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2、零向量：长度为0第二章平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a
平行的单位向量：
ea
a||．
4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作
//ab
；
规定
0
与任何向量平行．
5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：
任意两个相等的非零向量，
都可以用同一条有向线段来表
示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
b
a
C
abCCc高一数学必修4知识点梳理：平面向量
- 7 - ⑶运算性质：
①交换律：abba
；
②结合律：abcabc
；③aaa00
．
⑷坐标运算：设axy,
11
，bxy,
22
，则abxxyy,
1212
．
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设axy,
11
，bxy,
22
，则
abxxyy,
1212
．
设
、
两点的坐标分别为xy,
11
，xy,
22
，则
xxyy,
2121
．
8、向量数乘运算：
⑴实数
与向量a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
a
．
①
aa
；
②当
0
时，
a
的方向与a
的方向相同；当
0
时，
a
的方向与a
的方向相反；
当
0
时，
a0
．
⑵运算律：①
aa
；②
aaa
；③
abab
．
⑶坐标运算：设axy,
，则
axyxy,,
．
9
、向量共线定理：向量aa0
与b
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使
平面向量的坐标运算
[学习目标] 1。了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的坐标表示
（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
（2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底,对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则有序数对(x,y）叫做向量a的坐标，a＝(x，y）叫做向量的坐标表示．
(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A(x,y）,则错误!＝（x，y)，若A(x1，y1)，B(x2,y2），则AB→＝(x2－x1，y2－y1）．
思考 根据下图写出向量a，b，c，d的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a＝（2，3）,b＝（－2,3）,c＝（－3,－2），
d＝（3,－3）．
知识点二 平面向量的坐标运算
（1)若a＝(x1，y1），b＝(x2，y2）,则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． （2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．
(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．
思考 已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．
答案
易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），
错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．
1
a b a b
AB DC AB DC
a (1,1),b 1), c c 按向量 ＝（－
1、向量有关概念： 平面向量复习基本知识点及经典结论总结
（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，
注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知 A（1,2），B（4,2），则把向量 1,3）平移后得到的向量是 AB a
。
（2） 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向 ； （3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是： )；
（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；
（5） 平行向量（也叫 ）：方向 或 的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作：
，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行 是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平 行向量无传递性！（因为有0 )；④三点 A、、B C 共线 AB、AC 共线；
（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是 。
例：命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相
同。（3）若 ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则 。（5） 若 a b,b c ，则 a c 。（6）若 a // b,b // c ，则 a // c 。其中正确的是 ；
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在
平面向量全章回顾
知识整合
一． 重点知识网络：
二、命题规律研析
本章主要内容有两部分，其一是向量及其运算，要求理解向量的有关概念，掌握向量的各种运算的几何意义及坐标表达形式，掌握向量平行、垂直的充要条件；其二向量的应用，要求掌握线段的定比分点，平移，正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用．
本章是试验教材新增加的内容，考查热点在两个方面，一是对向量的基本概念、基本运算的考查；二是突出考查向量的工具作用，即运用向量知识解决解析几何、立体几何等中的问题．
由于新教材增加这部分内容，而且大纲要求重在基础，加之教学中师生还有一个逐步适应的过程，所以预计2005年单独考查平面向量的题目应属基本运算之类，将会以填空题或选择题的形式出现，或以向量为工具与数列、三角、不等式、解析几何等结合的题目出现在解答题上，正、余弦定理主要作为工具出现在解决问题的过程中．
向量是数学中的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的基础，同时也为物理学科提供了工具，解斜三角形这部分内容是以正弦定理、余弦定理为工具的一种求三角形的边、角的方法，由于这部分内容与实际密切结合，所以应通过这部分的复习，提高解决实际问题的能力，同时要注重加强基本概念、基础知识的复习．
创新拓展 例1．设两个非零向量1e，2e不共线，|1e|＝2，|2e|＝3，1e，2e的夹角为60°．
（1）如果AB＝1e＋2e，BC＝21e＋82e，CD＝3(1e－2e)，求证A，B，D共线；
（2）试确定实数k的值，使得k1e＋2e, 1e+k2e共线；
（3）试确定实数k的值，使得k1e+2e，1e+k2e垂直．
要点解析：本题主要考查学生对共线向量的理解以及对向量共线与向量垂直的充要条件的掌握．
