ＋Ｆ ＋Ｆ 另外，记 Ａ一（Ｐ，Ｑ，Ｒ）， 则通量元素可简记为 Ａ・，ｌ ｄＳ． 于是 —Ｉｌ Ｐｄｙｄｚ＋Ｑｄｚｄｘ＋Ｒｄｘｄｙ— ｌＩ Ａ・，ｌ ｄＳ： ±ｆ『 ｌ± ｄＳ． 一ｊＪ＝ 一’ 公式２ 第二类曲面积分、曲面三元方程、投影 面上二重积分三者关系式 当Ｆ ≠０时，曲面（１）可投影到ｘＯｙ平面，其面 积元素 ｄ５一√ ＋（笔） ＋（ ） 如ｄ 一 √ ＋（一番） ＋（一 ）。ｄｘｄｙ＝ Ｉ Ｆ Ｉ 、，／Ｆ ＋Ｆ ＋Ｆ ｄｘｄｙ， 于是 ｆ＝±ｌ１ｌ Ｆ２｛ ［ＰＦ ＋Ｑ ＋ＲＦ ］如 ， ＪＪ Ｄ 此式中 ｚ—ｚ（ｘ， ）． 后面对于类似情形不再提示． 类似地，当Ｆ ≠．０时， ，一士ＩＩ Ｉ ｌ１［Ｐ ＋ＱＦ ＋ＲＦ ］ ． Ｄ 当Ｆ ≠０时， Ｊ一± ｌ Ｉ１［ ＋ＱＦ ＋ＲＦ：］如＆．
