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二 进 制

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1 二 进 制

二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用“开”来表示1，“关”来表示0。

由人民出版社出版的《童子问易》引证说：斯比赛尔所编著的《中国文史评析》一书中已将《易图》称之为“2的乘方，二进制。”“以中国《易图》为标志的二进制在欧洲最迟出现于1660年。”[1]

安德烈·弥勒于1678年著《阿卜杜拉·白达瓦鲁斯中国史》。“莱布尼茨主要通过这本书了解了易学。他的二进制，主要来源于《易经》，其0、1符号取之埃哈德·魏格的0、1、2、3的四进制。”[2]

中文名

二进制

外文名

binary system

1简介

2运算

▪ 加法

▪ 乘法

▪ 减法

▪ 除法

▪ 拈加法

3进制转换

▪ 与十进制

▪ 与八进制

▪ 与十六进制

▪ 与十进制的区别 2 4莱布尼茨

▪ 简述

▪ 与中国易经联系

5特点

▪ 优点

▪ 缺点

6采用原因

7学科关系

8处理数据

9换算

1简介编辑

20世纪被称作第三次科技革命的重要标志之一的计算机的发明与应用，因为数字计算机只能识别和处理由‘0’.‘1’符号串组成的代码。其运算模式正是二进制。19世纪爱尔兰逻辑学家乔治布尔对逻辑命题的思考过程转化为对符号"0''.''1''的某种代数演算，二进制是逢2进位的进位制。0、1是基本算符。因为它只使用0、1两个数字符号，非常简单方便，易于用电子方式实现。

二进制数据的表示法

二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。例如二进制数据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为2²、2¹、2º、

、

。对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：

二进制数据一般可写为：

【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。 3 解：

二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

2运算编辑

二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。最常用的是加法运算和乘法运算。

加法

有四种情况： 0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

0 进位为1

【例1103】求 1011（2）+11（2） 的和

解：

1011+11[3]

乘法

有四种情况： 0×0=0 4 1×0=0

0×1=0

1×1=1

减法

0－0=0，1－0=1，1－1=0，0－1=1。

除法

0÷1=0，1÷1=1。

拈加法

拈加法二进制是加减乘除外的一种特殊算法。

拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。此算法在博弈论（Game Theory）中被广泛利用

计算机中的十进制小数转换二进制

计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。

比如0.65换算成二进制就是：

0.65 × 2 = 1.3 取1，留下0.3继续乘二取整

0.3 × 2 = 0.6 取0， 留下0.6继续乘二取整

5 0.6 × 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整

0.2 × 2 = 0.4 取0， 留下0.4继续乘二取整

0.4 × 2 = 0.8 取0， 留下0.8继续乘二取整

0.8 × 2 = 1.6 取1， 留下0.6继续乘二取整

0.6 × 2 = 1.2 取1，留下0.2继续乘二取整

.......

一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等。）。这时，十进制的0.65，用二进制就可以表示为：0.1010011。

还值得一提的是，在计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。

在现实生活和记数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“灭”，开关的“开”与“关”。一种状态表示数码0，另一种状态表示数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上一个数位进一，就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。

1+1=10，10+1=11，11+1=100，100+1=101，

101+1=110，110+1=111，111+1=1000，……，

可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。

二进制同样是“位值制”。同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。

所谓二进制，也就是计算机运算时用的一种算法。二进制只由一和零组成。

比方说吧，你上一年级时一定听说过“进位筒”（“数位筒”）吧！十进制是个位上满十根小棒就捆成一捆，放进十位筒，十位筒满十捆就捆成一大捆，放进百位筒……

二进制也是一样的道理，个位筒上满2根就向十位进一，十位上满两根就向百位进一，百位上满两根…… 二进制是世界上第一台计算机上用的算法，最古老的计算机里有一个个灯泡，当运算的时候，比如要表达“一”，第一个灯泡会亮起来。要表达“二”，则第一个灯泡熄灭，第二个灯泡就会亮起来。 6 二进制就是等于2时就要进位。

