第二十二章曲面积分习题课

第二十二章 曲面积分一、 单选题1．设21,S S 分别为球面2222a z y x =++的上半部分和下半部分，指向外侧，0,:2222==++z a z y x L ，取逆时针方向为正方向，若⎰⎰⎰⎰++=++=1222222221,S S dxdy z dzdx y dydz x I dxdy z dzdx y dydz x I ，则（ D ）A 、21I I =B 、21I I <C 、21I I >D 、21I I -= 2．下列等式中成立的是 （ B ）A 、⎰⎰⎰≤++=++2222522234)(R z y x R dxdydz z y x π B 、⎰⎰=++=++42224)(Rz y x R dS z y x πC 、⎰⎰≤+=+222422)(R y x R dxdy y x π D 、dxdy y x R zdxdy R z y x R y x ⎰⎰⎰⎰=++≤+--=22222222223．用第二型曲面积分表示由封闭曲面S 所包围的立体积公式 ①⎰⎰=sxdydz V ②⎰⎰=sydzdx V ③⎰⎰=szdxdy V ④⎰⎰+=szdxdy xdydz V 21其中正确的是 （ D ）A 、①B 、①②C 、①②③D 、①②③④4．设S 是球面2222R z y x =++，则曲面积分()d S z y x S⎰⎰++222=（ ）A. 4R πB.42R πC. 44R πD. 46R π5．设S 为a z y x =++在第一卦限的部分并取左侧，则=⎰⎰Sdydz （ ）A. 2a -B. 2aC. 221a D. 221a -6.由光滑闭曲面S 围成的空间区域的体积是 ( ) (A) ⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy ; (B)⎰⎰++Szdzdx ydydz xdxdy 31; (C) ⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz ; (D)⎰⎰-+Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、填空题1．某流体以流速)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P V =在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量为E =⎰⎰++sRdxdy Qdzdx pdydz2．设S 为柱面222x y R +=被平面0,z z H ==所截的部分，则⎰⎰+syx ds22= R H π2 三 计算题1．用两种方法计算⎰⎰sxdzdy ，S 为球面0,01222≥≥=++z y z y x 在的部分，取球面外侧[答案]解一，化为重积分的方法{}{}dydzz y dydz z y dydz z y xdzdy z y z y D z y z y x S z y z y D z y z y x S xdydzxdydz xdzdy DDSDs s s⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=------=≤+≤=∈---=≤+≤=∈--=+=2222222222222221121110),(),(,1:10),(),(,1:1261)1(31211)10,20(,sin ,cos 23221222ππθπθθθπ=--⋅=-=--≤≤≤≤==⎰⎰⎰⎰r drr r d dydz z y r r z r y D令⎰⎰=∴sxdydz 3π解二，利用高斯公式算添加坐标面上两个半圆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴=⋅===≥=+≥=+=++sS VS sS VS xdydz dxdydz xdydz xdydz y y x S z z x S dxdydzxdydz xdydz xdydz 3334410,00,1:0,1:1212222221πππ2．计算()()⎰⎰-+-Sxdydz z y dxdy y x 其中S 为柱面122=+y x 及平面0=z 和3=z 所围成的空间闭区域V 的整个边界曲面的外侧.解 ()x z y P -=，0=Q ，y x R -=，z y x P -=∂∂，0=∂∂y Q 0=∂∂zR 由Gauss 公式()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x =()⎰⎰⎰Ω-dV z y()=-=⎰⎰⎰Ωdz d d z θρρθρsin ()⎰⎰⎰-πθρρρθ201030sin dz z d d π29-= 3.计算333Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外侧.解 33222222222()()SS S x dydz a y z dydz a y z =------⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前3322222252242()2()5yzaS dydz a y z dydz d a r rdr a ππθ=--=-=⎰⎰⎰⎰ 同理 332225242()5SS S Szxy dzdx a y z dxdz a π=+=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰左右则 原式=55412355a a ππ⋅= 另解 (2)原式=2223()Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰5420512sin 3a dr r d d aπϕϕθππ==⎰⎰⎰4.222,Sx dydz y dxdz z dxdy S ++⎰⎰：立方体0,,x y z a ≤≤的外表面；解 (1)原式=(222)Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰402()3a a adx dy x y z dz a =++=⎰⎰⎰5.计算()⎰⎰--+SdS x x z xy 222， S 是平面622=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D {}x y x y x -≤≤≤≤=30,30),(， 由622=++z y x 得y x z 226--=,所以2-=x z ,2-=y z （2分） 因此()⎰⎰--+SdS x x z xy 222()⎰⎰---+=Dd x y x xy σ2223623()⎰⎰--+--=30302222363xdy y xy xx dx （4分）()()()()dx x x x x x x ]333236[323022---+---=⎰ ()dx x x ⎰+-=303231093427-=（6分） 6.计算⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342， S 是平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分.解: S 在xOy 面上的投影为D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤≤≤=2330,20),(x y x y x ，（2分）由1432=++z y x 得3424y x z --=,所以2-=x z ,34-=y z 因此⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++S dS y z x 342⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=D d y y x x σ3434242361（4分） 61436143614202330===⎰⎰⎰⎰-x Ddy dx d σ（6分）7. 计算第一型曲面积分ds y x S)(22+⎰⎰，其中S 是锥面22y x z +=与平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解：设1S ：22y x z +=，2S ：1=z1S 和2S 在xy 平面上的区域均为{}1:),(22≤+=y x y x Dds y x S)(22+⎰⎰ ++=⎰⎰ds y x S )(221ds y x S )(222+⎰⎰ dxdy y x dxdy y x y y x x y x DD )(1)(2222222222+++++++=⎰⎰⎰⎰2)12()12()()12(2010322+=+=++=⎰⎰⎰⎰πθπd dr r dxdyy x D8．⎰⎰+Sds y x )(22 其中S 为立体h z y x ≤≤+22的边界曲面。

第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。

+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
f2 x
+
f
2 y
)dσ
D
∫+ f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
高等数学十
2222//228★8
2
2
例 3 求柱面 x 3 + y 3 = 1在球面 x2 + y2 + z2 = 1内
的侧面积.
解 由对称性
∫ S = 8 zds L ∫= 1 − x2 − y2ds L
Q
2
L: x3 +
2
y3
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)

的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为