认识三角形2

三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）2024

三角形的重心、垂心、外心和内心的认

识（二）

引言：

三角形是一种基本的几何图形，它具有独特的性质和特点。在三角形中，重心、垂心、外心和内心是四个重要的点，它们分别具有不同的特性和作用。在本文中，我们将进一步探讨三角形的重心、垂心、外心和内心的认识，帮助读者更好地理解和应用它们。

正文：

一、重心（Center of Gravity）

重心是三角形内部所有点的平均位置。它具有以下性质：

1. 重心所在的直线称为重心线，它经过三角形的顶点与对边的中点。

2. 重心将三角形分成三个面积相等的小三角形。

3. 如果一个三角形均匀分布质量，则它的重心就是质心。二、垂心（Orthocenter）

垂心是三角形三条高线的交点。它具有以下性质：

1. 垂心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 垂心到三角形三条边的距离乘积最小。

3. 如果一个三角形是锐角三角形，则垂心在三角形内部；如果是直角三角形，则垂心是直角的顶点；如果是钝角三角形，则垂心在三角形外部。

三、外心（Circumcenter）三角形的重心、垂心、外心和内心的认识（二）2024

外心是三角形外接圆的圆心。它具有以下性质：

1. 外心到三角形三个顶点的距离相等。

2. 外心到三角形三条边的距离相等，且等于外接圆的半径。

3. 一个三角形的外心可以通过三条边的垂直平分线的交点确定。四、内心（Incenter）

内心是三角形内切圆的圆心。它具有以下性质：

1. 内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆的半径。

2. 内心到三角形的三个顶点的距离之和等于三角形的周长。

3. 一个三角形的内心可以通过三条边的角平分线的交点确定。总结：

三角形的重心、垂心、外心和内心是三角形内部的特殊点，它们在三角形的性质和计算中扮演着重要的角色。重心代表了平均位置，垂心代表了高线的交点，外心代表了外接圆的圆心，内心代表了内切圆的圆心。通过深入理解和认识这些点的性质，我们可以更好地应用它们解决问题，进一步研究和探索三角形的奥秘。

CBA（第6题） 1.1 认识三角形（二）

A组

1．如图，CD⊥AB，则图中直角三角形有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AD是△ABC的角平分线，∠DAC=31°，则∠C的度数为（ ）

A．58° B．60° C．62° D．92°

3．在△ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ACD，则AD为△ABC的（ ）

A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定

4．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）

A．110° B．115° C．120° D．130°

5．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）

A． B． C． D．

6．如图，在△ABC中，AB=5厘米，BC=3厘米，BM为中线，则△ABM与

△BCM的周长之差是 厘米．

★7．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．

8．如图, 在△ABC中, 请作图：

①画出△ABC的一条角平分线CD；

②画出△ABC中AC边上的中线BE；

③画出△ABC中BC边上的高AF．

9.如图，在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个

三角形的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形三边的长。

（第1题） （第2题） （第4题） （第7题）

B组

★10.如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC边上任意一点，PF⊥AB于

点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，BD＝8，求PF＋PE的值．

11．如图，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线．

（1）若∠ABC=60°，∠ACB=50°，求∠BOC的度数．

7.4课题：认识三角形(2)

【基 础 部 分】

（学习程序：课前独自完成、学科组长评好分——课内小组交流3分钟—-小展示、点评5分钟)

1.活动一：操作：在纸上任意画△ABC，过顶点A作直线BC的垂线,与边BC(或边BC的延长线）相交于点D.

在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线,简称为三角形的高。（高是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，有什么发现?

2。活动二：操作：在纸上任意画△ABC，画∠A的平分线，与边BC相交于点E。

在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段称为三角形的角平分线.（角平分线是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，有什么发现？

3。活动三：操作：在纸上任意画△ABC，取边BC的中点F,连接AF。

在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。（中线是线段）

分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，有什么发现？

【要

点 部 分】

（学习程序：小组交流8分钟——老师分配任务，小组重点探究4分钟——大展示、点评12分钟)

1、如图，AF是△ABC的高,AD是△ABC的中线，AE是△ADC的角平分线，填空：

∵AF是△ABC的高，∴∠ =∠ =900；

∵AD是△ABC的中线，∴ =

=21 ;

∵AE是△ADC的角平分线,∴∠ =∠ =21∠ 。

2、根据所给图形填空：

(1)在ΔABC中，BC边上的高是________.

（2)在ΔAEC中，AE边上的高是________.

（3)在ΔFEC中，EC边上的高是________。

【拓 展 部 分】

（学习程序:展示、点评、总结8分钟） FEDCBABAEDC1 如图，在△ABC中，点D在BC上，且∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点，BE交AD于点F．指出图中哪条线段是哪个三角形的角平分线，哪条线段是哪个三角形的中线．

第4章 三角形

4.1.2 认识三角形

〖教学目标〗

1．掌握三角形三边关系并会应用。

2．鼓励每一位学生积极思考、大胆发言、合作交流、勇于创新。

〖教材分析〗

教材由“房梁上的彩灯电线哪根长”，引入了三角形三边的关系。为激发学生的求知欲，并为后面三边关系的应用作铺垫，用“小棒搭三角形”作为“引子”，引导学生深入思考三角形三边的关系，并应用它解决实际问题。

〖学校及学生状况分析〗

本课时教学，针对的是大城市的七年级学生，他们在生活中随处可见三角形，对于三角形的美学价值、实用价值都有一定的了解，但是对于三角形的三边关系、计数问题等知识较为陌生，甚至还存在着错误的认识，因此要根据他们的理解来设计教学。

〖教学设计〗

三角形存在着“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”的关系，但多数学生不曾注意到。教学中采用三根小棒搭三角形的操作活动，让学生经历“猜想―验证―探索―证明”的数学思维过程，使课堂教学充满创新活力。

(一)创设情境，引入新课

用小棒摆三角形引入三角形三边关系

师：老师给同学们准备了一些小棍，同学们猜想一下，我们用任意三根小棍一定能搭成三角形吗?

生：一定(少数人认为不一定)。

师：请一位同学来把这些小棍摆一摆，看是否能组成三角形。

学生到实物投影仪下操作。

第一组小棍搭成三角形；

第二组小棍搭成如下图形：

图1

第三组小棍搭成如下图形：

图2

师：我们再回到刚才的问题，任意三根小棍一定能搭成三角形吗?

生：不一定。

师：为什么任意三根小棍不一定能搭成三角形呢?我们来探索这个问题。

(二)小组活动，发现三边关系

师：我们来做一个小组活动，请同学们看课本66页“议一议”。

议一议：

1．元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯(课本图3-13)，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢?说明你的理由。