0=00000000

1=00000001

2=00000010

3=00000011

4=00000100

5=00000101

6=00000110

7=00000111

8=00001000

9=00001001

10=00001010

……

即是逢二进一，二进制广泛用于最基础的运算方式，计算机的运行计算基础就是基于二进制来运行。只是用二进制执行运算，用其他进制表现出来。

其实把二进制三位一组分开就是八进制, 四位一组就是十六进制

3进制转换编辑

7 十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：

二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法

与十进制

（1）二进制转十进制

方法：“按权展开求和”

【例】：

规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十

分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。

注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。

（2）十进制转二进制

· 十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）

【例】：

89÷2 ……1

44÷2 ……0

22÷2 ……0

11÷2 ……1

5÷2 ……1

2÷2 ……0

1

· 十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法）

【例】： (0．625)10= (0．101)2 8 0.625X2=1.25 ……1

0.25 X2=0.50 ……0

0.50 X2=1.00 ……1

十进制1至100的二进制表示：

0=0

1=1

2=10

3=11

4=100

5=101

6=110

7=111

8=1000

9=1001

10=1010

11=1011

12=1100

13=1101

14=1110

15=1111

16=10000

17=10001

18=10010

19=10011 9 20=10100

21=10101

22=10110

23=10111

24=11000

25=11001

26=11010

27=11011

28=11100

29=11101

30=11110

31=11111

32=100000

33=100001

34=100010

35=100011

36=100100

37=100101

38=100110

39=100111

40=101000

41=101001

42=101010

43=101011 10 44=101100

45=101101

46=101110

47=101111

48=110000

49=110001

50=110010

51=110011

52=110100

53=110101

54=110110

55=110111

56=111000

57=111001

58=111010

59=111011

60=111100

61=111101

62=111110

63=111111

64=1000000

65=1000001

66=1000010

67=1000011

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二进制—搜狗百科

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二进制十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：

二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：按权展开求和法

二进制与十进制

（1）二进制转十进制

方法：“按权展开求和”

例： （1011.01）2 =（1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^(-1)+1×2^(-2) ）10

=（8+0+2+1+0+0.25）10 =（11.25）10

规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十

分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。

注意：不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。

（2）十进制转二进制

· 十进制整数转二进制数：“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）

例： （89）10 =（1011001）2

89÷2 ……1

44÷2 ……0

22÷2 ……0

11÷2 ……1

5÷2 ……1

2÷2 ……0

1

· 十进制小数转二进制数：“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法）

例： (0．625)10= (0．101)2

0.625X2=1.25 ……1

0.25 X2=0.50 ……0

0.50 X2=1.00 ……1

十进制1至100的二进制表示：

0=0

1=1

2=10

3=11

4=100

5=101 6=110

7=111

8=1000

9=1001

10=1010

11=1011

12=1100

13=1101

14=1110

15=1111

16=10000

17=10001

18=10010

19=10011

20=10100

21=10101

22=10110

23=10111

24=11000

25=11001

26=11010

27=11011

28=11100

29=11101

30=11110

31=11111

32=100000

二进制转换算法

二进制转换算法

二进制转换算法 计算机进制转换

一、概念

1.十进制

十进制使用十个数字（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）记数，基数为10，逢十进一。

历史上第一台电子数字计算机ENIAC是一台十进制机器，其数字以十进制表示，并以十进制形式运算。设计十进制机器比设计二进制机器复杂得多。而自然界具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关，电路的通和断，电压的高和低等，非常适合表示计算机中的数。设计过程简单，可靠性高。因此，现在改为二进制计算机。

2. 二进制

二进制以2为基数，只用0和1两个数字表示数，逢二进一。

二进制与遵循十进制数遵循一样的运算规则，但显得比十进制更简单。例如：

（1）加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

（2）减法：0-0=0 1-1=0 1-0=1 0-1=1

（3）乘法：0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

（4）除法：0/1=0 1/1=1，除数不能为0

二、进制转换

1．二进制与十进制数间的转换

（1）二进制转换为十进制

将每个二进制数按权展开后求和即可。请看例题，

例：把二进制数101.101转化为十进制数：

（101.101）2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=（5.625）10

二进制数第0位（整数部分的个位）的权值是2的0次方，第1位（整数部分的十位）的权值是2的1次方，以此类推；相应的小数部分的个位的权值是2的-1次方，小数部分的十位是2的-2次方，以此类推。

