下载文档原格式
高中数学必修4知识点总结
平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a
,,……来表示，或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=
向
量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a
｜
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，
0 与任意向量平行零向量a ＝0
⇔｜a
｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量
向量0a 为单位向量⇔｜0a
｜＝1
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直
线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b
由于向量可以进行任意的平移(即自
由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a
=大
小相等，方向相同
),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔21
2
1y y x x
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC
（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终
点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
AB BC CD PQ QR AR +++
++=，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a
的相反向量
记作a
-,零向量的相反向量仍是零向量
关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0
； (iii)若a 、b
是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0
②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b
的差， 记作：(b a b a
-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法
③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b
有共同起点）
4实数与向量的积：
①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）a a
⋅=λλ；
（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a
的方向相
反；当0=λ时，0
=a λ，方向是任意的
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：
向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ
6平面向量的基本定理：
如果21,e e 是一个平面的两个不共线向量，那么对这一平面的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e
叫做表示这一平面所有向量的一组基底 7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算
向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点
例1 给出下列命题：
① 若|a |＝|b |，则a =b ；
② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；
③ 若a =b ，b =c ，则a =c ，
④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a //b ； ⑤ 若a //b ，b //c ，则a //c ，
其中正确的序号是
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
② 正确．∵ AB DC =，∴ ||||AB DC =且//AB DC ，
又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC 且||||AB DC =，
因此，AB DC =．
③ 正确．∵ a =b ，∴ a ，b 的长度相等且方向相同； 又b ＝c ，∴ b ，c 的长度相等且方向相同， ∴ a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ．
④ 不正确．当a //b 且方向相反时，即使|a |=|b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是a =b 的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b =0这种特殊情况．
综上所述，正确命题的序号是②③．
点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．
例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD ++，②DB AC BD ++ ③OA OC OB CO --+- 解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD ++=+= ②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=