设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：

下面是竖式： 0110 0100 换算成 十进制

第0位 0 * 20 = 0

第1位 0 * 21 = 0

第2位 1 * 22 = 4

第3位 0 * 23 = 0

第4位 0 * 24 = 0

第5位 1 * 25 = 32

第6位 1 * 26 = 64

计算机一级考试一个重点：进制

计算机一级考试一个重点：进制

计算机一级考试重点

进制

▲ 进制中会出现这些：N=34D说明一下，你可能在某些数字的后边看到过加 有一个字母，这个字母便是用来表示数制的，十进制数用 D＜也可以不用＞，二进

制数用B,八进制数用0,十六进制数用F）

1. 进制

（1） 十进制计数制：有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，逢十进一。

（2） 二进制计数制：仅有0、1两个数码，逢二进一。（0+0=0 0+仁11+0=1

1+1=10）

（3） 八进制计数制：有0、1、2、3、4、5、6、7共8个数码，逢八进一。（7+1=10）

（4） 十六进制计数制：有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A（ =10）、B（ =11）、 C（ =12）、D（ =13）、E（ =14）、F（ =15）共十六个数码，逢十六进一。（F+1=10

（5） 数的表示：（数值）计数制

例：十六进制：（2BF）16 =2BF H （十进制数默认，可不加下标。）

八进制 ：（67） 8=67 O

2. 数制间的转换（输入计算机的数都要被转换为二进制）

（1）各进位制数转换为十进制数

、八、十六进制转换为十进制的 通式（位权法）：

整数部分： 二、八、十六进制的数从小数点往左数第

位,,），第n位上的数字为Bn,当前为x进制

即当前进制数=Ai*xA(n-1) +A(n-1)*xA(n-2) +,

+Az*xA1 +A1*xA0

小数部分：二、八、十六进制的数从小数点后往右数第 m位，第m位上的数字 为Am,当前为x进制 n位（个位为第一 即当前进制数=B1*xA（-m1） +B2*xA（-m2） + ,,

+B（m-1）*xA（-m（m-1）） +B m*xA（-m）

例：

二进制10101.011B转换为十进制

整数部分：10101=1*2A4+0*2A3+1*2A2+0*2A1+1*2A0=31 (口述：等于 1 乘以 2

的四次方+0乘以2的三次方,,)

四年级数学 第27讲-二进制(学)

四年级数学 第27讲-二进制(学)

1学科教师辅导讲义

学员编号：年级：四年级课时数：3

学员姓名：辅导科目：学科教师：

授课主题第27讲-二进制

授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结

教学目标①学习了解进制的概念；

②会将十进制、二进制、八进制与十六进制的相互转化,；

③会进制的计算法则。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

知识梳理

一、进制的概念？

（1）十进制：是最常用的进位计数制。在十进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，

所以计数的基数是10。超过9的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，

故称十进制。

（2）二进制：是计算技术中广泛采用的一种进位计数制。在二进制数中，每一位有0、1两个数码，所以计

数的基数是2。超过3的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一”，故称二

进制。

十进制与二进制之间可以互相转化，式子中使用的下脚注2表示括号里的数是二进制数（3）八进制：在八进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，所以计数的基数是8。超过7

的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢八进一”，故称八进制。

（4）十六进制：在十六进制数中，每一位有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(表示10)、B(表示11)、

C(表示12)、D(表示13)、E(表示14)、F(表示15)十六个数码，所以计数的基数是16。超过15的数必须用多

位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十六进一”，故称十六进制。

二、十进制与n进制的转化

1、将十进制数转换为等值的n进制数(n≥2)时，整数部分采用“除n倒取余数法”。

例如：整数

10107转换成二进制采用“除2倒取余数法”，得

1021071101011

2、将n进制数(n≥2)转换为等值的十进制数时，只要将n进制数展开，然后将所有各项的数值按十进制数相

加，就可以得到等值的十进制数了。